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简单几何体的表面展开图——第二课时
班级：___________姓名：___________得分：__________
选择题（每小题10分，60分）
1.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为( )21*cnjy*com
2. 一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，
则这个几何体侧面展开图的面积为（ ）
A、2π B、 12π C、4π D、8π
3、若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系的是（ ）
4..圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( )
A.4S B.2S
C.S D.S
5、如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径， 高BC＝ 6cm，点P是母线BC上一点且PC＝ ．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
二、解答题（每小题10分，40分）
1.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm ，点AB、分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 多少cm？
2.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 21cnjy.com
通过阅读以上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？ （2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？【出处：21教育名师】
3. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？
4.已知，圆锥底面半径为10cm，高为1015 cm，
（1） 求圆锥的表面积；
（2） 若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离。21世纪教育网版权所有
参考答案
选择题
C
【解析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线． 故选C21·cn·jy·com
2． C
【解析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥．
解：依题意知母线长l=4，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π 1 4=4π．
3. D
【解析】分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可．
解：由圆锥侧面积公式可得属于反比例函数．
4.A
【解析】:底面半径为底面周长l=2侧面积S.
5. B
【解析】：画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长21教育网
二、解答题
1. 分析：要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． www.21-cn-jy.com
解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动
最短路线是：AC→CD→DB
即在圆柱体的展开图长方体中，将长方体平均分成3个小长方体，A沿着3个长方体的对角线运动到B的路线最短； 2·1·c·n·j·y
∵圆柱底面半径为2cm， ∴长方体的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2＝4πcm； 又∵圆柱高为9πcm， ∴小长方体的一条边长是3πcm； 根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝5πcm； ∴AC＋CD＋DB＝15πcm； 故答案为：15π．【来源：21·世纪·教育·网】
2.【解析】
如图，⊙O的周长为30cm，即AC=30cm，
高是40cm，则BC=40cm
由勾股定理得AB =50cm．
故爬行一圈的路程是50cm；
（2）⊙O的周长为80cm，即AC=80cm，
绕一圈爬行100cm，则AB = 100cm，
高BC = 60cm．
∴树干高=60×10=600cm=6m．
故树干高6m
3.【解析】根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离． 21·世纪*教育网
圆锥的展开图的圆心角 = r l ×360° .
主视图是等边三角形的圆锥的展开图的圆心角是 180°.
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键.www-2-1-cnjy-com
解：设圆锥的展开图的圆心角为n，则
2×2×π = nπ×4 180 ，
解得：n = 180°
即∠CQC’ = 180°
在展开图中，BA⊥CC’，BA = 4，AP = 2， 由勾股定理得，BP = 42 + 22 = 20 = 25
4.【解析】利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A’到M的最短距离（即A’M的长）。2-1-c-n-j-y
解：（1）圆锥的母线长
SA=OA2 + OS2 = 40， 圆锥侧面展开图扇形的弧长l = 2π×OA =20π(cm)， ∴S侧 = 1
2 l ×SA = 400π(cm2)，S底=π×OA2 = 100(cm2)， ∴S表= S底+ S侧= 500π(cm2) 。
（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知 SA = 40，弧AA’=20π，∠AS A’= 180°×20π 40
π = 90°， 又SA’= SA=40，SM=3AM，∴SM = 3
4 SA = 30， ∴在Rt△A’SM中， A’
M = SA' 2 + SM2
= 402 + 302 =50，所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.
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简单几何体的表面展开图
——第二课时
新浙教版 九年级下
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立方体表面展开图
一四一型
二三一型
二个三型
三个二型
对面 “不相连”;异层 “日”字连,整体没有“田”
共11种
教学目标
课前回顾
那么怎样得到圆柱、圆锥等简单旋转体的表面展开图呢？
上节课我们学习的是立方体的表面展开图。
教学目标
导入新课
O1
O
圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
底面
侧面
轴
母线
（记作圆柱OO1）
教学目标
新课讲解
由此可得圆柱的有关概念：
如图，圆柱可以看作矩形ABCD绕边BC所在直线___________，其余各边所成的面围成的几何体。
AB,CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆。
AD旋转所成的面就是圆柱的侧面。
AD不论转到哪个位置，都是圆柱的母线．
旋转一周
教学目标
新课讲解
如果沿圆柱的任意一条母线（MN）把圆柱的侧面“剪 开”，
铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图
S侧＝2πr·h；
S表＝S侧＋2S底
＝2πr·h＋2πr2
＝2πr(h＋r)．
教学目标
新课讲解
圆柱的表面展开图：
将圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，会得到圆柱的侧面
展开图为矩形，其中一边长等于圆柱的高，另一边长是
底面圆的周长．所以圆柱的侧面积等于 底面圆的周长乘以圆柱的高．
如图，若圆柱的底面半径为r，高为h，
则S侧＝2πr·h；
S表＝S侧＋2S底
＝2πr·h＋2πr2＝2πr(h＋r)．
教学目标
新课讲解
A
B
在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？
教学目标
新课讲解
A
B
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.
