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3.4 简单几何体的表面展开图
基础训练
1.以下各图均由彼此连接的六个小正方形纸片组成,其中不能折叠成一个正方体的是( )
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A B C D
2.下列图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
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A B C D
3.如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不计,单位:mm)( )21·cn·jy·com
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A.112 000 mm3 B.294 000 mm3
C.144 000 mm3 D.168 000 mm3
4.如图是一个正方体的表面展开图,还原成 ( http: / / www.21cnjy.com )正方体后,标注了字母A的面是正方体的正面,若正方体的左面与右面所标注代数式的值相等,则x的值是 . 【来源：21·世纪·教育·网】
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5.如图,圆柱体的表面展开后得到的平面图形是( )
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(第5题) A B C D
6.如图是一个有盖子的圆柱体水杯,底面周长 ( http: / / www.21cnjy.com )为6π cm,高为18 cm,若盖子与杯体的重合部分忽略不计,则制作10个这样的水杯至少需要的材料是( )21cnjy.com
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A.108π cm2 B.1 080π cm2 C.126π cm2 D.1 260π cm2
7.一个立体图形的三视图如图所示,根据图中数据求得这个立体图形的表面积为( )
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A.2π B.6π C.7π D.8π
8.用半径为3 cm,圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( )
A.2π cm B.1.5 cm C.π cm D.1 cm
9.在学校组织的实践活动中,小新同学用纸板制作了一个圆锥模型,它的底面半径为1,高为2,则这个圆锥的侧面积是( )21世纪教育网版权所有
A.4π B.3π C.2π D.2π
10.如图,圆锥的母线长OA为8,底面圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )半径为4.若一只蚂蚁在底面上点A处,在相对母线OC的中点B处有一只小虫,蚂蚁要捉小虫,需要爬行的最短路程为 .
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11.已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC= 4,BC=3,以AB边所在的直线为轴,将△ABC旋转一周,所得几何体的表面积是( )21·世纪*教育网
A.π B.24π C.π D.12πwww-2-1-cnjy-com
提升训练
12.圆锥底面圆的半径为3 cm,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为( )
A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm
13.一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开扇形的圆心角是 °.
14.如图,有一直径是1 m的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC.
(1)求被剪掉阴影部分的面积;
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥,该圆锥底面圆的半径是多少
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15.如图①是某校存放学生 ( http: / / www.21cnjy.com )自行车的车棚的示意图(尺寸如图所示,单位:m),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形;如图②是车棚顶部截面的示意图,所在圆的圆心为点O,车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留π)
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16.一个底面直径是80 cm,母线长为90 cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 .
17.如图,有一直径是米的圆形铁皮,现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC,则:
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(1)AB的长为 米;
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥,所得圆锥的底面圆的半径为 米.
18.一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形,边长都为1,求扇形纸板和圆形纸板的面积比.www.21-cn-jy.com
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参考答案
基础训练
1.D 2.D 3.D 4.1 5.B 6.D
7.D
解析：根据三视图判断这个立体图形为圆柱 ( http: / / www.21cnjy.com ),其侧面积为:2π×3=6π,一个底面的面积为:π×=π,所以圆柱的表面积为:6π+2π=8π.2-1-c-n-j-y
8.D 9.B
10.4
解析：由题意知,底面圆的直径AC= ( http: / / www.21cnjy.com )8,故底面周长等于8π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,根据底面周长等于展开后扇形的弧长,得8π=,解得n=180,所以展开图(如图所示)中∠A'OB=90°,根据勾股定理求得A'B=4,所以蚂蚁爬行的最短路程为4.
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11.错解:B
错因分析:以斜边为轴将直角三角形旋转一周所形成的几何体的表面积是两个共底面的圆锥的侧面积之和.
正解:C
提升训练
12. B 13. 180
14.解:(1)如图,设圆心为O, ( http: / / www.21cnjy.com )连结OA,OB,BC,易知△OAB为等边三角形,∴AB=OA= m.∴扇形ABC的面积为=(m2).∴被剪掉阴影部分的面积为π×-=(m2).
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(2)设该圆锥底面圆的半径为r m,则=2πr.
解得r=.
故该圆锥底面圆的半径是 m.
15.解:如图,连结OB,过点O作OE⊥AB ( http: / / www.21cnjy.com ),垂足为E,交于F,由垂径定理知,E是AB的中点,F是的中点,从而EF是弓形的高.21教育网
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故AE=AB=2 m,EF=2 m.
设半径为R m,则OE=(R-2)m.
