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6.9 直线的相交（1）
数学浙教版 七年级上
复习回顾
1、什么叫做互为余角？
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．
互余的数学表达式：∠α ＋∠β ＝ 90 °．
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角．
互补的数学表达式为: ∠α＋∠β ＝180 °．
2、什么叫做互为补角？
复习回顾
3、余角和补角的性质？
同角或等角的余角相等．若∠α+∠β=90°，∠β+∠γ=90°，则∠α=∠γ．
同角或等角的补角相等．若∠α+∠β=180°，∠β+∠γ=180°，则∠α=∠γ．
4、一个角的补角是它的余角的4倍少15°，求这个角的度数．
解：设这个角为x度，
由题意得，180°-x=4（90°-x）-15°，
解得x=55，
答：这个角的度数为55°．
教学目标
导入新课
在生活中，我们会经常看到两条直线相交的情景．如图若把交叉的两条公路看成两条直线AB、CD ，则直线AB、CD相交于点O．
A
B
C
D
O
新课讲解
如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交．
该公共点叫做这两条直线的交点．
如图，直线AB与CD相交，其交点是O，∠1，∠2， ∠ AOD和∠COB是AB与CD相交所成的角．我们把其中相对的任何一对角： ∠1与∠2，或∠AOD与∠COB叫做对顶角．
新课讲解
对顶角的特点：
1、顶点相同
2、角的两边互为反向延长线
3、对顶角是成对出现的
学以致用
1． 如图，点O， P是直线AB上的两点，∠1=∠2. ∠1和∠2是对顶角吗？请说明理由．
解：∠1和∠2不是对顶角，
因为∠1和∠2的顶点不相同．
2．如图，已知∠3=∠4．∠3和∠4是对顶角吗？请说明理由．
解：∠3和∠4不是对顶角，
因为∠3和∠4的两边不互为反向延长线．
新课讲解
例1 如图三条直线相交于点O，说出图中的6组对顶角．
解：∠AOF与∠BOE，
∠FOD与∠EOC，
∠DOB与∠COA，
∠AOD与∠BOC，
∠FOB与∠EOA，
∠DOE与∠COF．
如图，写出图中的对顶角．
解：∠AME与∠BMF，
∠BME与∠AMF，
∠CNE与∠DNF，
∠CNF与∠DNE．
学以致用
新课讲解
如图，如果∠1=52°，那么∠2等于多少度？请说明理由．
解：∠2 =52°，
理由：∵∠1+∠AOD ＝180° ，
∠2+∠AOD ＝180° ，
∴∠1= ∠2 =52° ．（同角的补角相等）
对于任意两个对顶角相等吗？为什么？
对于任意两个对顶角它们的补角相同，所以它们是相等的，根据“同角的补角相等”．
对顶角的性质：对顶角相等．
新课讲解
例2 如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，求∠AOB的度数．
解：∵∠DOE与∠COE互余，（已知）
∴ ∠DOE+∠COE =90 ° ，(互余的定义）
∴ ∠DOE= 90 ° - ∠COE= 90 ° -62 ° =28 °．
又∵ ∠AOB与∠DOE是对顶角，（已知）
∴ ∠AOB=∠DOE ，（对顶角相等）
∴ ∠AOB=28 °．
学以致用
已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOC与∠DOE互余，若∠AOC=108°，求∠DOE的度数．
解：∵∠AOC=108°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-108°=72°，
∵∠BOC与∠DOE互余，
∴∠DOE=90°-∠BOC=90°-72°=18°．
教学目标
巩固提升
1、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D ．
2、如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC
=100°，则∠AOC是（ ）
A． 150° B． 130°
C． 100° D． 90°
C
B
教学目标
巩固提升
3、下列说法正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．有公共顶点的两个角是对顶角
C．有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
4、如图，AB与CD交于点O，EO平分∠BOC，若∠BOD=50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．40° B．50°
C．65° D．80°
D
C
教学目标
巩固提升
5、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC=70°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）求∠BOC的度数．
（2）∵∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-35°=145°．
解：（1）∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，
∴∠AOC= ∠EOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
教学目标
巩固提升
6、如图，直线AB，CD相交于O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=80°，求∠BOM的度数．
解：∵∠BOD=80°，
∴∠AOC=80°，∠BOC=100°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC=40°，
∴∠BOM=∠BOC+∠MOC=140°．
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教学目标
拓展提升
如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1=4：1，求∠AOF．
解：设∠1=x°，则∠2=4x°，
∵OE平分∠BOD，∴∠BOD=2∠1=2x°，
∵∠2+∠BOD=180°，∴4x+2x=180，∴x=30，
∵∠DOE+∠COE=180°，∴∠COE=150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠COF=∠COE=75°，
∵∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°．
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．
解：∵OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，
∴∠BOF= ∠BOC，∠BOE= ∠BOD，
∵∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOF+∠BOE＝ （∠BOC+∠BOD）=90°，
∴∠EOF=90°
教学目标
拓展提升
教学目标
课堂小结
1、相交线的概念．
2、对顶角的定义及判定条件．
3、对顶角的性质：对顶角相等．
4、利用学习过的有关事实解决实际问题，体会数学在生活中的应用．
（1）顶点相同，
（2）角的两边互为反向延长线．
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浙教版数学七年级上册第6章直线的相交（1）教学设计
课题 6.9 直线的相交（1） 单元 第6章 图形的初步知识 学科 数学 年级 七年级
学习目标 情感态度和价值观目标 在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心；感受数学与生活的密切联系,增强用数学的意识．
能力目标 经历观察、猜想、说理、交流等过程,进一步发展空间观念和有条理的表达能力.