最短路径：
教学目标
新课讲解
教学目标
练一练
如图,一油桶高2米,底面直径1 米,一只壁虎由A到B吃一害虫,需要爬行的最短路程是多少
A1
A
B
B
教学目标
练一练
A
B
从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.
最短路径：
例1 如图3-48为一个圆柱的三视图.以相同的比例画出
它的表面展 开图，并计算它的侧面积和全面积(果
保留π).
教学目标
新课讲解
由图3-48知，圆柱底面圆的半径r为0.9cm，母线长l 为
2.4 cm. 因此圆柱的表面展
开图中两个底面应画成半
径为0.9cm的圆，侧面展开
图应画成长为2πr=2π×0.9
≈5.65(cm)，宽为2.4cm的
长方形.
分析：
教学目标
新课讲解
S侧=2πrl=2×π×0.9×2.4=4.32π (cm )；
S全=2πr +2πrl=2π×0.9 +2π×0.9×2.4=5.94π (cm ).
答：这个圆柱的侧面积为4.32πcm ，全面积为5.94πcm .
解:所求圆柱的表面展开,图如图3-49
教学目标
新课讲解
圆锥的定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
O
S
底面
侧面
轴
母线
（记作圆锥SO）
教学目标
新课讲解
1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
相等
母线
教学目标
新课讲解
2、设圆锥的母线长为 l, 底面圆的半径为r, 那么这个扇形的半径 为＿＿ ，扇形的弧长为＿＿ ，因此圆锥的侧面积为＿＿＿。
1、圆锥的侧面展开图是个＿＿＿。
3、圆锥的侧面积与底面积之和称为
扇形
l
2πr
πr l
全面积
教学目标
新课讲解
如图，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则
l2=h2+r2
S侧＝πrl；
S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(l＋r)．
若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为θ，则
θ＝ ·360°.
将圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，会得到圆锥的侧面展开图为扇形，其半径等于母线长，弧长是底面圆的周长．
圆锥的表面展开图
教学目标
新课讲解
1.弧长的计算公式
2.扇形面积计算公式
教学目标
新课讲解
A
B
C
如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少
教学目标
新课讲解
A
B
C
4
1
B’
解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°
∴ △ABB’是直角三角形
n=90
∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4
连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线
∴ 2π=
4nπ
180
∴ BB’=
答:蚂蚁爬行的最短路线为 .
教学目标
新课讲解
已知圆锥底面半径为10cm，母线长为40cm.
求它的侧面展开图的圆心角和全面积
A
S
B
教学目标
新课讲解
A
S
解:
B
教学目标
新课讲解
例2 圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高38.7cm
（1）求这个烟囱帽的面积。
（2）以1：40的比例画出这个烟囱帽的展开图
教学目标
新课讲解
解：
答：烟囱帽的面积约
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
教学目标
巩固练习
1、高为４㎝，底面直径为６㎝的圆锥侧面积＿＿＿
２、圆锥的母线与高的夹角为300，母线长为6cm ,求它的侧面积＿＿，全面积＿＿
3、若圆锥的母线L=10cm，高h=8cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是＿＿＿
18π
27π
216°
15
π
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4.一个圆柱，底面的直径是0.5米，高是1.8米，求它的侧面积。（得数保留两位小数）
3.14×0.5×1.8
＝1.57×1.8
（平方米）
答：它的侧面积约是2.83平方米。
≈2.83
教学目标
巩固练习
5.圣诞节将近, 某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2）
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教学目标
巩固练习
解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm，
638.87 20=12777.4 (cm2)
所以, 至少要12777.4 cm2的纸。
教学目标
巩固练习
6.如图，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC绕直角边AC旋转一周，求所得圆锥的侧面积？
A
C
B
解：如果绕AC旋转一周，则所得圆锥的母线为AB=5cm，底面圆半径为BC=4cm，所以所得圆锥的侧面积为：
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教学目标
巩固练习
7. 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
A
B
C
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教学目标
巩固练习
教学目标
应用提高
解：将圆锥沿AB展开成扇形ABB’
教学目标
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、圆柱的表面展开图。
2、圆锥的表面展开图。
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教学目标
课后作业
教材87页习题第4、5题。
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谢 谢！
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浙教版数学九年级下3.4简单几何体的表面展开图（2） 教学设计
课题 简单几何体的表面展开图（2） 单元 第三章 学科 数学 年级 九年级
学习目标 情感态度和价值观目标 1．通过圆柱与圆锥的实物观察及有关概念的归纳向学生渗透“真知产生于实践”的观点； 2．通过应用圆柱与圆锥展开图进行计算，解决实际问题，向学生渗透理论联系实际的观点；
