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浙教版数学七年级上册6.8余角和补角教学设计
课题 6.8 余角和补角 单元 第6章 图形的初步知识 学科 数学 年级 七年级
学习目标 情感态度和价值观目标 通过提问、讨论等多种教学活动，树立自信、自强、自主感，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心．
能力目标 培养学生形成观察问题、分析问题和解决问题的能力．培养学生数形结合的思想方法和良好的思维品质．
知识目标 1、使学生了解补角和余角的概念；2、理解等 角的余角相等，等角的补角相等；3、能运用补角和余角的概念和性质解题．
重点 余角和补角的概念和性质．
难点 解决有关余角和补角的问题．
学法 讨论法、小组合作学习． 教法 问题引导式．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾按图填空：（1）∠AOB+∠BOC=_________；（2）∠AOC+∠COD=_________；（3）∠BOD-∠COD=_________；（4）∠AOD-∠BOD=_________；（5）∠AOD=∠AOB+∠BOC+_________=∠AOB+_________=∠AOC+∠_________；（6）∠BOC=∠AOD-∠AOB-_________=∠AOC-_________=∠BOD-_________． 导入新课台球比赛中，一次被击打母球的线路如图．若角∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？ 填空．小组交流． 复习角的和差．通过生活中的实例引入本课，激发学生学习兴趣．
讲授新课 余角和补角：观察，∠1+∠2与 Rt∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ 观察 ，∠α+∠β与 ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？ 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °．如∠1与∠2互为余角， ∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．数学表达式：∠1＋∠2＝ 90 °．如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．互补的数学表达式为： ∠α＋∠β ＝180 °．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角．1、定义中的“互为”一词如何理解？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1．2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边．3、∠1与∠2互补，除用符号语言表示为∠1＋∠2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为∠1＝180°－∠2，或∠2＝180°－∠1．针对练习：1、如图，已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°．图中有没在互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由．2、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由．3、填空：（1）∠α的余角=90°-_______．（2）∠β的余角=_______-∠β．余角和补角的性质： 如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是∠BOC内的一条射线．回答下列问题：（1）图中∠DOC的余角有______________．（2）图中∠AOD的余角有______________．（3） 通过上述两小题你能得到什么结论？（4）∠AOD和∠COE的补角分别是_______________．（5）通过此题，你又能得到什么结论？同角或等角的余角相等．若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．同角或等角的补角相等．若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ．典例解析：例1 如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由．拓展练习：如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数；（3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． 针对练习：一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求这个角的度数．知识拓展：什么是方位角？怎样表示方位角？在航海、探险、飞行等领域，为了表示某一地区的地理位置，常用方位角这一概念．具体做法：先在某地确定一点把它固定，然后以这点为基点，确定出东南西北四个方向，最后再根据要求画出所要的方位角．例如：以平面内O点为基点，画出北偏东60°角和南偏西25°角． 观察课件，发现结论．余角和补角的概念．探究余角和补角的性质．完成例题和针对练习． 为引入余角和补角的概念做好铺垫．理解余角和补角的概念．会用量角器作角的和差．通过探究活动理解并掌握余角和补角的性质．能运用余角和补角的性质解决问题．
巩固提升 1、若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）A．285° B．105° C．75° D．15°2、已知∠A=70°，则∠A的补角为（ ）A．110° B．70° C．30° D．20°3、如图，已知∠AOC=90°，下列说法正确的有（ ）①∠COE=90°；②∠AOB+∠BOC=∠COE；③∠AOE=2∠COE；④∠DOE是锐角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、若一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．5、如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．（1）求∠COD的度数；（2）写出所有互余的角；（3）写出所有互补的角．拓展提升：如图1，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．①填空：∠ACE_______∠BCD（选填“＜”或“＞”或“=”）；②若∠DCE=25°，求∠ACB的度数；③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．针对练习：如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．（1）若∠EON=110°，求∠MOF的度数；（2）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；（3）求∠EON+∠MOF的度数． 完成练习． 通过练习，理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能运用知识解决问题，培养解决问题的能力．