知识目标 1、了解相交线、对顶角的概念；2、理解对顶角相等；3、会利用余角、补角和对顶角的性质进行有关角的计算．
重点 对顶角相等的探索过程，对顶角的性质．
难点 利用有关余角、对顶角的性质，并且包含较多的说理过程，是本节教学的难点．
学法 讨论法、小组合作学习． 教法 问题引导式．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾1、什么叫做互为余角？2、什么叫做互为补角？3、余角和补角的性质？4、一个角的补角是它的余角的4倍少15°，求这个角的度数．导入新课在生活中，我们会经常看到两条直线相交的情景．如图若把交叉的两条公路看成两条直线AB、CD，则直线AB、CD相交于点O． 完成回顾练习．观察图片． 回顾余角、补角及性质，并应用解决问题．通过生活中的实例引入本课，激发学生学习兴趣．
讲授新课 两条直线相交与交点：如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交．该公共点叫做这两条直线的交点．对顶角：如图，直线AB与CD相交，其交点是O，∠1，∠2， ∠ AOD和∠COB是AB与CD相交所成的角．我们把其中相对的任何一对角： ∠1与∠2，或∠AOD与∠COB叫做对顶角．对顶角的特点：1、顶点相同，2、角的两边互为反向延长线．针对练习：1． 如图，点O， P是直线AB上的两点，∠1=∠2. ∠1和∠2是对顶角吗？请说明理由．2．如图，已知∠3=∠4．∠3和∠4是对顶角吗？请说明理由．典例解析：例1 如图三条直线相交于点O，说出图中的6组对顶角．针对练习：如图，写出图中的对顶角．对顶角的性质：如图，如果∠1=52°，那么∠2等于多少度？请说明理由．对于任意两个对顶角相等吗？为什么？典例解析：例2 如图，已知直线AD与BE相交于点O，∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°，求∠AOB的度数．针对练习：已知如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOC与∠DOE互余，若∠AOC=108°，求∠DOE的度数． 了解两直线相交与交点的概念．理解对顶角的概念及特点．完成例1及针对练习．探究对顶角的性质．完成例2及针对练习． 了解两直线相交与交点的概念理解对顶角的概念及特点．理解余角和补角的概念．通过练习掌握对顶角的概念．通过探究活动理解并掌握对顶角的性质．通过例2及针对练习的完成会运用对顶角的性质及余角、补角解决问题．
巩固提升 1、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A． B． C． D ．2、如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠AOD+∠BOC=100°，则∠AOC是（ ）A． 150° B． 130° C． 100° D． 90°3、下列说法正确的是（ ）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．有公共顶点的两个角是对顶角C．有公共顶点并且相等的两个角是对顶角D．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等4、如图，AB与CD交于点O，EO平分∠BOC，若∠BOD=50°，则∠BOE的度数是（ ）A．40° B．50° C．65° D．80°5、如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC=70°．（1）求∠BOD的度数；（2）求∠BOC的度数．6、如图，直线AB，CD相交于O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=80°，求∠BOM的度数．拓展提升：如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2：∠1=4：1，求∠AOF．针对练习：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数． 完成练习． 通过练习，理解对顶角的概念，掌握对顶角的性质，并能运用知识解决问题，培养解决问题的能力．
课堂小结 1、相交线的概念．2、对顶角的定义及判定条件．（1）顶点相同，（2）角的两边互为反向延长线．3、对顶角的性质：对顶角相等．4、利用学习过的有关事实解决实际问题，体会数学在生活中的应用． 对本节知识进行归纳． 培养学生归纳总结的能力．
板书 对顶角的定义对顶角的性质：对顶角相等．例1例2
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6.9 直线的相交（1）
一．选择题
1．下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
2．如图，直线AB，CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠3的关系是（ ）
A．互余 B．对顶角 C．互补 D．相等
3．如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述：①∠1和∠2互为对顶角 ②∠1和∠3互为对顶角③∠1=∠2 ④∠1=∠3其中，正确的是（ ）21*cnjy*com
