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6.9 直线的相交（2）
数学浙教版 七年级上
复习回顾
1、如图，AB和CD交于点O，则与∠AOC互补的角是______________．
∠AOC的对顶角是_________，
若∠AOC=40°，则∠BOD=__________，
∠AOD=_______，∠BOC=_______．
∠AOD和∠BOC
∠BOD
40°
40°
140°
2、（1）若直线l1与直线l2相交，能构成_______对对顶角；
（2）若在（1）的基础上再任意的画一条直线l3，则能构成____________对对顶角．
4或6
2
教学目标
导入新课
把一张正方形纸片按下图方式折叠，得到∠1，∠1是什么角？
把这张纸片展开，如下图，AB、CD是两条折痕，相交于点O，则∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD与∠1有什么关系？它们是什么角？
新课讲解
如果∠1=60°，则∠AOD=_______，∠2=________．
如果∠1=90°，则∠AOD=_______，∠2=________．
猜一猜，当∠1= 90°时，直线AB、CD的关系如何？
120°
60°
90°
90°
新课讲解
当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足．
如图AB与CD垂直，记做AB⊥CD（或CD⊥AB）．如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与m垂直，记做l⊥m，点O是垂足．
“⊥”是“垂直”的符号，而“ ”是图形中“垂直”(直角)的标记．
新课讲解
（1）∵AB⊥CD (已知），
∴∠AOC=∠BOC=∠AOD= ∠BOD=90°． (垂直的定义)
（2）∵∠BOC = Rt∠ (已知)，
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
新课讲解
过点A 作 l 的垂线，你能作出来吗？每个图中你能作几条？
作法：
1、贴
2、靠
3、过
l
l
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
A
4、画
点A在直线上l
点A在直线外l
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
B
新课讲解
P
A B
你会用量角器过点P画直线AB的垂线吗？
过直线AB上一点P画AB的垂线，可以画几条？
若点P在直线AB外呢？
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．
新课讲解
例3 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB．已知∠BOD=45°，求∠ COE的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
（垂直的定义）
∵∠AOC=∠BOD=45°，
∴∠COE=∠AOE+∠AOC=90°+45°=135°．
（对顶角相等）
学以致用
如图，直线AB，CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，求∠CON的度数．
解：∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=∠AOM=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=90°-35°=55°．
新课讲解
如图，点P是直线l外的一点，画PO⊥l于O，线段PO称为点P到直线l的垂线段．点P与直线l上所有各点之间的距离中，哪一个距离最小？你能设计一个实验来验证你的判断吗？
答：点P与直线l上的点O距离最小．
测量法或叠合法验证．
根据圆的半径最短验证．
新课讲解
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．垂线段PO的长度，就是点P到直线l的距离．
已知P是直线外的一点，过点P画直线l的垂线，交直线l于点O，则线段PO叫做点P到直线l的垂线段．
直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．也可简单地说成：垂线段最短．
如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
在D处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
学以致用
教学目标
巩固提升
1、点到直线的距离是指（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段
C．从直线外一点到这条直线的垂线的长
D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长
2、如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是（ ）
A．PA B．PB
C．PC D．PD
D
B
教学目标
巩固提升
3、如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为（ ）
A．28° B．60°
C．62° D．152°
4、如图，AO⊥CO，直线BD经过O点，且∠1=20°，则∠COD的度数为（ ）
A．70° B．110°
C．140° D．160°
C
B
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教学目标
巩固提升
5、如图，P是∠AOB的边OB上一点．
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点O到直线PC的距离是线段_______的长度；
（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．
OP
解：（4）PH＜CO，
∵垂线段最短，
∴PH＜PO，PO＜OC，
∴PH＜CO．
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教学目标
巩固提升
6、如图所示，直线AB与CD交于点O，MO⊥AB，垂足为O，ON平分∠AOD．若∠COM=50°，求∠AON的度数．
解：∵MO⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∵∠COM=50°，
∴∠AOD=180°-90°-50°=40°，
∵ON平分∠AOD，
∴∠AON= ∠AOD= ×40°=20°．
教学目标
拓展提升
如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOC，EO⊥CD于点O，且∠DOF=160°，求∠BOE的度数．
解：∵∠DOF+∠COF=180°，∠DOF=160°，
∴∠COF=180°-∠DOF=180°-160°=20°．
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC=2∠COF=40°，
∴∠DOB=∠AOC=40°．
∵EO⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOE=∠DOE+∠DOB=90°+40°=130°．