课堂小结 通过填写表格对本节知识进行归纳． 培养学生归纳总结的能力．
板书 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．互余的数学表达式：∠α＋∠β ＝ 90 °．如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．互补的数学表达式为: ∠α＋∠β＝180 °．同角或等角的余角相等．若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．同角或等角的补角相等．若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ．例1例2
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6.8 余角和补角
一．选择题
1．已知∠A=70°，则∠A的余角等于（ ）
A．20° B．30° C．70° D．110°
2．若∠A与∠B互为余角，则∠A+∠B=（ ）
A．180° B．120° C．90° D．60°
3．如图，点C是直线AB上一点，过点C作CD⊥CE，那么图中∠1和∠2的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．不相等
4．如果∠1和∠2互补，∠1和∠3互补，那么∠2和∠3的关系是（ ）
A．相等 B．互补 C．互补 D．不能确定
5．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，则这个角的度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．下列说法正确的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．任何一个角都有余角
C．若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3互余
D．若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°
二．填空题
1．已知∠A=65°，则∠A的补角等于___________
．
2．若∠α补角是∠α余角的3倍，则∠α=___________
．
3．若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1与∠3的关系是___________
，理由是___________．
4．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=90°；③∠BOC+∠AOD=180°；④∠AOC-∠COD=∠BOC中，正确的有___________
（填序号）．
三．解答题
1．如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？21世纪教育网版权所有
2．解答下列各题．
（1）一个角的补角比它的余角的2倍还大30°，求这个角．
（2）一个角是另一个角的3倍，且小角的余角与大角的补角之差为20°，求这两个角的度数．
3．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A
【解析】∠A的余角：90°-70°=20°，故选：A．
2．C
【解析】∵∠A与∠B互为余角，∴∠A+∠B=90°，故选：C．
3．A
【解析】由图可得：∠1+∠2+∠DOE=180°，∠1+∠2=180°-∠DOE=180°-90°=90°，∴∠1和∠2的关系是互为余角，故选：A．21cnjy.com
4．A
【解析】∵∠1和∠2互补，∠1和∠3互补，∴∠2=∠3，故选A．
5．B
【解析】设这个角为x，则它的补角为（180°-x），余角为（90°-x），由题意得：180°-x=4（90°-x），解得x=60°．答：这个角的度数为60°．故选：B．21·cn·jy·com
6．D
【解析】A．一个角的补角不一定大于这个角，故A错误； B． 任何一个锐角都有余角，故B错误； C． 若∠1+∠2+∠3=90°，则∠1，2，∠3不是互余的关系，故C错误； D． 若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°，故D正确．故选：D．
二．填空题
1．115°
【解析】∵∠A=65°，∴∠A的补角为180°-65°=115°，故答案为115°．
2．45°
【解析】∠α的补角=180°-α，∠α的余角=90°-α，则有：180°-α=3（90°-α），解得：α=45°．故答案为：45°．21教育网
3．∠1=∠3；等角的余角相等
【解析】若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1与∠3的关系是∠1=∠3，理由是等角的余角相等．故答案为：∠1=∠3；等角的余角相等．www.21-cn-jy.com
4．①③④
【解析】∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC=90°，∴∠AOB=∠COD，故①正确；∠AOB+∠COD不一定等于90°，故②错误；∠BOC+∠AOD=90°-∠AOB+90°+∠AOB=180°，故③正确；∠AOC-∠COD=∠AOC-∠AOB=∠BOC，故④正确；综上所述，说法正确的是①③④．故答案为：①③④．【来源：21·世纪·教育·网】
三．解答题
1．与∠DOE互余的是∠EOF、∠BOD、∠BOC；与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC
