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浙教版九年级下册1.3.3解直角三角形教学设计
课题 1.3.3解直角三角形 单元 第一单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 (一)知识目标1.进一步掌握解直角三角形的方法．2. 比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．(二)能力训练点培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点 有关方位角，仰角与俯角的计算．
难点 解直角三角形在测量方面的应用．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1复习回顾：堤坝横断面的问题实质是解有关梯形的计算问题，利用坡度可以把有关线段分别与梯形的高建立联系，从而求解. 练习：某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m，则此人的垂直高度增加了____________m .2. 问题1：如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）A．250米 思考：什么是方位角？3.问题2：如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.（结果精确到0.1m.参考数据：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32） (1)求∠BCD的度数； (2)求教学楼的高BD . 思考：什么是仰角与俯角？ 1.积极思考，独立自学2..认真思考，组内交流. 1.通过复习，调动学生学习新课的热情，为新的学习做准备.2.设置情景，导入新课..
讲授新课 讲解概念：（1）方位角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）通常表达成北（南）偏东（西）××度.（2）仰角与俯角如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。2.例题讲解：例1、某海防哨所O发现在它的北偏西30 °，距离哨所500M的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处.求船从A处到B处的平均航速（精确到1km/h）.例2、为知道甲,乙两楼间的距离,测得两楼之间的距离为32.6m,从甲楼顶点A观测到乙楼顶D的俯角为35 ° 12 ′,观测到乙楼底C的俯角为43 ° 24 ′.求这两楼的高度(精确到0.1m).提醒： 要解决本题，先要理解仰角与俯角，其次要转化出直角三角形.. 1.合作交流，探索理解概念，并在探索中完成问题1、2.2.积极参加学习活动中，探索新知的应用.并思考总结其中的蕴含的一般思路. 1.学习有关概念并尝试应用.2.为学生作示范
随堂演练 1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ） C．300m 2. 2. 王英同学从A地沿北偏西60 方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ） B．100m C．150m 3. 如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度(＝1.7)． 小组合作，人从过关，分组展示 巩固、应用新学的知识.
拓展提升 如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是450,而大厦底部的俯角是370,求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m). 自学、互学、小组合作学习. 进一步巩固新学的知识.
课堂小结 1.方位角2.仰角与俯角 3.方法总结：（1）有关堤坝横断面的计算问题：若梯形的内角中有特殊角时，一般过较短的底作梯形的高，将梯形面积问题转化为两个直角三角形和一个矩形的问题。有关四边形的许多问题都可以通过褥加适当的辅助线将其转化为三角形的问题、这正体现了数学中的转化思想..（2）测量类问题涉及仰角和俯角的知识，弄清题意，明确目标，将实际问题转化为解直角三角形问题，找出可以求解的直角三角形或构造出可以求解的直角三角形作为解题的突破口. 认真回顾，思考并积极回答， 系统化本节知识要点
板书 1.方位角2.仰角与俯角
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1.3 解直角三角形（3）
—— 仰角与俯角
浙教版 九年级下
导入新知
某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 m，则此人的垂直高度增加了____________m .
复习回顾：
堤坝横断面的问题实质是解有关梯形的计算问题，利用坡度可以把有关线段分别与梯形的高建立联系，从而求解.
45°
310
问题1：如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（ ）
导入新知
A．250米
所谓方位角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）通常表达成北（南）偏东（西）××度.
A
北偏东58 °
南偏西28 °
60 °
导入新知
问题2：如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
（结果精确到0.1m.参考数据：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32）
(1)求∠BCD的度数；
(2)求教学楼的高BD .
那什么是仰角？什么是俯角呢？
导入新知
如图， 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
俯角
仰角
【分析】（1）C观测D的仰角应为CD与水平面的较小的夹角，即∠DCE；C观测B的俯角应为CB与水平线的较小的夹角，即为∠BCE，不难得出∠BCD=∠DCE+∠BCE；（2）易得CE=AB，则由直角三角形的锐角函数值即可分别求得BE和DE，求和即可.
新知讲解
解：（1）过点C作CD⊥BD于点E，
则∠DCE=18°，∠BCE=20°，
所以∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.
