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2.1.2 切线的判定和性质
基础训练
1.下列说法正确的是( )
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.经过圆的半径外端的直线是圆的切线
2.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,当∠OCB=( )时,直线BC与☉O相切.21·cn·jy·com
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A.25° B.40° C.50° D.60°
3.如图,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是( )2·1·c·n·j·y
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A.∠EAB=∠C B.∠B=90°
C.EF⊥AC D.AC是☉O的直径
4.如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线y=x-与☉O的位置关系是( )
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A.相离
B.相切
C.相交
D.以上三种情况都有可能
5.如图,P是☉O外一点,PA是☉O的切线,PO=26 cm,PA=24 cm,则☉O的周长为( )
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A.18π cm B.16π cm
C.20π cm D.24π cm
6.下列说法中,错误的是( )
A.垂直于弦的直径平分这条弦
B.弦的垂直平分线过圆心
C.垂直于圆的切线的直线必过圆心
D.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
7.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB ( http: / / www.21cnjy.com )=AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心作半圆O交BC于点M,N,半圆O与AB,AC相切,切点分别为D,E,则半圆O的半径和∠MND的度数分别为( )21·世纪*教育网
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A.2;22.5° B.3;30° C.3;22.5° D.2;30°
8.如图,O是正方形ABCD的对角线BD上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点,☉O与边AB,BC都相切,点E,F分别在边AD,DC上.现将△DEF沿着EF折叠,折痕EF与☉O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是( )2-1-c-n-j-y
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A.3 B.4 C.2+ D.2
9.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径 ( http: / / www.21cnjy.com )画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是半圆O的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( )
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A.4 B.3 C.6 D.2
10.如图,点O为∠MPN的平分线上一点,以点O为圆心的☉O与PN相切于点A.求证:PM为☉O的切线.21*cnjy*com
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提升训练
11.如图,AB是☉O的直径,BC⊥AB,连结OC,弦AD∥OC,直线CD交BA的延长线于点E.
(1)求证:直线CD是☉O的切线;
(2)若DE=2BC,求AD∶OC的值.
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12.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB为半径作☉D.
求证:AC与☉D相切.
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13.如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.www.21-cn-jy.com
(1)求证:直线EF是☉O的切线;
(2)当直线DF与☉O相切时,求☉O的半径.
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14.如图,P是☉O外一点,PO交☉O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连结PB,BC.【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求BC的长;
(2)求证:PB是☉O的切线.
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15.如图,AB是☉O的直径,OD垂直弦AC于点E,且交☉O于点D,F是BA的延长线上一点,若∠CDB=∠BFD,求证:FD是☉O的切线.【出处：21教育名师】
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16.已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB的延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.21教育名师原创作品
(1)当直线CD与半圆O相切时(如图①),求∠ODC的度数.
(2)当直线CD与半圆O相交时(如图②),设另一交点为E,连结AE,若AE∥OC,
①线段AE与OD的大小有什么关系 为什么
②求∠ODC的度数.
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17.如图,在☉O中,AB ( http: / / www.21cnjy.com )为直径,AC为弦,过点C作CD⊥AB于点D,将△ACD沿AC翻折,点D落在点E处,AE交☉O于点F,再将△ACD沿AC展开,连结OC,FC.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若FC∥AB,求证:四边形AOCF是菱形.
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18.如图,直线y=与x轴、y轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该直线相交时,求横坐标为整数的点P的个数.
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参考答案
基础训练
1.B 2.B
3.A
解析：易得B,C,D错误.对于A, ( http: / / www.21cnjy.com )可作直径AD,连结BD,由圆周角定理及其推论可得∠C=∠D,∠ABD=90°,则∠D+∠DAB=90°,由A中条件∠EAB=∠C可得∠EAB+∠DAB=90°,即AD⊥EF,则直线EF与☉O相切于点A.故选A.www-2-1-cnjy-com
4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 9.B
10.思路导引:PN与☉O相切于点 ( http: / / www.21cnjy.com )A,过切点连半径OA可得OA⊥PN.要证PM是☉O的切线,PM与☉O不确定是否有公共点,所以过点O作OB⊥PM于B,再证明OB等于☉O的半径即可.【版权所有：21教育】
证明:如图,连结OA,过点O作OB⊥PM于B.
