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一次函数的概念
◆考点一：一次函数的概念：
典例精讲：
例1.（1）在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（ ）
A．（2，﹣3），（﹣4，6） B．（﹣2，3），（4，6）
C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6） D．（2，3），（﹣4，6）
（2）．如图所示，点A（﹣1，m），B（3，n）在一次函数y=kx+b的图象上，则（ ）
A．m=n B．m＞n C．m＜n D．m、n的大小关系不确定
（3）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）A．2 B．﹣2 C．±2 D．
（4）已知直线y=kx+b经过两点（3，6）和（﹣1，﹣2），则直线的解析式为
（5）已知y﹣2与x成正比例，当x=1时，y=5，那么y与x的函数关系式是
变式训练：
1.某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了.如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中的剩油量为yL，则y与x之间的函数关系式和自变量取值范围分别是（ ）21世纪教育网版权所有
A.，＞0 B.，＞0
C. ， D. ，
2. 下表给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息.
请你根据表格中的相关数据计算：( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．目前，我国大约有1.3亿高血压病患者，占15岁以上总人口数的10%﹣15%，预防高血压不容忽视．“千帕kpa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位，前者是法定的国际计量单位，而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位．请你根据下表所提供的信息，判断下列各组换算正确的是（ ）21教育网
千帕kpa 10 12 16 …
毫米汞柱mmHg 75 90 120 …
A．13kpa=100mmHg B．21kpa=150mmHg C．8kpa=60mmHg D．22kpa=160mmHg
4.已知方程组的解为则一次函数与的交点P的坐标是____________
5．已知点(3，5)在直线y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)上，则的值为__________
◆考点二：一次函数的图象及性质：
典例精讲：
例2.（1）一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）如图，直线AB对应的函数表达式是（ ）
A． B． C． D
（3）一次函数y=kx﹣b，当k＜0，b＜0时的图象大致位置是（ ）
（4）如图，直线y=﹣x+m与y=nx+5n（n≠0）的交点横坐标为﹣3，则关于的不等式﹣x+m＞nx+5n＞0的整数解是 21cnjy.com
(5)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B在x轴的正半轴上，且∠ABO=30°．点C是线段OB上的动点，线段AC的垂直平分线与线段AB交于点D，则线段AD的取值范围是_____________________www.21-cn-jy.com
变式训练：
1．一次函数y=x+1与y=ax+3的图象交于点P，且点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是 2·1·c·n·j·y
2．某一次函数的图象经过点（1，2），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（ ）A．y=2x+4 B．y=3x﹣1 C．y=﹣3x+1 D．y=﹣2x+4
3．已知函数y=kx+b的图象如图所示，则函数y=﹣bx+k的图象大致是（ ）
4．已知点（﹣6，y1），（3，y2）都在直线y=﹣x+5 上，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能比较
5．对于一次函数y=x+6，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为18
C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与x轴正方形夹角为30°
典例精讲：例3.已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，求这个一次函数的解析式．【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练：
1．如图，点A，B，C在一次函数y=﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1 B．3 C．3（m﹣1） D．
2．如图，已知直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为 21·cn·jy·com
3．如图，已知一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点，点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有 个
典例精讲：
例4.如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=4时，点R应运动到（ ）www-2-1-cnjy-com
A．M处 B．N处 C．P处 D．Q处
变式训练：
1．过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是
2．如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，则平移后直线的解析式为
巩固提升：
1.一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B. C. D．
2.如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿ABCD的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（ ）
3．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（ ）21·世纪*教育网
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．若点A(－3，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)是函数y＝－x＋2图象上的点，则( )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＞y1＞y3
5.某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用时间x(分)之间的函数关系．下列说法中错误的是( )
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里 B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公共汽车的平均速度是30公里/小时 D．小强乘公共汽车用了20分钟
6．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是( )2-1-c-n-j-y
A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
7．下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m、n为常数，且mn≠0)的图象的是( )21*cnjy*com
8．已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1 k2=﹣1．
应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直则；直线经过A（2，3），且与垂直，则直线的解析式为___________________【来源：21cnj*y.co*m】
9.如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=﹣x+1上，则【出处：21教育名师】
10．平面直角坐标系内的一条直线同时满足下列两个条件：①不经过第四象限；②与两条坐标轴所围成的三角形的面积为2，这条直线的解析式可以是 （写出一个解析式即可）【版权所有：21教育】
11．图象中所反应的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下说法错误的是___________(填序号）21教育名师原创作品
①体育场离张强家2.5千米；②张强在体育场锻炼了15分钟；③体育场离早餐店4千米；
④张强从早餐店回家的平均速度是千米/小时
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一次函数的概念答案
◆考点一：一次函数的概念：
典例精讲：例1.