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．如图，直线AB，CD相交于点O，∠EOD=90°，若∠AOE=2∠AOC，则∠DOB的度数为（ ）【出处：21教育名师】
A．25° B．30° C．45° D．60°
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
6．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC=∠AOD，则∠BOD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
二．填空题
1．如图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，测量的根据是___________21世纪教育网版权所有
．
2．如图是一把剪刀，其中∠1=40°，则∠2=___________
，其理由是___________．
3．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=20°，∠DOF：∠FOB=1：7，射线OE平分∠BOF，则∠EOC=___________21·cn·jy·com
．
4．（1）两条直线相交于一点有2组不同的对顶角；
（2）三条直线相交于一点有6组不同的对顶角；
（3）四条直线相交于一点有12组不同的对顶角；
（4）n条直线相交于同一点有___________组不同对顶角．（如图所示）
三．解答题
1．如图，直线a，b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数．
2．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=28°，求∠BOD的度数．21教育网
3．如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：
（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；
（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；
（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少
参考答案
一．选择题
1．C
【解析】根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选C．
2．A
【解析】∵EO⊥AB于O，∴∠EOB=90°，∴∠1+∠3=90°，则∠1与∠3的关系是互余．故选：A．21cnjy.com
3．D
【解析】①∠1和∠2互为邻补角，②∠1和∠3互为对顶角，③∠1+∠2=180°，④∠1=∠3．
故选D．www.21-cn-jy.com
4．B
【解析】∵∠EOD=90°，∴∠COE=90°，∵∠AOE=2∠AOC，∴∠AOC=30°，∴∠BOD=30°，故选：B．2·1·c·n·j·y
5．C
【解析】∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，∴∠AOC=∠EOC=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°．故选：C．21·世纪*教育网
6．B
【解析】∵∠AOC=∠AOD，∴∠AOD=3∠AOC，又∵∠AOC+AOD=180°，∴∠AOC+3∠AOC=180°，解得∠AOC=45°，∴∠BOD=∠AOC=45°（对顶角相等）．故选：B．2-1-c-n-j-y
二．填空题
1．对顶角相等
【解析】由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．故答案为：对顶角相等．【来源：21cnj*y.co*m】
2．40°，对顶角相等
【解析】∵∠1=∠2，∠1=40°，∴∠2=40°．故答案为：40°，对顶角相等．
3．90°
【解析】∵∠AOD=20°，∴∠BOC=20°，∠DOB=160°．∵∠DOF：∠FOB=1：7，∴∠FOB=140°．∵OE平分∠BOF，∴∠EOB=∠BOF=70°．∴∠EOC=∠EOB+∠BOC=70°+20°=90°．故答案为：90°．
4．n（n+1）
【解析】观察图形可知，n条直线相交于同一点有（1+2+…+n）×2=×2=n（n+1）组不同对顶角．故答案为：n（n+1）．www-2-1-cnjy-com
三．解答题
1．140°，40°，140°
【解析】∵∠1=40°，∴∠3=∠1=40°，∴∠2=∠4=180°-∠1=180°-40°=140°．
2．34°
【解析】由角的和差，得∠EOF=∠COE-COF=90°-28°=62°．
由角平分线的性质，得∠AOF=∠EOF=62°．
由角的和差，得∠AOC=∠AOF-∠COF=62°-28°=34°．
由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=34°．
3．60°
【解析】∵∠PCD=90°-∠1，又∵∠1=30°，∴∠PCD=90°-30°=60°，而∠PCD=∠ACF，∴∠ACF=60°．【来源：21·世纪·教育·网】
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