∵PN与☉O相切于点A,∴OA⊥PN.
∵点O在∠MPN的平分线上,
∴OB=OA.
∴点O到直线PM的距离等于☉O的半径.
∴PM为☉O的切线.
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提升训练
11.(1)证明:连结OD.∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB.
又∵CO=CO,OD=OB,∴△COD≌△COB,∴∠CDO=∠CBO=90°.∴直线CD是☉O的切线.
(2)解:由(1)知△COD≌△COB.
∴CD=CB.
∵DE=2BC,∴DE=2CD.
∵AD∥OC,∴△EDA∽△ECO.
∴==.
12.证明:如图,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
∵AD平分∠BAC,BD⊥AB,DE⊥AC,
∴DE=DB,即点D到AC的距离等于☉D的半径.∴AC与☉D相切.
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13.(1)证明:连结OE,则OB=OE.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠C=60°.
∴△OBE是等边三角形.
∴∠OEB=∠C =60°.∴OE∥AC.
∴∠OEF=∠EFC.
∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.
∴∠OEF=90°.∴直线EF是☉O的切线.
(2)解:∵DF是☉O的切线,
∴∠ADF=90°.
设☉O的半径为r,则BE=OB=r,EC=4-r,AD=4-2r.在Rt△ADF中,
∵∠A=60°,∴∠AFD=30°,∴AF=2AD=8-4r.∴FC=AC-AF=4-(8-4r)=4r-4.
在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴∠CEF ( http: / / www.21cnjy.com )=30°,∴EC=2FC,即4-r=2(4r-4),解得r=.∴☉O的半径是.
14.(1)解:连结OB, ( http: / / www.21cnjy.com )∵AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,∴∠COB=60°,又∵OC=OB,∴△OBC是正三角形,∴BC=OC=2.21教育网
(2)证明:∵BC=OC=CP,∴∠CBP=∠CPB,∵△OBC是正三角形,
∴∠OBC=∠OCB=60°.∴∠CBP=30°,∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,即OB⊥BP,∴PB是☉O的切线.21cnjy.com
15.证明:∵∠CDB=∠CAB,∠CDB=∠BFD,∴∠CAB=∠BFD.∴FD∥AC(同位角相等,两直线平行).
∴∠FDO=∠AEO.
∵OD⊥AC,∴∠AEO=90°,
∴∠FDO=90°.∴FD是☉O的切线.
16.解:(1)如图①,连结OC,∵OC=OA,CD=OA,∴OC=CD,∴∠ODC=∠COD.
∵CD是半圆O的切线,
∴∠OCD=90°,∴∠ODC=45°.
(2)如图②,连结OE.
∵CD=OA,∴CD=OC=OE=OA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AE∥OC,∴∠2=∠3.
设∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x.
∴∠AOE=∠OCD=180°-2x.
①AE=OD.理由如下:
在△AOE与△OCD中,∵OA=OC,∠AOE=∠OCD,OE=CD,
∴△AOE≌△OCD(SAS),∴AE=OD.
②∠6=∠1+∠2=2x.
∵OE=OC,∴∠5=∠6=2x.
∵AE∥OC,∴∠4+∠5+∠6=180°,
即:x+2x+2x=180°,∴x=36°.
∴∠ODC=36°.
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17.证明:(1)由翻折 ( http: / / www.21cnjy.com )可知:∠FAC=∠OAC,∠E=∠ADC=90°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠FAC=∠OCA.∴OC∥AE.∴∠OCE+∠E=180°,∴∠OCE=90°,即OC⊥CE,∴CE是☉O的切线.
(2)∵FC∥AB,OC∥AF,∴四边形AOCF是平行四边形.又∵OA=OC,∴四边形AOCF是菱形.
18.解:∵直线y=与x轴、y轴分别相交于A,B两点,∴A点的坐标为(-3,0),B点的坐标为(0,),∴AB=2.21世纪教育网版权所有
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如图,将圆P沿x轴向左移动,当圆P与该 ( http: / / www.21cnjy.com )直线相切于C1时,连结P1C1,则P1C1=1,易知△AP1C1∽△ABO,∴=,∴AP1=2,∴P1的坐标为(-1,0),同理可得P2的坐标为(-5,0).
-5与-1之间的整数(不含-5和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点P的个数是3.