能力目标 1．通过圆柱与圆锥形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力； 2．通过圆柱与圆锥侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力； 3．通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力．
知识目标 1．使学生了解圆柱与圆锥的特征，了解圆柱与圆锥的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱与圆锥的侧面展开图是矩形． 2．使学生会计算圆柱与圆锥的侧面积或全面积．
重点 重点：（1）圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征； （2）会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积．
难点 难点：对侧面积计算的理解．
学法 探究学习 教法 合作探究
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
课前回顾 立方体表面展开图对面 “不相连”;异层 “日”字连,整体没有“田” 学生与老师一起思考、回顾以前所学的知识 课前导入，激发学生的学习兴趣
讲授新课 上节课我们学习的是立方体的表面展开图。那么怎样得到圆柱、圆锥等简单旋转体的表面展开图呢？圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。如果沿圆柱的任意一条母线（MN）把圆柱的侧面“剪 开”，铺平，那么就得到圆柱的侧面展开图 由此可得圆柱的有关概念： 如图，圆柱可以看作矩形ABCD绕边BC所在直线旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体。AB,CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆。AD旋转所成的面就是圆柱的侧面。AD不论转到哪个位置，都是圆柱的母线．圆柱的表面展开图：将圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，会得到圆柱的侧面展开图为矩形，其中一边长等于圆柱的高，另一边长是底面圆的周长．所以圆柱的侧面积等于 底面圆的周长乘以圆柱的高．如图，若圆柱的底面半径为r，高为h，则S侧＝2πr·h；S表＝S侧＋2S底 ＝2πr·h＋2πr2＝2πr(h＋r)． 在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径最短路径：练习1：如图,一油桶高2米,底面直径1 米,一只壁虎由A到B吃一害虫,需要爬行的最短路程是多少 从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.例1 如图3-48为一个圆柱的三视图.以相同的比例画出 它的表面展 开图，并计算它的侧面积和全面积(结果 保留π).
新课讲解 探究2圆锥的定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？ 1、圆锥的侧面展开图是个＿扇形＿＿。2、设圆锥的母线长为 l, 底面圆的半径为r, 那么这个扇形的半径 为l＿＿ ，扇形的弧长为＿2πr＿ ，因此圆锥的侧面积为＿πr l＿＿圆锥的侧面积与底面积之和称为全面积如图，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则 S侧＝πrl； S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(l＋r)．若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为θ，则 θ＝ ·360°.总结：1.弧长的计算公式2.扇形面积计算公式 实例：如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少 我们来看圆锥的侧面展开图，连接BB’，则BB’为蚂蚁爬行的最短路径.解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB’, ∠BAB’=n°连接BB’,即为蚂蚁爬行的最短路线∵ 圆锥底面半径为1,母线长为4∴ 2π= n=90°∴ △ABB’是直角三角形∴ BB’=答:蚂蚁爬行的最短路线为 .练习2：已知圆锥底面半径为10cm，母线长为40cm.求它的侧面展开图的圆心角和全面积例2 圆锥形烟囱帽的母线长为80cm，高38.7cm（1）求这个烟囱帽的面积。（2）以1：40的比例画出这个烟囱帽的展开图 (1)分析平行投影中正投影的特点(2)学会三视图的画法与老师一起一步步探究新知，得出结论 合作探究，培养学生的自学能力，合作能力
巩固练习 1、高为４㎝，底面直径为６㎝的圆锥侧面积＿15π＿＿2、圆锥的母线与高的夹角为300，母线长为6cm ,求它的侧面积＿18π＿，全面积＿27π＿3、若圆锥的母线L=10cm，高h=8cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是＿216°＿＿ 4.一个圆柱，底面的直径是0.5米，高是1.8米，求它的侧面积。（得数保留两位小数）答：它的侧面积约是2.83平方米。5.圣诞节将近, 某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长58cm，高为20cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm2） 解：设纸帽的底面半径为rcm，母线长为lcm， 638.87 × 20=12777.4 (cm2)所以, 至少要12777.4 cm2的纸。6.如图，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，将△ABC绕直角边AC旋转一周，求所得圆锥的侧面积？解：如果绕AC旋转一周，则所得圆锥的母线为AB=5cm，底面圆半径为BC=4cm，所以所得圆锥的侧面积为： 与老师一起总结升华，巩固提升 课堂习题巩固新知
应用提高 如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ 分析：同样的，将圆柱展开成扇形，点B到AC的最短距离就是点B到AC的垂线 学有余力的同学可以进行能力的提升 为学有余力的同学提供拓展的空间
体验收获 今天我们学习了哪些知识1、圆柱的表面展开图。2、圆锥的表面展开图。 回顾本节课所学知识 师生一起简单回顾新知
课后作业 教材87页习题第4、5题。 练习 练习巩固
4nπ
180
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