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2.2 切线长定理
基础训练
1.下列说法正确的是( )
A.过任意一点总可以作圆的两条切线
B.圆的切线长就是圆的切线的长度
C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,且∠APB=40°,下列结论不正确的是( )
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A.PA=PB
B.∠APO=20°
C.∠OBP=70°
D.∠AOP=70°
3.如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=90°,PA=8,那么弦AB的长是( )21·cn·jy·com
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A.4 B.8 C.4 D.8
4.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,已知∠BAC=15°,则∠P的度数为( ) 【版权所有：21教育】
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A.30° B.35° C.40° D.45°
5.如图,PA切☉O于A,PB切☉O于B,连结OP,AB.下列结论不一定正确的是( )
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A.PA=PB B.OP垂直平分AB
C.∠OPA=∠OPB D.PA=AB
6.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为( )
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A.50 B.52 C.54 D.56
7.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=6 ( http: / / www.21cnjy.com )0°,连结AB,过A,B两点分别作☉O的切线,两切线交于点P,若☉O的半径为1,则△PAB的周长为 . 21教育名师原创作品
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8.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B分别为切点,AC是☉O的直径,∠P=40°,则∠BAC= .
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9.既有外接圆,又有内切圆的平行四边形是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.矩形或菱形
10.如图,☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°,求∠COD的度数.
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提升训练
11.如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O,与斜边AC交于点D,过点D作☉O的切线交BC边于点E.求证:EB=EC=ED.21世纪教育网版权所有
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12.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B,BC为☉O的直径,连结AB,AC,OP.
求证:(1)∠APB=2∠ABC;(2)AC∥OP.
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13.(1)如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,切点分别为E,F,G,H,说明AB+CD与BC+AD的大小关系.21教育网
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(2)如图,四边形ABCD的三边切☉O于F,G,H,说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
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(3)如图,四边形ABCD的三边切☉O于F,G,H,说明AB+CD与BC+AD的大小关系.
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14.如图,PA,PB分别切☉O于A,B,连结PO,AB,相交于点D,C是☉O上一点,∠C=60°.
(1)求∠APB的大小;
(2)若PO=20 cm,求△AOB的面积.
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15.如图,☉O经过菱形ABCD的三个顶点A,C,D,且与AB相切于点A.
(1)求证:BC为☉O的切线;
(2)求∠B的度数.
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16.如图,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6,CO=8.
(1)判断△OBC的形状,并证明你的结论;
(2)求BC的长;
(3)求☉O的半径OF的长.
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17.如图,AB是☉O的直径,AM和BN是它的两条切线,DC切☉O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连结OF.21cnjy.com
(1)求证:OD∥BE.
(2)猜想:OF与CD有何数量关系 并说明理由.
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参考答案
基础训练
1.C 2.C 3.D 4.A 5.D 6.B
7.3 8.20° 9.C
10.解:∵☉O为四边形ABCD的内切圆,
∴∠OAB=∠OAD,∠ODA=∠ODC,∠OCD=∠OCB,∠OBC=∠OBA.
∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.
∴∠COD=180°-∠AOB=110°.
提升训练
11.证明:连结OD,BD,
∵AB是☉O的直径,∠ABC=90°,∴BC是☉O的切线,且∠ADB=∠BDC=90°.∵DE是☉O的切线,
∴ED=EB.∴∠EBD=∠EDB.
又∵∠EBD+∠C=90°,∠EDB+∠EDC=90°,∴∠C=∠EDC,∴ED=EC.∴EB=EC=ED.
12.思路导引:(1)由切线长定理知∠BP ( http: / / www.21cnjy.com )O=∠APO=∠APB,而要证∠APB=2∠ABC,即证明∠ABC=∠APB=∠BPO,利用同角的余角相等可证;(2)证明AC∥OP,可用AC⊥AB,OP⊥AB来证明,也可用“同位角相等,两直线平行”来证明.21·世纪*教育网
证明:(1)∵PA,PB分别切☉O于点A, ( http: / / www.21cnjy.com )B,∴∠APO=∠BPO=∠APB,PA=PB,∴PO⊥AB.∴∠ABP+∠BPO=90°.∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB.∴∠ABP+∠ABC=90°.∴∠ABC=∠BPO=∠APB,即∠APB=2∠ABC.www-2-1-cnjy-com
(2)∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,即AC⊥AB.由(1)知PO⊥AB,∴AC∥OP.
13.解:(1)由切线长定理,
得AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH,
∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH=BC+AD,即AB+CD=BC+AD.
(2)过点B作☉O的切线,交AD于点M,切点为E.
由(1)可知BM+CD=BC+MD.∵AB
即AB+CD(3)过点A作☉O的切线,交CB的延长线于点M,切点为E.
由(1)知AM+CD=AD+MC.∵AB+BM>AM,∴AB+BM+AM+CD>AM+AD+MC,
∴AB+CD>AD+MC-BM,即AB+CD>BC+AD.
14.解:(1)∵∠C=60°,∴∠AOB=120°.
∵PA,PB分别切☉O于A,B,
∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠APB=60°.
(2)∵PA,PB分别切☉O于A,B,∴PA=PB.
∴点P在线段AB的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线上.∵OA=OB,∴点O也在线段AB的垂直平分线上.∴PO垂直平分线段AB.∵∠APB=60°,∠AOB=120°,【来源：21·世纪·教育·网】
∴∠OPB=∠OPA=30°,∠POB=∠POA=60°.
