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1.3.2 利用解直角三角形解实际中的视角问题
基础训练
1.为解决停车难的问题,在如图所示的一段 ( http: / / www.21cnjy.com )长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米,宽2.2米的矩形,矩形的边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位. 【版权所有：21教育】
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2.如图,从A地到B地的公路需要经过C地, ( http: / / www.21cnjy.com )图中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=37°.因城市规划的需要,将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.【来源：21cnj*y.co*m】
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(1)求改直后的公路AB的长度;
(2)问:公路改造后比原来缩短了多少千米 ( http: / / www.21cnjy.com )(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
3.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为 米.(用含α的代数式表示)
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4.如图所示,热气球探测器在A点处,点B为楼顶,点C为楼底,AD为水平线,EF为经过点A的铅垂线,则下列说法正确的有( )
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①∠1为仰角; ②∠2为仰角; ③∠3为俯角; ④∠4为俯角.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,小敏同学想测量一 ( http: / / www.21cnjy.com )棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大树的方向前进4 m,测得仰角为60°,已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1 m,≈1.73)
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A.3.5 m B.3.6 m C.4.3 m D.5.1 m
6.如图,在数学活动课中,小敏为了测量 ( http: / / www.21cnjy.com )校园内旗杆AB的高度,站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的水平距离CD为9 m,则旗杆的高度是多少 (结果保留根号)
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7.如图,AC是操场上直立的一个旗 ( http: / / www.21cnjy.com )杆,从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆,用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°,到A点的仰角是∠ADC=60°(测角仪的高度忽略不计).如果BC=3米,那么旗杆的高度AC= 米.
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提升训练
8.如图,在两建筑物之间有一旗杆, ( http: / / www.21cnjy.com )高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙脚C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底部G为BC的中点,求矮建筑物的高CD.【来源：21·世纪·教育·网】
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9.如图,热气球的探测器显示,从热气球底部A ( http: / / www.21cnjy.com )处看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与高楼的水平距离为120 m,这栋高楼有多高 (≈1.732,结果保留一位小数)www-2-1-cnjy-com
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10.如图,某校九年级某班 ( http: / / www.21cnjy.com )开展数学活动,小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆,小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°,小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°,已知小明和小军相距(BD)6 m,小明身高(AB)1.5 m,小军身高(CD)1.75 m,求旗杆的高EF.(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)21教育网
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11.如图,在中俄“海上 ( http: / / www.21cnjy.com )联合—2014”反潜演习中,我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数)21cnjy.com
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12.如图,某海域有两个海拔均为200 ( http: / / www.21cnjy.com )米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°,然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB.21世纪教育网版权所有
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13.如图,在电线杆上的C处引拉线CE ( http: / / www.21cnjy.com ),CF固定电线杆,拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的B处安置测角仪,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长.(结果保留根号)21教育名师原创作品
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14.如图,一艘海上巡逻船在A地巡 ( http: / / www.21cnjy.com )航,这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西60°方向的C地有一艘渔船遇险,要求马上前去救援.此时C地位于A地北偏西30°方向上,A地位于B地北偏西75°方向上,A,B两地之间的距离为12海里.求A,C两地之间的距离.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45.结果精确到0.1海里)
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15.如图,某校综合实践活动小组的同学欲 ( http: / / www.21cnjy.com )测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC=1∶),且B,C,E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计)
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参考答案
基础训练
1.17
2.解:(1)作CH⊥AB于点H,在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△ACH中,CH=AC·sin∠CAB=AC·sin25°≈10×0.42=4.2(千米),AH=AC·cos∠CAB=AC·cos25°≈10×0.91=9.1(千米).在Rt△BCH中,BH=CH÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6(千米).∴AB=AH+BH≈9.1+5.6=14.7(千米);21·世纪*教育网
(2)BC=CH÷sin37°≈4.2÷0.60=7.0(千米),∴AC+BC-AB≈10+7.0-14.7=2.3(千米).
∴公路改造后比原来缩短了2.3千米.