【解析】∵∠AOE=∠FOD=90°，∴∠AOF+∠EOF=90°，∠BOD+∠DOE=90°，∠DOE+∠EOF=90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOD=∠BOC，∴与∠DOE互余的是∠EOF、∠BOD、∠BOC；∵∠AOF+∠BOF=180°，∠DOE+∠BOF=180°，∴与∠DOE互补的角是∠BOF、∠EOC．21·世纪*教育网
2．（1）30°；（2）165°
【解析】（1）设这个角为x，则余角为（90-x）°，补角为（180-x）°，
由题意得，180-x=2（90-x）+30，
解得：x=30，
即这个角为30°．
（2）设一个角为x，则另一个角为3x，
由题意得，（90-x）-（180-3x）=20，
解得：x=55，
则另一个角为165°．
3．（1）120°，60°；（2）25°，∠DOE与∠AOB互补
【解析】（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，其补角为180°-∠AOB=180°-120°=60°；
（2）∠DOC=×∠BOC=×70°=35°，∠AOE=×∠AOC=×50°=25°．
∠DOE与∠AOB互补，
理由：∵∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°，∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，故∠DOE与∠AOB互补．2·1·c·n·j·y
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6.8 余角和补角
数学浙教版 七年级上
复习回顾
按图填空：
（1）∠AOB+∠BOC=_________；
（2）∠AOC+∠COD=_________；
（3）∠BOD-∠COD=_________；
（4）∠AOD-∠BOD=_________；
（5）∠AOD=∠AOB+∠BOC+_________
=∠AOB+_________=∠AOC+∠_________；
（6）∠BOC=∠AOD-∠AOB-_________
=∠AOC-_________=∠BOD-_________
∠AOC
∠AOD
∠BOC
∠AOB
∠COD
∠BOD
∠COD
∠AOB
∠COD
∠COD
教学目标
导入新课
台球比赛中，一次被击打母球的线路如图．若角∠α为30°，则入射角、反射角、∠β分别为多少度（入射角与反射角相等）？
新课讲解
观察，∠1+∠2与 Rt∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？
1
2
A
O
B
观察 ，∠α+∠β与 ∠AOB 相等吗？你是怎样判断的？
α
β
新课讲解
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °．
如图∠1与∠2互为余角， ∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．数学表达式：∠1＋∠2＝ 90 °．
新课讲解
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．
互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 °．
如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠AOC是∠BOC的补角，∠BOC也是∠AOC的补角．∠AOC＋∠BOC ＝180 °
新课讲解
3、 1与 2互补，除用符号语言表示为 1＋ 2＝180°外，还可以用其它形式等式表示为 1＝180°－ 2，或 2＝180°－ 1．
1、定义中的“互为”一词如何理解？
2、互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
如果 1与 2互余，那么 1的余角是 2， 2的余角是 1．
互补或互余的两角不一定有公共顶点或公共边．
学以致用
1、如图，已知∠1=42°，∠2=138°，∠3=48°．图中有没在互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由．
解：∠1与∠3互余，∵∠1+∠3=90°，∴∠1与∠3互余．
∠1与∠2互补，∵∠1+∠2=180°，∴∠1与∠2互补．
2、如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠BOC内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪些角互余？请说明理由．
3、填空：
（1）∠α的余角=90°-_______．
（2）∠β的余角=_______-∠β．
∠α
90°
互补的角：∠AOC和∠BOC，
∠AOD和∠BOD．
互余的角：∠BOD和∠COD．
学以致用
新课讲解
如图，点O为直线AB上一点，∠AOC=Rt∠，OD是∠AOC内的一条射线．OE是 BOC内的一条射线．回答下列问题：
（1）图中 DOC的余角有______________．
（2）图中 AOD的余角有______________．
（3） 通过上述两小题你能得到什么结论？
AOD与 COE
DOC与 BOE
同 角(等角)的 余 角 相 等
∵ AOD + COD =90°， COE + COD = 90°，
∴ AOD= COE．
（4） AOD和 COE的补角分别是_______________．
（5）通过此题，你又能得到什么结论？
BOD与 BOD
同角（等角）的补角相等
新课讲解
同角或等角的余角相等．
若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．
同角或等角的补角相等．
若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ．
新课讲解
例1 如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些角相等，并说明理由．
解：∠AOB=∠COD．
理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠，
∴∠AOB+∠BOC=Rt∠，
∠COD+∠BOC=Rt∠．
即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，
∴∠AOB=∠COD（同角的余角相等）．
学以致用
如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角；
（2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数；
（3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？