在Rt△POB中,PO=20 cm,∴OB=10 cm.在Rt△OBD中,由∠POB=60°,OB=10 cm,
可求得OD=5 cm.由勾股定理可知:BD==5(cm),
∴AB=2BD=10 cm.∴S△AOB=AB·OD=×10×5=25(cm2).2·1·c·n·j·y
15.(1)证明:连结OA,OB,OC,如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB与☉O切于A点,∴OA⊥AB,即∠OAB=90°.∵四边形ABCD为菱形,∴BA=BC.在△ABO和△CBO中,2-1-c-n-j-y
∴△ABO≌△CBO(SSS).∴∠BCO=∠BAO=90°,即OC⊥BC.∴BC为☉O的切线.
(2)解:连结BD,如图所示.
∵△ABO≌△CBO,∴∠AOB=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )OB.∵四边形ABCD为菱形,∴BD平分∠ABC,∠CBD=∠CDB,∴点O在BD上.∴∠BOC=∠ODC+∠OCD,又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∴∠BOC=2∠ODC,∴∠BOC=2∠OBC.∵∠BOC+∠OBC=90°,∴∠OBC=30°,∴∠ABC=2∠OBC=60°.
16.解:(1)△OBC是直角三角形.
证明:∵AB,BC,CD分别与☉O ( http: / / www.21cnjy.com )相切于点E,F,G,∴∠OBE=∠OBF=∠EBF,∠OCG=∠OCF=∠GCF.∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.www.21-cn-jy.com
∴∠OBF+∠OCF=90°,∴∠BOC=90°,即△OBC是直角三角形.
(2)∵在Rt△BOC中,BO=6,CO=8,
∴BC==10.
(3)∵BC与☉O相切于点F,∴OF⊥BC.∴OF===4.8.【来源：21cnj*y.co*m】
17.(1)证明:如图,连结OE.由AM,DC是☉O的切线,OA,OE是☉O的半径,可得∠AOD=∠EOD=∠AOE,【出处：21教育名师】
又∠ABE=∠AOE,
∴∠AOD=∠ABE.∴OD∥BE.
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(2)解:OF=CD.理由:
∵BC,CE是☉O的切线,B,E分别为切点,∴CB=CE,∠OBC=90°.
∵AD,DE是☉O的切线,A,E分别为切点,∴AD=ED,∠OAD=90°.
∴∠OAD+∠OBC=180°,∴AM∥BN.又∵O是AB的中点,
F是DC的中点,∴OF=(AD+BC)=(DE+CE),即OF=CD.21*cnjy*com
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2.2 切线长定理
浙教版 九年级下
导入新知
从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、
B，那么线段PA和PB之间有何关系？
新知讲解
切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长
________．
如图所示，过圆外一点可以作一个圆的__________，
这两条切线的长度________．过圆上一点可以作圆的
________切线．
知1－讲
两条切线
相等
一条
相等
新知讲解
知1－讲
(1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角
相等，运用时要根据题意选用．
(2)图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很
多结论．
如：①PO⊥AB；②AO⊥AP，
BO⊥BP；③AP＝BP；
④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；
⑤AD＝BD；⑥ 等.
新知讲解
例1 如图,点O是 所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A,B.已知∠ACB=80°，OC=100cm.求点C
到⊙O的切线长(结果精确 到 1 cm).
如图,连结OA,OB.
∵AC，BC分别与⊙O相
切于点A，B，
∴AC=BC (过圆外一点所作的圆的两条切线长相等).
又∵OA = OB，OC=OC，
∴△OAC ≌ △OBC.
知1－讲
解：
新知讲解
∴∠ACO= ∠BCO= ∠ACB= ×80° = 40°.
在 Rt△OAC 中，∠OAC=90°（为什么？），
∴ =cos 40°，
∴AC=OC× cos 40°= 100× cos 40°≈77(cm).
答:点C到⊙O的切线长约为77 cm.
知1－讲
新知讲解
总 结
知1－讲
见切点，连半径，通过解直角三角形求出切线长.
新知讲解
知1－讲
例2 如图, ⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA,NB分别切⊙O于点A，B.延长MA,NB,相交于点P.已知∠APB = 60°，AP=24 cm，求两切点间的距离和 的长(精确到1 cm).
M
N
新知讲解
知1－讲
如图,连结 AB,OA,OB,OP.
∵MP，NP 分别切⊙O 于点 A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP=BP (为什么？）
又∵∠APB=60°，
∴△ABP为等边三角形，
∴AB=AP=24cm.
∵OA = OB,
∴OP平分∠APB,
解：
N
M
新知讲解
知1－讲
∴∠OPA = 30°,
∴OA=AP× tan 30°=24× = (cm).
而∠AOB=360°- 2×90°- 60°= 120°，
∴
答：两切点间的距离为24cm, 的长约为29cm.
新知讲解
总 结
知1－讲
在解答有关切线的问题时，经常用到等腰三角
形和等边三角形的有关性质。
巩固提升
已知⊙O的半径为5,P是⊙O外一点,PO=10.求点P到⊙O的切线长和两切点间的劣弧长.
已知：如图，在⊙O中，弦AB从垂直平分半径ON，
过点A，B的切线相交于点M.求证：△ABM是等边
三角形.
知1－练
巩固提升
下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
知1－练
C
巩固提升
知1－练
如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，且
∠APB＝40°，下列结论不正确的是( )
A．PA＝PB
B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70°
D．∠AOP＝70°
C
巩固提升
知1－练
5 如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
A．4 B．8 C．4 D．8
D
课堂小结
切线长定理中的基本图形
如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，
则有：
(1)两个等腰三角形
(△PAB，△OAB)．
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)．
(3)三个垂直关系(OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB)．
谢谢
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