（1）解析：A、∵，∴两点在同一个正比例函数图象上；
B、∵，∴两点不在同一个正比例函数图象上；
C、∵，∴两点不在同一个正比例函数图象上；
D、∵，两点不在同一个正比例函数图象上；
故选A．
（2）解析：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∵点A（﹣1，m），B（3，n）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴m=﹣k+b，n=3k+b，﹣k+b＜3k+b，
∴m＜n．故选C．
（3）解析：由题意得：
m2﹣3=1，且m+1＜0，
解得m=﹣2，故选：B．
（4）解析：∵直线y=kx+b经过（3，6）和（﹣1，﹣2）两点，
∴，解得，
∴这条直线的解析式为y=2x．
故答案为：y=2x．
（5）解析：∵y﹣2与x成正比例函数，
∴设y﹣2=kx（k≠0），
将x=1，y=5代入得，k=5﹣2=3，
所以，y﹣2=3x，
所以，y=3x+2．
故答案为y=3x+2．
变式训练：
1. 解析：∵行驶200公里耗油L，∴每公里的耗油量为，
，故选择D
2.解析：∵与两变量构成一次函数，从表中信息得：
∴，，，，∴，
故选择B
3.解：设千帕与毫米汞柱的关系式为y=kx+b（k≠0），
则，解得，
所以y=7.5x，
A、x=13时，y=13×7.5=97.5，
即13kpa=97.5mmHg，故本选项错误；
B、x=21时，y=21×7.5=157.5，
所以，21kpa=157.5mmHg，故本选项错误；
C、x=8时，y=8×7.5=60，
即8kpa=60mmHg，故本选项正确；
D、x=22时，y=22×7.5=165，
即22kpa=165mmHg，故本选项错误．
故选C．
4. 解析：∵方程组的解为，
∴一次函数与的交点P的坐标是：
5. 解析：∵点(3，5)在直线y＝ax＋b上，，
◆考点二：一次函数的图象及性质：
典例精讲：例2.
（1）解析：对于一次函数y=﹣2x﹣1，
∵k=﹣2＜0，
∴图象经过第二、四象限；
又∵b=﹣1＜0，
∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，即函数图象还经过第三象限，
∴一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过第一象限．
故选A．
（2）解析：设直线AB对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，2）、B（3，0）代入y=kx+b中，
，解得：，
∴直线AB对应的函数表达式为．
故选D．
（3）解析：∵一次函数y=kx﹣b，k＜0，b＜0，
∴﹣b＞0，
∴函数图象经过一二四象限，
故选C．
（4）解析：当y=0时，nx+5=0，
解得：x=﹣5，
∴直线y=nx+5n与x轴的交点坐标为（﹣5，0）．
观察函数图象可知：当﹣5＜x＜﹣3时，直线y=﹣x+m在直线y=nx+5n的上方，且两直线均在x轴上方，21世纪教育网版权所有
∴不等式﹣x+m＞nx+5n＞0的解为﹣5＜x＜﹣3，
∴不等式﹣x+m＞nx+5n＞0的整数解为﹣4．
故答案为：﹣4．
（5）解：连接DC，
∵线段AC的垂直平分线与线段AB交于点D，
∴DA=DC，
∵A（0，3），∠ABO=30°，∴AB=2OA=6，
当点C与点B重合时，AD=AB=3，
当DC∥OA时，AD=CD=BD，则AD=2，
∴线段AD的取值范围是：2≤AD≤3，
故答案为：2≤AD≤3．
变式训练：
1.解析：把x=1代入y=x+1，得出y=2，
函数y=x+1和y=ax+3的图象交于点P（1，2），
即x=1，y=2同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y的方程组的解是．
故答案为．
2.解析：设一次函数关系式为y=kx+b，
∵图象经过点（1，2），
∴k+b=2；
∵y随x增大而减小，
∴k＜0．
即k取负数，满足k+b=2的k、b的取值都可以．
故选D．
3.解析：∵函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，
∴函数y=﹣bx+k的图象经过第一、二、四象限．
故选C．
4.答案：A
解析：∵点（﹣6，y1），（3，y2）都在直线y=﹣x+5上，
∴y1=﹣×（﹣6）+5=7，y2=4，
∵7＞4，∴y1＞y2．故选A．
5.答案：D
解析：A、∵一次函数y=x+6中，k=1＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项正确；
B、∵一次函数y=x+6与坐标轴的交点分别为（0，6），（﹣6，0），∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积=×6×6=18，故本选项正确；21教育网
C、∵一次函数y=x+6中，k=1＞0，b=6＞0，∴此函数的图象经过一二三象限，不经过第四象限，故本选项正确；21cnjy.com
D、∵一次函数y=x+6与坐标轴的交点分别为（0，6），（﹣6，0），∴函数图象与x轴正方形夹角为45°，故本选项错误．故选D．www.21-cn-jy.com
典例精讲：例3.