在Rt△AOE中,由勾股定理,得R2=(R-2)2+(2)2.
解得R=4.
在Rt△AEO中,AO=2OE,所以∠OAE=30°,∠AOE=60°,所以∠AOB=120°.
所以的长为=(m).
故覆盖棚顶的帆布的面积为×60=160π(m2).
16. 160° 17. (1)1 (2)
18.解:如图,在扇形纸板 ( http: / / www.21cnjy.com )中连结OF,在Rt△OCD中,∵∠COD=45°,∴△OCD是等腰直角三角形.∴OD=CD=1.∴OE=OD+DE=1+1=2.2·1·c·n·j·y
在Rt△OEF中,根据勾股定理可得:OF2=OE2+EF2=22+12=5,
∴扇形的面积等于==.
在圆形纸板中连结AC,易知AC是直径,由勾股定理得AC=,∴OA=,
∴圆的面积等于π=.
∴扇形纸板和圆形纸板的面积比是∶=5∶4.
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3.4 简单几何体的表面
展开图
浙教版 九年级下
导入新知
分别将三个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面
连在一起，然后铺平.你能得到下列图形（如下图)吗？
请试一试.你还能得到其他不同 的展开图吗？
新知讲解
1
知识点
棱柱的表面展开图
特点：棱柱的表面展开图由两个_______的多边形和
一些__________组成．
知1－讲
相同
长方形
新知讲解
知1－讲
例1 如图是一个立方体的表面展开图吗？如果是，分别
用1,2, 3,4,5,6中的同一个数字表示立方体和它的展
开图中各对对应的面（只要求给出一种表示法).
新知讲解
知1－讲
可以先用折叠的方法试一试，看它能否折成一个立
方体.
上图是一个立方体的表面展幵图，各对应面上的数
字表示如下图
分析：
解：
新知讲解
总 结
知1－讲
可以先用折叠的方法试一试，看能否折成一个立方体.
新知讲解
知1－讲
例2 如图3-42,为了生产这种牛奶包装盒，需要先画出
展开图纸样.
新知讲解
知1－讲
(1)如图3-43给出三种纸样，它们都正确吗？
(2)从图3-43正确的纸样中选出一种，标注上尺寸.
(3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和全
面积(侧面积与两个底面积的和).
新知讲解
知1－讲
(1)图3-43中，因为表示底面的两个长方形不可能在同一侧，
所以图乙不正确.图甲和图丙都正确(请动手试一试，为
什么？)
(2)根据图3-43,若选图甲，可得表面展开图 及尺寸标注如图
3-44所示
由图3-44得，包装盒的侧面积
和全面积为
S侧=(b+a+b+a)h
=2ah+2bh
S表=S侧+2S底
=2ah+2bh+2ab
解：
图3-44
巩固提升
1 如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠
制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不计，
单位：mm)( D )
A．112 000 mm3
B．294 000 mm3
C．144 000 mm3
D．168 000 mm3
知1－练
巩固提升
2 如图是一个正方体的表面展开图，还原成正方体
后，标注了字母A的面是正方体的正面，若正方
体的左面与右面所标注代数式的值相等，则x的值
是____1____．
知1－练
新知讲解
2
知识点
圆柱的表面展开图
知2－导
在一个圆柱形的牛奶罐的表面上A处有一只蚂蚁，它发现雪糕壳表明上的B 处有一滴残留的雪糕，那么请你为这只蚂蚁设计一条最短的路线，使它最快爬到B处。
问题：把一个圆 柱侧面展开，是什么图形？
新知讲解
知2－讲
圆柱的有关概念：
如图，圆柱也可以看作矩形ABCD绕边AB所在直线
___________所形成的图形，旋转轴(边AB所在直线)
叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上__________的线段都是圆柱的母线．
矩形的另一组对边AD、BC分别是
上、下底面的半径．圆柱一个底面
上任意一点到另一底面的垂线段叫
做圆柱的高．
旋转一周
平行于轴
新知讲解
知2－讲
圆柱的表面展开图：
将圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，会得到圆柱的侧面
展开图为矩形，其中一边长等于圆柱的高，另一边长是
底面圆的周长．所以圆柱的侧面积等于 底面圆的周长乘以圆柱的高．
如图，若圆柱的底面半径为r，高为h，
则S侧＝2πr·h；
S表＝S侧＋2S底
＝2πr·h＋2πr2＝2πr(h＋r)．
新知讲解
知2－讲
例3〈山东临沂〉如图是一个几何体的三视图，则这个
几何体的侧面积是( )
A．12π cm2
B．8π cm2
C．6π cm2
D．3π cm2
首先判断出该几何体，
然后计算其侧面积即可．
解析：
C
新知讲解
总 结
知2－讲
首先判断出该几何体，然后计算其侧面积即可。
新知讲解
知2－讲
例4 如图3-48为一个圆柱的三视图.以相同的比例画出
它的表面展 开图，并计算它的侧面积和全面积(结果
保留π).