3.7tanα 4.B
5.D
解析：设CD=x m,在Rt△ACD中 ( http: / / www.21cnjy.com ),∠CAD=30°,则AD=x m,在Rt△CED中,CD=x m,∠CED=60°,则ED=x m,由题意得,AD-ED=x-x=4,解得:x=2,则这棵树的高度为2+1.6≈5.1(m).www.21-cn-jy.com
6.解:在Rt△ACD中,∵tan ∠ACD=,
∴tan 30°=,∴=,∴AD=3 m,在Rt△BCD中,21*cnjy*com
∵tan ∠BCD=,∴tan 45°=,∴BD=9 m,
∴AB=AD+BD=(3+9) m.
答:旗杆的高度是(3+9) m.
7.3
解析：在Rt△BDC中,∵∠B ( http: / / www.21cnjy.com )DC=45°,∠C=90°,BC=3米,∴DC=BC=3米,在Rt△ADC中,∵∠ADC=60°,∠C=90°,∴AC=DCtan 60°=3×=3(米).21·cn·jy·com
提升训练
8.解:∵点G是BC的中点,EG∥AB ( http: / / www.21cnjy.com ),∴EG是△ABC的中位线.∴AB=2EG=30米.在Rt△ABC中,∠CAB=30°,∴BC=AB·tan∠BAC=30×=10(米).如图,过点D作DF⊥AF于点F.易知点F,D,C在一条直线上,在Rt△AFD中,AF=BC=10米,则FD=AF·tan β=10×=10(米).综上可得:CD=AB-FD=30-10=20(米).2-1-c-n-j-y
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9.解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,
根据题意,可得∠BAD=30°,∠CAD=60°,AD=120 m,
在Rt△ADB中,由tan∠BAD=得:BD=AD·tan∠BAD=120×tan30°=120×=40(m),在Rt△ADC中,由tan∠CAD=得:CD=AD·tan∠CAD=120×tan60°=120×=120(m),
∴BC=BD+CD=40+120=160≈277.1(m).
答:这栋高楼高约为277.1 m.
10.解:过点A作AM⊥EF于M,过点C作CN⊥EF于N,
∴MN=0.25 m,∵∠E ( http: / / www.21cnjy.com )AM=45°,∴AM=ME,设AM=ME=x m,则CN=(x+6) m,EN=(x-0.25) m,∵∠ECN=30°,
∴tan ∠ECN===,
解得:x≈8.8,则EF=EM+MF≈8.8+1.5=10.3(m).
答:旗杆的高EF约为10.3 m.
11.解:过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D.则AD的长即为潜艇C离开海平面的下潜深度.
根据题意得∠ACD=30°,∠BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )68°.设AD=x米.则BD=BA+AD=(1 000+x)米.在Rt△ACD中,CD===x(米).
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 68°,
∴1 000+x=x·tan 68°,
∴x=≈304.∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为304米.
12.解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,
则四边形ABFE为矩形,所以AB=EF,AE=BF,
由题意可知AE=BF=1 100-200=900(米),CD=19 900米.
∵在Rt△AEC中,∠C=45°,AE=900米,∴CE=900米.
在Rt△BFD中,∠BDF=60°,BF=900米,∴DF===300(米).
∴AB=EF=CD+DF-CE=19 900+300-900=19 000+300(米).【出处：21教育名师】
答:两海岛间的距离AB是(19 000+300)米.
13.解:如图,过点A作AM⊥CD,垂足为M.
∴AM=BD=6米,在Rt△ACM中,tan30°=,
∴CM=AM·tan 30°=6×=2(米),
∴CD=(2+1.5)米,在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△CED中,sin 60°=,∴=,∴CE==4+(米).
答:拉线CE的长为(4+)米.
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14.解:如图,过点B作BD⊥CA,交CA的延长线于点D,
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意,得∠ACB=60°-30°=30°.
∠ABC=75°-60°=15°,
∴∠DAB=∠DBA=45°.
在Rt△ADB中,AB=12海里,
∠BAD=45°,
∴BD=AD=ABcos45°=6海里,
在Rt△BCD中,CD==6海里,
∴AC=6-6≈6.2(海里).
答:A,C两地之间的距离约为6.2海里.
解析：△ABC不是直角三角形,可过点B作 ( http: / / www.21cnjy.com )BD⊥CA交CA的延长线于点D,构造双直角三角形Rt△CBD和Rt△ABD.根据已知条件可求出∠ACB,∠DAB的度数,然后利用AB=12海里分别求出AD,CD的长度,进而求解.2·1·c·n·j·y
15.解:如图,过点A作AF⊥DE于F,则四边形ABEF为矩形,
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴AF=BE,EF=AB=3米,设DE=x米 ( http: / / www.21cnjy.com ),在Rt△CDE中,CE===x米.