解析：分两种情况：
①当k＞0时，把x=﹣3，y=﹣5；x=6，y=﹣2代入一次函数的解析式y=kx+b，
得，解得，
则这个函数的解析式是y=x﹣4；
②当k＜0时，把x=﹣3，y=﹣2；x=6，y=﹣5代入一次函数的解析式y=kx+b，
得，解得，
则这个函数的解析式是．
故这个函数的解析式是或．
变式训练：
1.解析：由题意可得：A点坐标为（﹣1，2+m），
B点坐标为（1，﹣2+m），C点坐标为（2，m﹣4），
D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），
F点坐标为（0，﹣2+m），G点坐标为（1，m﹣4）．
所以，DE=EF=BG=2+m﹣m=m﹣（﹣2+m）=﹣2+m﹣（m﹣4）=2，
又因为AD=BF=GC=1，所以图中阴影部分的面积和等于×2×1×3=3．
故选B．
2.解析：当y=0时，2x+4=0，解得x=﹣2，则A（﹣2，0）；
当x=0时，y=2x+4=4，则B（0，4），
所以AB=，
因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C，
所以AC=AB=2，
所以OC=AC﹣AO=2﹣2，
所以的C的坐标为：，
故答案为：
3.解析：如图，共7个点 故答案为：7．
典例精讲：例4.
解析：点R在NP上时，三角形面积增加，点R在点P时，三角形的面积最大，
故选：C．
变式训练：
1.解析：∵过点（﹣1，7）的一条直线与直线平行，设直线AB为；
把（﹣1，7）代入；得，解得：
∴直线AB的解析式为，
令y=0，得：，解得：，
∴0＜x＜的整数为：1、2、3；
把x等于1、2、3分别代入解析式得4、、1；
∴在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1，4），（3，1）．
故答案为：（1，4），（3，1）．
2.解析：设点A沿射线OC方向平移个单位后到达点M，点B沿射线OC方向平移个单位后到达点N，过点M作ME⊥y轴于点M，过点N作NF⊥x轴于点F，如图所示．
∵直线OC的解析式为y=x，
∴∠COF=∠COA=45°．
∵AM∥OC、BN∥OC，
∴∠NBF=∠COF=45°，∠MAE=∠COA=45°，
∴△AEM和△BFN为等腰直角三角形，且AM=BN=，
∴BF=NF=AE=EM=1．
当x=0时，y=2x+1=1，
∴点A的坐标为（0，1）；
当y=2x+1=0时，x=﹣，
∴点B的坐标为（﹣，0）．
∴点M的坐标为（1，2），点N的坐标为（，1）．
设直线MN的解析式为y=kx+b，
将M（1，2）、N（，1）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线MN的解析式为y=2x．故答案为：y=2x．
巩固提升：
1.解析：，即,观察图形知，， 故选B
2.解析：当点p由点A运动到点B时，△APD的面积是由小到大；
然后点P由点B运动到点C时，△APD的面积是不变的；
再由点C运动到点D时，△APD的面积又由大到小；
再观察图形的BC＜AB＜CD，故△APD的面积是由小到大的时间应小于△APD的面积又由大到小的时间．故选B．21·cn·jy·com
3.解析：根据图象y1=kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，故①正确，④错误；
∵y2=x+a与y轴负半轴相交，∴a＜0，故②错误；
当x＜4时图象y1在y2的上方，所以y1＞y2，故③错误．
所以正确的有①共1个．故选D．
4. 解析：函数为，即，函数值随的增大而减小，
，，故选择A
5. 解析：从图中可得：小强从家到公共汽车站步行了2公里 ，故A选项正确；
小强在公共汽车站等小明用了10分钟，故B选项正确；
公共汽车半小时行驶了15公里，故速度为，故C选项正确；
小强乘公共汽车用了30分钟，故D选项错误，故D符合所选，故选择D
6.解析：∵把直线y＝－x＋3向上平移m个单位，，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，故在轴上的截距必须超过4，
，故选C
7.解析：由和结合图象可得：
选项A中，，，即y＝mnx在二、四象限，故A选择项正确；
选项B中，，，即y＝mnx在二、四象限，而图中在一、三象限，故选择B错误；
选项C中，，应在一、三象限，而图中在二、四象限，故选择项C错误；
选项D中，，∴，应在二、四象限，而图中在一、三象限，故D选择项错误，故选择A
8. 解析：∵y=2x+1与y=kx﹣1垂直，；
∵设经过A（2，3）的直线为：，且与垂直，，
即又过A（2，3），代入得：，∴解析式为：
9.解析：∵点A（2，m），
∴点A关于x轴的对称点B（2，﹣m），
∵B在直线y=﹣x+1上，∴﹣m=﹣2+1=﹣1，m=1，
10.解析：因为不经过第四象限，k＞0，b＞0，
与两条坐标轴所围成的三角形的面积为2，
可得解析式为y=x+2，故答案为：y=x+2
11. 解析:体育场离张强家2.5千米,故①正确；
，∴张强在体育场锻炼了15分钟，故②正确；
体育场离早餐店为千米，故③错误；
，故④正确。故填③
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