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浙教版九年级下册1.3.2解直角三角形教学设计
课题 1.3.2解直角三角形 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 (一)知识目标了解测量中坡度、 坡角的概念．(二)能力训练点掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角 形的知识，解决与坡度有 关的实际问题．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点 有关坡度的计算．
难点 构造直角三角形的思路．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1复习回顾：在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.这五个元素之间有什么关系？2. 问题1.填表(一式多变,适当选用): 已知两边求角及其三角函数已知一边一角求另一边已知一边一角求另一边 3.在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度，怎么描述倾斜程度呢？ 1.积极思考，独立自学2..认真填表，组内交流3. 1.通过参予活动，调动学生学习新课的热情，为新的学习做准备.2.归纳总结，提升能力3.
讲授新课 讲解概念：（1）坡度的概念， 如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。（2）坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。练习：如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知 ，则小车上升的高度是（ ）A、5米 B、6米 C、6.5米 D、12米2.例题讲解：例1、一水库大坝的横断面是梯形ABCD，测得坝顶BC宽6m，斜坡CD长为60米，斜坡CD的坡度 r=1：2.5，斜坡AB的坡度i=l：3， 求：（1）斜坡CD的坡角∠D与坝底AD的宽度；(角度精确到1′，长度精确到0.1米） (2)若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)例2、例4. 体育项目400M栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m.在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程.已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（ π取3.14，结果精确到0.1m）.提醒： 要解决本题，先要理解弯道弧线是圆的一部分. 1.合作交流，探索理解概念.2.积极参加学习活动中，探索新知的应用.并思考总结其中的蕴含的一般思路. 1.学习坡度与坡角2.为学生作示范
随堂演练 1. 一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米2.如图(1)若h=2cm， l=5cm，则i= ；(1)若i=1:1.5， h=2m，则l= ； 3.水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度 i=1：2，坝高h=20m，迎水坡的水平宽度= ， tanα= ；4.为了防洪，计划将长为1000m的一堤面加宽1.5m，背水坡坡度由原来的1:1 改为1:2，已知原背水坡坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方. 小组合作，人从过关，分组展示 巩固、应用新学的知识.
巩固提升 1.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 ．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．. 2.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）.提示：本题无图，对于无图一般要考虑分类讨论思想,尝试画出符合题意的图，画出的是直角三角形吗？如果不是要考虑构造直角三角形. 自学、互学、小组合作学习. 进一步巩固新学的知识.
课堂小结 1.坡度与坡角2.应用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：（1）弄清题目中名词、术语的意义，然后根据题意画出正确的几何图形，建立数学模型；（2）将实际问题中的数量关系转化成直角三角形各元素之间的关系，当三角形不是直角三角形时，可适当添国辅助线，得到直角三角形；（3）解直角三角形.. 认真回顾，思考并积极回答， 系统化本节知识要点
板书 1.坡度与坡角2.解决实际问题的一般步骤：
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1.3 解直角三角形（2）
—— 堤坝问题
浙教版 九年级下
回顾：在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.
这五个元素之间有如下等量关系：
A
B
C
c
a
b
(2)三边之间关系：
a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(1)锐角之间关系：
∠A+∠B=90°
(3)边角之间关系：
导入新知
导入新知
问题1.填表(一式多变,适当选用):
b
A
B
C
a
┌
c
已知两边求角及其三角函数 已知一边一角求另一边 已知一边一角求另一边
问题2：修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要明斜坡的倾斜程度.
1.坡度：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面
坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = .
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.
h
l
铅垂高度
l水平长度
导入新知
导入新知
A、5米 B、6米
C、6.5米 D、12米
练习：如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知 ，则小车上升的高度是（ ）
A
2.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有 i = tan α ＝ .
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
i2=1∶3
E
F
i1＝1∶2.5
新知讲解
例3.一水库大坝的横断面是梯形ABCD，测得坝顶BC宽6米，斜坡CD长为60米，斜坡CD的坡度i1=1∶ 2.5 ，斜坡AB的坡度i2＝1∶3.
求：（1）斜坡CD的坡角∠D与坝底AD的宽度；(角度精确到1′，长度精确到0.1米）
(2)若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)
i2=1∶3
E
F
i1＝1∶2.5
新知讲解
分析：
由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线.垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度，通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出.
斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ABE和Rt△CFD.
解;(1)如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，点E，F为垂足
在RtACFD中，
∴ ∠D≈21°48′.