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如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠DOB=2∠EOD，求∠AOC，∠COB的度数．
解：∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD+∠DOB=90°，
∵∠DOB=2∠EOD，
∴∠DOB=60°，
∴∠AOC=∠DOB=60°，
∴∠COB=180°-60°=120°．
教学目标
拓展提升
教学目标
课堂小结
垂直定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角．
垂线的画法：三角尺和量角器 ．
垂直的表示方法：用符号“⊥”表示．
垂直的性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．
垂线段最短：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
谢 谢！
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浙教版数学七年级上册第6章直线的相交（2）教学设计
课题 6.9 直线的相交（2） 单元 第6章 图形的初步知识 学科 数学 年级 七年级
学习目标 情感态度和价值观目标 通过垂线，进一步体会到几何图形的对称美，经理观察、操作、想象、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力．
能力目标 过垂线的画法，进一步提高实际动手操作能力，掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
知识目标 1、表述垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2、了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离．
重点 垂线的概念和性质；垂线段性质及其简单应用．
难点 垂线的判断和性质的理解运用；对点到直线的距离的概念的理解．
学法 动手操作、小组合作． 教法 问题引导式．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾1、如图，AB和CD交于点O，则与∠AOC互补的角是______________．∠AOC的对顶角是_________，若∠AOC=40°，则∠BOD=__________，∠AOD=_______，∠BOC=_______．2、（1）若直线l1与直线l2相交，能构成_______对对顶角；（2）若在（1）的基础上再任意的画一条直线l3，则能构成____________对对顶角．导入新课把一张正方形纸片按下图方式折叠，得到∠1，∠1是什么角？把这张纸片展开，如下图，AB、CD是两条折痕，相交于点O，则∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD与∠1有什么关系？它们是什么角？ 完成填空．动手操作． 回顾对顶角的有关知识，为本节课的探究活动奠定基础．通过动手操作引入本课，激发学生学习兴趣．
讲授新课 垂直的定义：如果∠1=60°，则∠AOD=_______，∠2=________．如果∠1=90°，则∠AOD=_______，∠2=________．猜一猜，当∠1= 90°时，直线AB、CD的关系如何？当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足．如图AB与CD垂直，记做AB⊥CD（或CD⊥AB）．如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与m垂直，记做l⊥m，点O是垂足．“⊥”是“垂直”的符号，而“”是图形中“垂直”(直角)的标记．（1）∵AB⊥CD (已知），∴∠AOC=∠BOC=∠AOD= ∠BOD=90°． (垂直的定义)（2）∵∠BOC = Rt∠ (已知)，∴AB⊥CD（垂直的定义）．垂线的作法：用三角板作：（看课件动画）过点A 作 l 的垂线，你能作出来吗？每个图中你能作几条？①当点A在直线上l；②当点A在直线外l．用量角器作：（看课件动画）你会用量角器过点P画直线AB的垂线吗？过直线AB上一点P画AB的垂线，可以画几条？若点P在直线AB外呢？结论：垂线的性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．典例解析：例3 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB．已知∠BOD=45°，求∠ COE的度数．针对练习：如图，直线AB，CD相交于O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，求∠CON的度数．垂线段最短：如图，点P是直线l外的一点，画PO⊥l于O，线段PO称为点P到直线l的垂线段．点P与直线l上所有各点之间的距离中，哪一个距离最小？你能设计一个实验来验证你的判断吗？结论：已知P是直线外的一点，过点P画直线l的垂线，交直线l于点O，则线段PO叫做点P到直线l的垂线段．直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．也可简单地说成：垂线段最短．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．垂线段PO的长度，就是点P到直线l的距离．针对练习：如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． 完成填空并猜想．理解垂直的定义．观看课件动画，动手操作．完成例3及针对练习．通过小组合作交流，探究垂线段最短．完成针对练习． 探究垂直的定义．通过练习掌握对理解垂直的定义．会用三角板、量角器作垂线，探究垂线的性质．通过例3及针对练习的完成会运用垂线的定义解决问题．掌握垂线段最短和点到直线的距离．会应用垂线段最短解决生活中的实际问题．
巩固提升 1、点到直线的距离是指（ ）A．从直线外一点到这条直线的垂线B．从直线外一点到这条直线的垂线段C．从直线外一点到这条直线的垂线的长D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长2、如图，从位置P到直线公路MN共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路MN的小道是（ ）A．PA B．PB C．PC D．PD3、如图，点P在直线AB上，点C，D在直线AB的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD的度数为（ ）A．28° B．60° C．62° D．152°4、如图，AO⊥CO，直线BD经过O点，且∠1=20°，则∠COD的度数为（ ）A．70° B．110° C．140° D．160°5、如图，P是∠AOB的边OB上一点．（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；（3）点O到直线PC的距离是线段_______的长度；（4）比较PH与CO的大小，并说明理由．6、如图所示，直线AB与CD交于点O，MO⊥AB，垂足为O，ON平分∠AOD．若∠COM=50°，求∠AON的度数．拓展提升：如图所示，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOC，EO⊥CD于点O，且∠DOF=160°，求∠BOE的度数．针对练习：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，∠DOB=2∠EOD，求∠AOC，∠COB的度数． 完成练习． 通过练习，理解垂直的定义，掌握垂直的性质和垂线段的性质，并能运用知识解决问题，培养解决问题的能力．
