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2.3 三角形的内切圆
基础训练
1.如图,☉O内切于Rt△ABC,∠ACB=90°,若∠CBO=30°,则∠A等于( )
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A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如图,正三角形的内切圆的半径为1,那么正三角形的边长为( )
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A.2 B.2 C. D.3
3.如图,☉O是△ABC的内切圆,与边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF= . www.21-cn-jy.com
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4.如图,☉O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则☉O的面积为 .
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5.三角形内切圆的圆心是( )
A.三个内角平分线的交点
B.三边中垂线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高线的交点
6.如图,点O是△ABC的内心,若∠ACB=70°,则∠AOB=( )
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A.140° B.135° C.125° D.110°
7.下列说法错误的是( )
A.三角形有且只有一个内切圆
B.等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C.三角形的内心不一定都在三角形的内部
D.若I是△ABC的内心,则AI平分∠BAC
8.内心和外心重合的三角形是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC为锐角,CD为AB边上的高,I为△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是( )21世纪教育网版权所有
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A.120° B.125° C.135° D.150°
10.一直角三角形的斜边长是13 cm,内切圆的半径是2 cm,则这个三角形的周长是 .
11.如图,在△ABC中,I是△ABC的内心,∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证:DI=DB.
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提升训练
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.求△ABC的内切圆☉O的半径r.
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13.在△ABC中,AB=AC=10,BC=12.△ABC的内切圆☉O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F,求:
(1)AF,BD,CE的长;
(2)△ABC的内切圆的半径.
14.如图,点I是△ABC的内心,∠A=80°,求∠BIC的度数.
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15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O是Rt△ABC的内切圆,其半径为1,E,D是切点,∠BOC=105°.求AE的长.2·1·c·n·j·y
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16.如图,☉I是Rt△ABC(∠C=90°)的内切圆,☉I和三边分别切于点D,E,F.
(1)求证:四边形IDCE是正方形;
(2)设BC=a,AC=b,AB=c,求☉I的半径r.
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17.如图,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F.
(1)比较EF与AE+BF的大小关系;
(2)若AE=5,BF=3,求EF的长.
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参考答案
基础训练
1.B 2.B 3.55° 4. 5.A 6.C
7.C 8.D
9.C
解析：由CD为AB边上的高,得∠ADC= ( http: / / www.21cnjy.com )90°,那么∠DAC+∠ACD=90°;由I为△ACD的内切圆圆心,得AI,CI分别是∠DAC和∠ACD的平分线,∴∠IAC+∠ICA=45°,∴∠AIC=135°.又∵AB=AC,∠BAI=∠CAI,AI=AI,∴△AIB≌△AIC,∴∠AIB=∠AIC=135°.21教育网
10.30 cm
11.思路导引:要证明DI=DB,连结BI ( http: / / www.21cnjy.com ),可证明△BID为等腰三角形.因为点I是内心,所以∠ABI=∠CBI,∠BAI=∠CAI.又由外接圆可知∠DBC=∠DAC,可证得∠DBI=∠DIB,从而结论得证.
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证明:如图,连结BI.∵I是△ABC的内心 ( http: / / www.21cnjy.com ),∴BI平分∠ABC,∴∠ABI=∠IBC.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵∠DAC与∠DBC均为所对的圆周角,∴∠DAC=∠DBC.∴∠ABI+∠BAI=∠CBI+∠DBC,即∠BID=∠IBD,∴DI=DB.【来源：21·世纪·教育·网】
提升训练
12.解:在Rt△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com ),AB==10.设☉O与AB,AC,BC分别相切于点E,D,F,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF,可得OE⊥AB,OD⊥AC,OF⊥BC.21·世纪*教育网
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△BCO,∴×6×8=×10r+×6r+×8r,解得r=2.www-2-1-cnjy-com
13.解:(1)由切线长定理得AE ( http: / / www.21cnjy.com )=AF,BD=BF,CD=CE.设AF=x,则AE=x,BD=BF=AB-AF=10-x,CD=CE=AC-AE=10-x.由BD+CD=BC,可得(10-x)+(10-x)=12,2-1-c-n-j-y
解得x=4.因此AF=4,BD=6,CE=6.
(2)连结OA,OD,OF,易知A,O,D三点共线,则AD⊥BC.
在Rt△ABD中,AD===8.设☉O的半径为r,则OF=r,AO=8-r,在Rt△AFO中,由勾股定理得AF2+OF2=AO2,∴42+r2=(8-r)2,解得r=3.∴△ABC的内切圆的半径为3.
14.思路导引:内心是三角形三条角平分线的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点,根据内心的定义,得∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,则∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB),利用三角形内角和定理,便可得∠BIC和∠A的关系.
解:∵点I是△ABC的内心 ( http: / / www.21cnjy.com ),∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB).∵∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°,∴∠IBC+∠ICB=×100°=50°,∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-50°=130°.21cnjy.com
15.解:连结OD,OE,如图所示,则OD=OE=1.
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵O是△ABC的内切圆圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心,∴BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,即∠OBD=∠OBE=∠ABC,且∠OCD=∠ACB.21*cnjy*com
又∵∠ACB=90°,
∴∠OCD=∠ACB=45°.
∵OD,OE是过切点的半径,∴OD⊥BC且OE⊥AB,∴∠OCD+∠COD=90°,∴∠COD=∠OCD=45°,【来源：21cnj*y.co*m】
∴CD=OD=1.
∵∠COB=105°,
∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°.
∵∠OBD+∠BOD=90°,
∴∠OBD=30°.
∵OD=1,∴OB=2,∴DB=.
∵∠OBD=∠OBE=∠ABC=30°,∴∠ABC=60°,∴∠A=30°.
∵BC=BD+CD=1+,
∴AB=2+2.