新知讲解
知2－讲
由图3-48知，圆柱底面圆的半径r为1 cm，母线长l为
2.5 cm. 因此圆柱的表面展
开图中两个底面应画成半
径为1 cm的圆，侧面展开
图应画成长为2πr=2π×1
≈6.28(cm)，宽为2.5 cm的
长方形.
解所求圆柱的表面展开
图如图3-49
解：
分析：
新知讲解
知2－讲
S侧=2πrl=2×π×1×2.5=5π (cm )；
S全=2πr +2πrl=2π×1 +2π×1×2.5=7π (cm ).
答：这个圆柱的侧面积为5πcm ，全面积为7πcm .
新知讲解
总 结
知2－讲
圆柱两个底面是两个等圆；侧面展开图是矩形，
矩形的一边长等于圆柱的高，即母线长，另一边长是
底面圆的周长；圆柱的侧面积等于 底面圆的周长乘以
圆柱的高；全面积等于侧面积加底面积.
巩固提升
1
知2－练
如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是( B )
A B C D
巩固提升
2
知2－练
(中考·玉溪)如图是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6π cm，高为18 cm，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是
( D )
A．108π cm2
B．1 080π cm2
C．126π cm2
D．1 260π cm2
巩固提升
3
知2－练
一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求
得这个立体图形的表面积为( D )
A．2π
B．6π
C．7π
D．8π
新知讲解
3
知识点
圆锥的表面展开图
知3－导
1. 圆锥知识
A、圆锥由一个侧面和一个底面构成
B、圆锥的高(h)
连结圆锥的顶点与底面
圆心的线段叫做圆锥的
高，如图中的 SO.
新知讲解
知3－导
C、圆锥的母线（a）
圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线段叫做圆
锥的母线，如图中的SA、SB等。
D、圆锥的底面圆的半径(r)
2. 探究:如果把一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，
展开在一个平面上，想一想展开后是什么图形 ？
新知讲解
知3－讲
圆锥的有关概念：
如图，圆锥也可以看作由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，旋转轴(SO所在直线)叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋
转而成的面叫做圆锥的底面，圆
锥的顶点到底面圆的距离叫做圆
锥的________(线段SO)．连接圆
锥顶点和底面圆周上任意一点的
线段叫做圆锥的_______.
高
母线
新知讲解
知3－讲
圆锥的表面展开图
将圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，会得到圆锥的侧面展开图为扇形，其半径等于母线长，弧长是底面圆的周长．
如图，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则S侧＝πrl；S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr(l＋r)．
若设圆锥的侧面展开图扇
形的圆心角为θ，
则θ＝ ·360°.
新知讲解
知3－讲
例5 已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过
的最短路线的痕迹如图1所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是图2中的( )
图1
图2
D
新知讲解
知3－讲
由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到
P点时所爬过的路线最短，就要用到两点间线段
最短定理．
解析：
新知讲解
总 结
知2－讲
解此题可利用排除法，蜗牛绕圆锥侧面爬行的最
短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为
蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P
处，那么如果将选项C、D的圆锥侧面展开图还原成
圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上
的点(路径与OM′的交点)重合，而选项C还原后两个点
不能够重合．故选D.
巩固提升
1
知3－练
用半径为3 cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥
的侧面，则这个圆锥的底面半径为( D )
A．2π cm B．1.5 cm C．π cm D．1 cm
如图，圆锥的母线长OA为8，底面圆的半径为4.若一
只蚂蚁在底面上点A处，在相对母
线OC的中点B处有一只小虫，蚂
蚁要捉小虫，需要爬行的最短路
程为___4_____．
2
课堂小结
能折叠成正方体、棱锥、棱柱的展开图的基本条件：
如果展开图由6个大小相同的正方形组合而成，那
么立体图形是正方体；如果是由3个及3个以上的三角形
与1个多边形组成的，那么立体图形为棱锥；如果是由3
个及3个以上的长方形与两个形状、大小都相同的多边
形组合而成的，那么立体图形为棱柱．
谢谢
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