课堂小结 垂直定义：两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角．垂线的画法：三角尺和量角器 ．垂直的表示方法：用符号“⊥”表示． 垂直的性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．垂线段最短：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度． 对本节知识进行归纳． 通过对本节知识的归纳，培养学生归纳总结的能力，并将本节所学知识系统化．
板书 垂直定义：垂线的画法：三角尺和量角器 ．垂直的表示方法：用符号“⊥”表示． 垂直的性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．垂线段最短：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度． 例3
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6.9 直线的相交（2）
一．选择题
1．如图所示，在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD（其中PB⊥l），你选择哪条路线挖渠才能使渠道最短（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
2．如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（ ）的长．
A．PO B．RO C．OQ D．PQ
3．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64° C．54° D．以上答案都不对
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD=70°，则∠AOF等于（ ）www.21-cn-jy.com
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，已知OA⊥OB，直线CD经过顶点O，若∠BOD：∠AOC=5：2，则∠BOC=（ ）
A．28° B．30° C．32° D．35°
二．填空题
1．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是___________．21教育网
2．如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段___________的长度．
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB=___________度．21cnjy.com
4．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，OC，OF分别平分∠AOE和∠BOD，若∠AOC=20°，则∠BOF的度数为__________．2·1·c·n·j·y
三．解答题
1．作图：
（1）过点P画直线AB的垂线，垂足为O．
（2）连接PC，PD，PE．
（3）比较线段PO，PC，PD，PE的长度，你可以得到什么结论？
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC=40°，求∠EOF的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
3．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=80°，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数． www-2-1-cnjy-com
参考答案
一．选择题
1．B
【解析】∵在PA，PB，PC，PD四条路线中只有PB⊥l，∴PB最短．故选：B．
2．C
【解析】∵OQ⊥PR，∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．故选C．
3．D
【解析】根据分析可得D的画法正确，故选：D．
4．B
【解析】∵∠1=26°，∠DOF与∠1是对顶角，∴∠DOF=∠1=26°，又∵∠DOF与∠2互余，∴∠2=90°-∠DOF=90°-26°=64°．故选B．21世纪教育网版权所有
5．C
【解析】∵∠B0C=∠AOD=70°，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠BOC=35°．∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°．∴∠AOF=180°-∠EOF-∠BOE=55°．故选C．21·cn·jy·com
6．B
【解析】设∠BOD=5x°，∠AOC=2x°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠BOC=（90-2x）°，∵∠BOD+∠BOC=180°，∴90-2x+5x=180，解得：x=30，∴∠BOC=30°，故选B．
二．填空题
1．垂线段最短
【解析】计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．
2．AB
【解析】∵AB⊥l1，∴点A到直线l1的距离是线段AB的长度．故答案为：AB．
3．133
【解析】∵OM⊥AB，∴∠AOM=90°，∵∠MOD=43°，∴∠AOD=90°+43°=133°，∴∠COB=133°，故答案为：133．2-1-c-n-j-y
4．35°
【解析】由OC⊥OD，得∠COD=90°，由角的和差，得∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-20°-90°=70°，由OF分别平分∠BOD，得∠BOF=∠BOD=35°，故答案为：35°．
三．解答题
1．（1）见解析图；（2）见解析图；（3）PC＞PE＞PD＞PO，结论：垂线段最短
【解析】（1）PO如图所示；
（2）如图所示；
（3）PC＞PE＞PD＞PO，结论：垂线段最短．
2．130°
【解析】OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOC=40°，∴∠BOD=40°，∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=40°，∴∠BOF=2∠DOF=80°，∴∠EOF=90°+40°=130°．
3．50°
【解析】∵∠AOC=80°，∴∠BOD=∠AOC=80°，∵OF平分∠DOB，∴∠DOF=∠DOB=40°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=80°，∴∠EOD=180°-90°-80°=10°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=10°+40°=50°．21·世纪*教育网
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