∴ CF= CD ·sin D=60 × sin 21°48′≈22.28( m)
DF= CD·cosD=60 × cos21°48′≈55.71( m)
∴ AE=3BE=3CF=66.84(m),
∴AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
= 66.84+6+55.71=128.55≈128.6 ( m)
新知讲解
新知讲解
(2)横断的面积 S= (BC+AD)×CF÷2
=(6+128.55) ×22.28÷2
≈1498.9(m2),
需用土石方V=SL=1498.9×150=224835(m3).
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为 128.6m，建造这个大坝需用土石约为224835m3.
(2)若堤坝长150m，问建造这个堤坝需用多少土石方(精确到1m3)
i2=1∶3
E
F
i1＝1∶2.5
新知讲解
（1）弄清题目中名词、术语的意义，然后根据题意画出正确的几何图形，建立数学模型；
（3）解直角三角形.
应用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
（2）将实际问题中的数量关系转化成直角三角形 各元素之间的关系，当三角形不是直角三角形时，可适当添国辅助线，得到直角三角形；
新知讲解
例4. 体育项目400M栏比赛中，规定相邻两栏架的路程为45m.在弯道处，以跑道离内侧0.3m处的弧线（图中的虚线）的长度作为相邻两栏架之间的间隔路程.已知跑道的内侧线半径为36m，问在设定A栏架后，B栏架离A栏架的距离是多少（ π取3.14，结果精确到0.1m）.
分析：要解决本题，先要理解弯道弧线是圆的一部分，故AO=OB,顺理成章OAB是等腰三角形，等腰三角形底边上有三线合一的性质，很容易想到过O作OC⊥AB于点C，辅助线添加好，本题很容易解答.
新知讲解
解：如图，连结AB.由题意，得 ,
OB＝36.3m
设∠AOB＝n°，由弧长公式
可以得到
作OC⊥AB于点C
∵OA＝OB,
∴AC=BC, ∠AOC=0.5∠AOB=35.52°
∴ AC= OAsin∠AOC=36.3×sin 35.52°≈21.09(m),
∴ AB=2AC=2×21.09≈42.2(m).
答：设定A栏架的位置后，B栏架离A栏架的距离约为42.2m
新知讲解
提示：
利用解直角三角形求线段的长关键是构造可解的直角三角形，一般通过作垂线构造直角三角形.
如何作垂线，要求学生对基本图形有一定的积累，如相似的基本图形、等腰三角形三线合一的基本图形、梯形化为两直角三角形和矩形等.
巩固提升
1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米
D．AB= 米
B
巩固提升
2.如图
(1)若h=2cm， l=5cm，则i= ；
(1)若i=1:1.5， h=2m，则l= ；
A
B
h
l
C
3.水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度 i=1：2，坝高h=20m，迎水坡的水平宽度= ， tanα= ；
3m
40m
A
B
C
D
α
h
巩固提升
4.为了防洪，计划将长为1000m的一堤面加宽1.5m，背水坡坡度由原来的1:1 改为1:2，已知原背水坡坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方.
分析：本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法．过点D、E向下底引垂线，得到两个直角三角形，利用三角函数分别求得增加的下底宽和高的相应线段．所需的土方=增加横截面的面积×长度10000．
巩固提升
解：分别作DM⊥AB交AB于M，EN⊥AB交AB于N．
∵DM:AM=1:1，∴∠DAM=45°，△ADM为等腰三角形，
在Rt△FNE中，EN:FN=1:2，
答：完成这一工程需24508m3的土方．
M
N
1.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 ．
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．
拓展提升
分析：(1)由新坡面的坡度，可得坡角的正切值，然后由特殊角的三角函数值，求得答案；
(2)首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度，新坡面的坡度．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．
拓展提升
解：（1）∵新坡面的坡度为 ，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角α为30°；
（2）文化墙PM不需要拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为 ,
，
∴文化墙PM不需要拆除．
有什么心得吗？
拓展提升
2.如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF．（ ，CF结果精确到米）
分析:（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．
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答：AB段山坡高度为400米，山峰CF的高度约为541米．
解：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABF中，
（2）在Rt△CBE中，
拓展提升
∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．
∴BH=800 sin30°=400，
∴EF=BH=400m；
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课堂小结
1.找到实际问题与“解直角三角形”间的联系点；
2.分析题意后能画出准确的示意图
说一说你的收获……
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谢谢
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