问题2：如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
（结果精确到0.1m.参考数据：tan20°≈0.36,tan18°≈0.32）
(1)求∠BCD的度数；
新知讲解
解：（2）由已知得CE=AB=30（m）,
在Rt△CBE中，BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m)，
在Rt△CDE中，DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m)，
∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4（m）.
答：教学楼的高为20.4m.
问题2：如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶总D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m.
（结果精确到0.1m.参考数据：
tan20°≈0.36,tan18°≈0.32）
(2)求教学楼的高BD .
新知讲解
例5 某海防哨所O发现在它的北偏西30 °，距离哨所500M的A处有一艘船向正东方向航行，经过3分钟后到达哨所东北方向的B处.求船从A处到B处的平均航速（精确到1km/h）.
分析：对没有附图的测量问题，一般我们可先根据题意画出示意图，由图容易看出，要求船的平均航速，只需求出AB间的路程，这可化归为解Rt△AOC 与Rt△OBC.
新知讲解
解：设AB与正北方向线交于点C，
∵在Rt△AOC中，∠AOC=30°，OA=500m，
∴AC=OAsin∠AOC=OA×sin30°=250m，
∴船从A处到B处的平均航速：
答：船从A处到B处的平均航速约为14km/h.
∵在Rt△OBC中，∠BOC=45°，
新知讲解
例6. 为知道甲,乙两楼间的距离,测得两楼之间的距离为32.6m,从甲楼顶点A观测到乙楼顶D的俯角为35 ° 12 ′,观测到乙楼底C的俯角为43 ° 24 ′.求这两楼的高度(精确到0.1m)
分析：如图所示，过D作DE⊥AB，垂足为E.显然，问题可转化为解Rt△ABC和Rt△AED.
新知讲解
解：在 Rt△ABC中,
∠ACB＝∠FAC＝43°24′
∴ AB＝BCtan∠ACB＝32.6 × tan 43°24′ ≈ 30.83≈30.8(m)
答：两幢楼高分别约为30.8m和7.8m.
∴ CD=AB-AE＝30.83-23.00＝ 7.83≈7.8( m)
∴ AE＝DEtan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈ 23.00m)
在 Rt△AED中 ,
∠ADE＝∠DAF＝35°12′
DE＝BC＝32.6(m)．
新知讲解
2、找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题；
1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论；
3、合理选择直角三角形的元素之间的关系求出答案.
小结：
巩固提升
1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
C．300m
分析:首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
A
巩固提升
2. 王英同学从A地沿北偏西60 方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）
B．100m C．150m
分析：根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．
A
巩固提升
A
B
C
D
30°
45°
3. 如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度( ＝1.7)．
分析：过点B作BE⊥DC于E,在Rt△BEC中，求BE的长；在Rt△BED中，求DE的长；根据CD=CE+DE可求得CD的长.
巩固提升
解：过点B作BE⊥DC于E,则CE=AB=12,
在Rt△BED中,
所以，楼房CD的高度为32.4米.
在Rt△BEC中，
巩固提升
1．当遇到30°，45°，60°等特殊角时，常常添加合适的辅助线分割出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题．
2．应用解直角三角形知识解应用题时，可按以下思维过程进行：
(1)寻找直角三角形，若找不到，可构造；
(2)找到的直角三角形是否可解，若不可直接求解，利用题中的数量关系，设x求解．
课堂点睛：
拓展延伸
1.如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部仰角是450,而大厦底部的俯角是370,求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m).
分析:结合仰角与俯角理解图形，先过点A作AE⊥CD于E，可得四边形ABCE是矩形，可得BC=AE,然后分别解两个直角三角形，可得大厦的高度.
拓展延伸
解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC=60米，
∴AE=BC=60米，
∴在RT△AEC中，EC=AE tan∠EAC=60×tan37°≈45.2（米），
在Rt△ADE中，∵∠DAE=45°，
∴DE=AE=60（米），
∴BC=DE+CE=60+45.2=105.2（米）．
答：该大厦的高度约为105.2米．
课堂小结
2、如何利用仰角与俯角解决实际问题；
1、认识了仰角与俯角；
3、 … …
这节课我们都学到了什么？
谢谢
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