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2.1.2 切线的判定和性质
浙教版 九年级下
导入新知
根据图形，回答以下问题：
（1）在图中，直线l分别与⊙O的是什么关系？
（2）在上边三个图中，哪个图中的直线l 是圆的切线？
你是怎样判断的？
导入新知
1
知识点
切线的判定
动手操作：在⊙O中任取一点A，连结OA，过点A 作
直线l⊥OA .
思 考：（可与同伴交流）
（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线l 与⊙O的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
知1－导
新知讲解
1.判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直
线是圆的切线，如图所示，半径OA⊥直线l，直线l
为⊙O的切线．
知1－讲
新知讲解
2．圆的切线的判定方法：
(1)概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量关系：到圆心的距离 等于半径的直线是圆的
切线；
(3)判定定理：经过半径的 外端并且垂直这条半径的
直线是圆的切线．
知1－讲
新知讲解
例1 已知:如图， A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C， 点B在圆上，且AB=BC,∠A= 30°.求证:直线AB是⊙O的切线.
知1－讲
连结OB.
∵OB=OC,AB=BC,∠A=30°，
∴∠OBC=∠C=∠A=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.
∵∠ABO=180°-(∠AOB+∠A)
=180°-(60°+30°)=90°，
∴AB⊥OB，
∴AB为⊙O的切线(经过半径的外端并且垂直这条半
径的直线是圆的切线).
证明：
B
新知讲解
总 结
知1－讲
解答本题运用了 连半径，证垂直．一定要分清
圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经
过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺
一不可．
巩固提升
如图，点Q在⊙O上.分别根据下列条件，判定直线PQ与⊙O是否相切.
(1) OQ=6 , OP = 10 , PQ=8.
(2)∠O=67.3°，∠P=22°42′.
知1－练
巩固提升
下列说法正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的
切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．经过圆的半径外端的直线是圆的切线
知1－练
B
巩固提升
如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，当∠OCB＝( )时，直线BC与⊙O相切．
A．25°
B．40°
C．50°
D．60°
知1－练
B
新知讲解
2
知识点
切线的性质
知2－讲
圆的切线的性质定理：
经过切点的半径垂直于圆的切线．
拓展：
(1)切线和圆只有一个公共点．
(2)圆心到切线的距离等于半径．
(3)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．
(4)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
新知讲解
知2－讲
例2〈重庆〉如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，
PO＝26 cm，PA＝24 cm，则⊙O的周长为( )
A．18π cm
B．16π cm
C．20π cm
D．24π cm
C
新知讲解
知2－讲
如图，连接OA.
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，即∠OAP＝90°.
又∵PO＝26 cm，PA＝24 cm，
∴根据勾股定理，得
∴⊙O的周长为2π·OA＝2π×10＝20π(cm)，∴选C.
解析：
新知讲解
总 结
知2－讲
解答本题运用了构造法，连接圆心和切点，构造
直角三角形，然后利用勾股定理解答．
新知讲解
例3 已知:如图,直线AB与⊙O相切于点C，AO交⊙O于点D，
连结CD,OC.求证：∠ACD = ∠COD.
如图,作OE丄CD于点E，
则∠COE+ ∠OCE=Rt∠.
∵ ⊙O与AB相切于点C，
∴OC丄AB (经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD+ ∠OCE=Rt∠.
∴∠ACD=∠COE.
∵△ODC是等腰三角形，OE⊥CD,
∴ ∠COE= ∠COD ∴∠ACD= ∠COD
知2－讲
证明：
巩固提升
1 下列说法中，错误的是( )
A．垂直于弦的直径平分这条弦
B．弦的垂直平分线过圆心
C．垂直于圆的切线的直线必过圆心
D．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
知2－练
C
巩固提升
知2－练
(中考·毕节)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝
AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心作半圆O交
BC于点M，N，半圆O与AB，AC相切，切点分别为
D，E，则半圆O的半径和∠MND的度数分别为( )
A．2；22.5°
B．3；30°
C．3；22.5°
D．2；30°
A
课堂小结
1.切线的判定定理。
2.判定一条直线是圆的切线的方法。
（1）定义：直线和圆有唯一公共点。
（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。
（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径
垂直的直线是圆的切线。
3.辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直。
（2）无公共点：作垂直证半径。
谢谢
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