在Rt△OBE中,
∵OE=1,∠OBE=30°,
∴BE=.
∴AE=AB-BE=2+.
16.思路导引:(1)根据切线的性质即 ( http: / / www.21cnjy.com )可证明四边形IDCE是矩形,再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明;(2)根据面积相等可计算出结果.21·cn·jy·com
(1)证明:∵BC,AC分别与☉I相切于D,E,
∴∠IDC=∠IEC=∠C=90°,
∴四边形IDCE为矩形.
又∵IE=ID,
∴四边形IDCE是正方形.
(2)解:连结IA,IB,IC,IF,
则S△ABC=S△AIC+S△BIC+S△AIB.
∵AB与☉I相切于F,∴IF⊥AB,
∴ab=br+ar+cr,
∴r=.
17.思路导引:连结OA,OB,由点O ( http: / / www.21cnjy.com )是△ABC的内心可知AO,BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线,故可得出∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO.再由EF∥AB可知∠AOE=∠OAB,∠BOF=∠ABO,故可得出∠EAO=∠AOE,∠FBO=∠BOF,故AE=OE,OF=BF,由此即可得出结论.
解:(1)连结OA,OB,
∵点O是△ABC的内心,
∴AO,BO分别是∠CAB和∠ABC的平分线,
∴∠EAO=∠OAB,∠ABO=∠FBO.
∵EF∥AB,
∴∠AOE=∠OAB,∠BOF=∠ABO.
∴∠EAO=∠AOE,∠FBO=∠BOF.
∴AE=OE,OF=BF,
∴EF=AE+BF.
(2)由AE=5,BF=3,得EF=AE+BF=5+3=8.
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2.3 三角形的内切圆
浙教版 九年级下
导入新知
如图,要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的
圆来做一圆桌的桌面，应该怎样画出裁剪的图样呢？
建议按下列步骤探索：
(1)当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
(2)与三角形的一个角的两边都相切
的圆的圆心在哪里？
(3)如何确定这个圆的圆心和半径？
新知讲解
1
知识点
三角形的内切圆
概念：一般地，与三角形三边都______的圆叫做三角
形的内切圆，圆心叫做三角形的 内心，三角形叫做圆
的外切三角形．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，
O为△ABC的内心，△ABC
是⊙O的外切三角形．
知1－讲
相切
新知讲解
知1－讲
理解三角形内切圆的概念要注意以下三点：
①与各边相切；
②在三角形内部；
③圆心叫做三角形的内心．
新知讲解
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC的内切圆⊙O的半径.
知1－讲
如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC，
的角平分线.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA = 30°.
解：
C
新知讲解
知1－讲
∵OD⊥AB，AB=3cm，
∴AD=BD= AB=1.5(cm),
∴OD=AD×tan30°
答：△ABC的内切圆的半径为
新知讲解
总 结
知1－讲
见切点，连半径，结合等腰三角形、等边三角形的
性质求出半径长.
新知讲解
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= l.
知1－讲
∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF(根据什么？)
同理，BD=BF，CD=CE.
∴AE+BC=AE+BD+CD
= (AE+AF+BD+BF+CD+CE)
=
证明：
A
C
新知讲解
总 结
知1－讲
解答有关问题时，常与切线长定理联系.
巩固提升
1 如图，⊙O内切于Rt△ABC，∠ACB＝90°，若∠CBO＝30°，则∠A等于( B )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
知1－练
巩固提升
2
如图，正三角形的内切圆的半径为1，那么正三角形的边长为( B )
A．2
B．2
C.
D．3
知1－练
新知讲解
2
知识点
三角形的内心
知2－讲
1.性质：
(1)三角形的内心到三角形________的距离相等(如图
所示，ID＝IE＝IF)；
(2)三角形的内心与_____________的连线平分三角形
的内角(如图所示，AI平分
∠BAC，BI平分∠ABC，
CI平分∠BCA)．
三边
任一顶点
新知讲解
知2－讲
2．内心、外心的区别与联系(如下表)：
名称 内心 外心
图形
由来 三角形三条角平分线的交点 三角形三边垂直平分线的交点
性质 到三角形三边的距离相等 到三角形三个顶点的距离相等
位置 一定在三角形内部 不一定在三角形内部
角度关系 ∠BOC＝90°＋ ∠A ∠BIC＝2∠A
新知讲解
知2－讲
3．二级结论：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别
为a、b、c，则其内切圆的半径
(2)若△ABC的周长为l，内切圆的半径为r，则△ABC的面积
S＝ lr.
(3)四边形的 内心与任一顶点的连线平分四边形的内角．
易错提示：
(1)三角形的内切圆只有一个．
(2)三角形的内心一定在三角形内部．
新知讲解
知2－讲
例3 如图，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝__________°.
∵点P是△ABC的内心，
∴BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，CP平分∠ACB，
又∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝90°.
解析：
90
新知讲解
总 结
知2－讲
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交
点，所以三角形的内心与任一顶点的连线平分三角
形的内角．
巩固提升
3
知2－练
1 三角形内切圆的圆心是( A )
A．三个内角平分线的交点
B．三边中垂线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
巩固提升
2 如图，点O是△ABC的内心，若∠ACB＝70°，则∠AOB＝( C )
A．140°
B．135°
C．125°
D．110°
知2－练
巩固提升
3 下列说法错误的是( C )
A．三角形有且只有一个内切圆
B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上
C．三角形的内心不一定都在三角形的内部
D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
知2－练
课堂小结
1. 三角形的内切圆中“切”是指三角形的三边与圆的
位置关系．
2. 一个三角形只有一个内切圆，而圆的外切三角形有
无数个；三角形的内切圆一定在这个三角形的内部．
3. 三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点，
称为内心，它到这个三角形三边的距离相等．
谢谢
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