在Rt△ABC中,∵=,AB=3米,∴BC=3米.
在Rt△AFD中,DF=DE-EF=(x-3)米,∴AF===(x-3)米.21*cnjy*com
∵AF=BE=BC+CE,∴(x-3)=3+x,解得x=9.
答:树DE的高度为9米.
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1.3.2 利用解直角三角形解实际中的视角问题
浙教版 九年级下
导入新知
上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？
A
B
E
C
D
新知讲解
为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′.
根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB 的长吗？
新知讲解
1
知识点
利用直角三角形解决一般的实际问题
应用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
(1)弄清题目中名词、术语的意义，然后根据题意画出正
确的几何图形，建立数学模型；
(2)将实际问题中的数量关系转化成直角三角形各元素之
间的关系，当三角形不是直角三角形时，可适当添
加辅助线，得到直角三角形；
(3)解直角三角形．
知1－讲
新知讲解
例1 体育项目400m栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为
45m.在弯道处，以跑道离内侧线0.3m处的弧线（如
图中虚线）的长度作为相邻 两栏架之间的间隔路程.
已知跑道的内侧线半径为36 m.
问:在设定A栏 架后，B栏架离
A栏架的距离是多少(结果精确
到0.1 m)
知1－讲
新知讲解
知1－讲
如图,连结AB.由题意，得 AB =45m, OB=36.3 m.
设∠AOB=n°，
由弧长公式 可以得到
作OC⊥AB于点C.
∵OA=OB
∴AC=BC,∠AOC= ∠AOB=
∴AB=2AC=2OAsin∠AOC
答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m.
解：
新知讲解
总 结
知1－讲
利用解直角三角形求线段长关键是构造可解的直
角三角形，一般通过作垂线构造直角三角形.
巩固提升
知1－练
如图，⊙O的直径为10cm，直径CD⊥AB于点E，OE=4 cm求AB的长(精确到0.1 cm)
C
巩固提升
知1－练
（来自《典中点》）
如图，从A地到B地的公路需要经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°.因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．
(1)求改直后的公路AB的长度；
(2)问：公路改造后比原来缩短了多少千米？
(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，
tan37°≈0.75)
新知讲解
例2 如图，测得两楼之间的距离为32.6 m，从楼顶点A观测
点D的俯角为35°12′，点C的俯角为43°24′.求这两幢
楼的高度(精确到0.1 m).
如图，过D作DE⊥AB,
垂足为E.显然，问题可
转化为解 Rt△ABC
和 Rt△AED.
知2－讲
2
知识点
视角的认识
分析：
新知讲解
在Rt△ABC中，
∠ACB= ∠FAC=43°24′,
∴AB=BC×tan∠ACB
=32.6 × tan 43°24′，
≈30.83≈30.8(m).
知2－讲
解：
新知讲解
在 Rt△AED 中，
∠ADE= ∠DAF= 35° 12′,
DE=BC=32.6(m)，
∴AE=DE×tan∠ADE
=32.6 ×tan 35°12′≈23.00(m).
∴ CD=AB-AE≈30.83-23.00 = 7.83≈7.8(m).
答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m.
知2－讲
新知讲解
总 结
知2－讲
视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知
仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可
以求出物体的高度.
弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，
将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解.
巩固提升
知2－练
(中考·衢州)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度为( )(结果精确到0.1 m， ≈1.73)
A．3.5 m
B．3.6 m
C．4.3 m
D．5.1 m
D
巩固提升
知2－练
(中考·襄阳)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校
园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底
端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，
若旗杆与教学楼的水平距离
CD为9 m，则旗杆的高度
是多少？(结果保留根号)
课堂小结
有关仰角、俯角的实际问题的解决策略：
(1)一般已知两个仰角或两个俯角和一条线段，通过作
垂线段把两个角分别置于两个不同的直角三角形中，
利用锐角三角函数边角关系把要计算的线段和与已
知线段有关的线段的等量关系列出来，借助已知线
段列方程．解方程即可求得．
(2)对于复杂的问题可能会出现两个角两条线段，一般
会通过作辅助线形成矩形和两个直角三角形．
谢谢
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