解：（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE；
（2）∵OD平分∠BOC，∠BOC=68°，
∴∠COD= ∠BOC= ×68°=34°，
∵∠BOC=68°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-68°=112°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC= ∠AOC= ×112°=56°；
（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD= ∠BOC，∠EOC= ∠AOC，
∴∠COD+∠EOC= （∠BOC+∠AOC）= ×180°=90°，
∴∠COD与∠EOC互余．
学以致用
新课讲解
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度，补角是(180－x)度，由题意得,
180－x=4(90－x)，
解得x=60，
答：这个角的度数为60°．
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一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°，求这个角的度数．
解：设这个角的余角为∠A，则这个角的为90°-∠A，
这个角的补角为180°-（90°-∠A）=90°+∠A，
则180°-∠A= （90°+∠A）+90°，
解得∠A=30°．
所以90°-∠A=60°，
答：这个角为60°．
学以致用
知识拓展
什么是方位角？怎样表示方位角？
在航海、探险、飞行等领域，为了表示某一地区的地理位置，常用方位角这一概念．具体做法：先在某地确定一点把它固定，然后以这点为基点，确定出东南西北四个方向，最后再根据要求画出所要的方位角．
例如：以平面内O点为基点，画出北偏东60°角和南偏西25°角．
教学目标
巩固提升
1、若一个角为75°，则它的余角的度数为（ ）
A．285° B．105° C．75° D．15°
2、已知∠A=70°，则∠A的补角为（ ）
A．110° B．70° C．30° D．20°
3、如图，已知∠AOC=90°，下列说法正确的有（ ）
①∠COE=90°；②∠AOB+∠BOC=∠COE；③∠AOE=2∠COE；④∠DOE是锐角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
D
A
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教学目标
巩固提升
4、若一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．
解：设这个角是x度，
则这个角的补角为（180-x）度，余角为（90-x）度，
所以3（90-x）=180-x，
整理，可得2x=90，
解得：x=45，
即这个角的度数为45°．
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教学目标
巩固提升
5、如图，点A，O，B在同一直线上，OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线．
（1）求∠COD的度数；
（2）写出所有互余的角；
（3）写出所有互补的角．
教学目标
巩固提升
解：（1）∵点A，O，B在同一直线上，
∴∠AOE+∠BOE=180°，
又∵OC，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
∴∠COD= ∠AOE+ ∠BOE= （∠AOE+∠BOE）=90°；
（2）4对，∠AOC与∠EOD，∠AOC与∠BOD，∠COE与∠EOD，∠COE与∠BOD；
（3）5对，∠AOC与∠COB，∠COE与∠BOC，∠EOD与∠AOD，∠BOD与∠AOD，∠AOE与∠BOE．
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教学目标
拓展提升
如图1，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
①填空：∠ACE_______∠BCD（选填“＜”或“＞”或“=”）；
②若∠DCE=25°，求∠ACB的度数；
③猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
=
教学目标
拓展提升
②若∠DCE=30°，∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°，
∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE，
∠ACB=90°+60°=150°；
③猜想∠ACB+∠DCE=180°．
理由如下：
∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°，
∴∠ECD+∠ACB=360°-（∠ACD+∠ECB）=360°-180°=180°．
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拓展练习
如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．
（1）若∠EON=110°，求∠MOF的度数；
（2）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由；
（3）求∠EON+∠MOF的度数．
解：（1）∵∠EOF=90°，∠EON=110°，
∴∠FON=20°，
∵∠MON=90°，
∴∠MOF=70°；
（2）∠EOM=∠FON，
∵∠EOM+∠MOF=∠FON+∠MOF=90°，
∴∠EOM=∠FON；
（3）∵∠EON+∠MOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF，
∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°．
教学目标
课堂小结
互为余角(互余) 互为补角(互补)
定义
数量关系
对应图形
性质
1＋ 2＝90°
1＋ 2＝180°
同角(等角)的余角相等
同角(等角)的补角相等
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补
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