一次函数的综合应用
◆考点四：一次函数的综合应用：
典例精讲：例9.如图，一次函数y=ax﹣b与正比例函数y=kx的图象交于第三象限内的点A，与y轴交于B（0，﹣4），且OA=AB，△AOB的面积为6．
（1）求两个函数的解析式；
（2）若有一个点M（2，0），直线BM与AO交于点P，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点E，使S△ABE=5？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练：
如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求边AB的长；
（2）求点C，D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
典例精讲：例10.如图，直线y=2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，且使AP=2OA，求△BOP的面积．
变式训练：
如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），与轴相交于C，动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
典例精讲：例11.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，过点D（8，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G．
（1）求直线DE的函数关系式；
（2）函数y=mx﹣2的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值；
（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积．
变式训练：
如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P，与x轴交于点C．
（1）直接写出m和b的值及点A、点C的坐标；
（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；
典例精讲：例12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一个动点（点P与点O、C不重合），动点P从原点出发沿x轴正方向运动，过点P作直线PQ平行于y轴与AC相交于点Q．设P点的运动距离（0＜＜4），点B关于直线PQ的对称点为M．
（1）点M的坐标为
（2）求直线AC的表达式．
（3）连结MQ，若△QMC的面积为S，求S与的函数关系．
变式训练：
如图，一次函数y=﹣x+m的图象与x和y分别交于点A和点B，与正比例函数图象交于点P（2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△POB的面积；
（3）在直线OP上是否存在异与点P的另一点C，使得△OBC与△OBP的面积相等？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
巩固提升：
1．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象．
2．在平面直角坐标系中，O为原点，直线：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．若点M的坐标为（1，﹣1），
（1）当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
（2）当点F为直线上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
3.正方形OABC的边长为2，其中OA、OC分别在x轴和y轴上，如图1所示，直线l经过A、C两点．
（1）若点P是直线l上的一点，当△OPA的面积是3时，请求出点P的坐标；
（2）如图2，坐标系xOy内有一点D（﹣1，2），点E是直线l上的一个动点，请求出|BE+DE|的最小值和此时点E的坐标．
（3）若点D关于x轴对称，对称到x轴下方，直接写出|BE﹣DE|的最大值，并写出此时点E的坐标．
4.如图1,直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点,OC平分∠AOB交AB于点C,点D为线段AB上一点,过点D作DE//OC交y轴于点E,已知AO=m,BO=n,且m、n满足n2-12+36+|n-2m|=0.
(1)求A、B两点的坐标
(2)若点D为AB中点,求OE的长
(3)如图2,若点P(x,-2x+6)为直线AB在x轴下方的一点,点E是y轴的正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△PEF,使点F在第一象限,且F点的横、纵坐标始终相等,求点P的坐标.
A
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一次函数的综合应用答案
◆考点四：一次函数的综合应用：
典例精讲：例9.
解析：（1）如图1，
作AD⊥OB轴于D，
∵B（0，﹣4），∴OB=4，
∵OA=AB，∴OD=BD=OB=2，
∵S△AOB=6，∴S△AOB=OB AD=×4AD=6，∴AD=3
而点A在第三象限内，则A（﹣3，﹣2），
又点A在y=kx上，
∴﹣2=﹣3k，∴k=，
∴正比例函数解析式为：，
又y=ax﹣b通过A、B，
∴，解得：
∴一次函数解析式为：
（2）如图2，由（1）知，正比例函数解析式为：，
∵B（0，﹣4），M（2，0），
∴直线BM的解析式为，
解得：，∴点P（3，2），
（3）如图3，由（1）知，一次函数解析式为：
∴C（﹣6，0）
∵点E在x轴上，设E（x，0），∴CE=|x+6|，
∵S△ABE=5，
S△ABE=S△BCE﹣S△ACE=BE ||﹣BE ||=BE （||﹣||）= |x+6| （4﹣2）=|x+6|=5
∴x=﹣1或x=﹣11；
∴E（﹣1，0）或（﹣11，0）能够使得△ABE的面积为5．
变式训练：
解析：：（1）对于直线，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，1），
在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，
根据勾股定理得：AB；
（2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，
∵正方形ABCD，
∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，
∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，
∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；
（3）找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，
∵B（0，1），
∴B′（0，﹣1），
设直线B′D的解析式为y=kx+b，
把B′与D坐标代入得：，
解得：，即直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1，
令y=0，得到x=﹣1，即M（﹣1，0）．
典例精讲：例10
解析：（1）当y=0时，2x+3=0，解得x=﹣，则A点坐标为（﹣，0）；
当x=0时，y=2x+3=3，则B点坐标为（0，3）；
（2）当点P在x轴的正半轴上，如图1，
∵AP=2OA，
∴OA=OP，
∴P点坐标为（，0），
∴△BOP的面积= 3=；
当点P在x轴的负半轴上，如图2，
∵AP=2OA，
∴OP=3OA=3 =，
∴P点坐标为（﹣，0），
∴△BOP的面积= 3=，
综合所述，△BOP的面积为或．
变式训练：
解析：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，解得：，
则直线的解析式是：y=﹣x+6；
（2）在y=﹣x+6中，令x=0，解得：y=6，
S△OAC=×6×4=12；
（3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2，
解得：
则直线的解析式是：，
当点在线段OA上时，设
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴，解得：，
当在射线AC上时，设
，解得：，或
综上所述：M的坐标是：或或
典例精讲：例11.
解析：（1）设直线DE的解析式为：y=kx+b，
∵顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，
∴点E的坐标为：（6，2），
∵D（8，0），∴，解得：，
∴直线DE的函数关系式为：y=﹣x+8；
（2）∵点F的纵坐标为4，且点F在直线DE上，
∴﹣x+8=4，解得：x=4，∴点F的坐标为；（4，4）；
∵函数y=mx﹣2的图象经过点F，
∴4m﹣2=4，解得：；
（3）由（2）得：直线FH的解析式为：，
∵，解得：，
∴点H（，0），
∵G是直线DE与y轴的交点，
∴点G（0，8），
∴OH=，CF=4，OC=4，CG=OG﹣OC=4，
∴S四边形OHFG=S梯形OHFC+S△CFG=×（+4）×4+×4×4=．
变式训练：
解析：（1）∵点P在直线l1上，
∴3=﹣m+2，解得m=﹣1，∴P（﹣1，3），
∵y2=x+b过点P，
∴3=×（﹣1）+b，解得b=，
∴直线y2=x+，令y2=0可得0=x+，解得x=﹣7，
∴点C坐标为（﹣7，0），
在y1=﹣x+2中，令y1=0可得﹣x+2=0，解得x=2，
∴A点坐标为（2，0）；
（2）①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，
∵A（2，0），C（﹣7，0），
∴AC=2﹣（﹣7）=9，
当Q在A、C之间时，则AQ=AC﹣CQ=9﹣t，
∴S=×3×（9﹣t）=﹣t+；
当Q在A的右边时，则AQ=CQ﹣AC=t﹣9，
∴S=×3×（t﹣9）=t﹣；
②令S=3可得﹣t+=3或t﹣=3，解得t=6或t=11，
即当t的值为6秒或11秒时△APQ的面积等于3；
典例精讲：例12.
解析：（1）∵动点P从原点出发沿x轴正方向运动，设P点的运动距离，
∴OP=l，
∵B（﹣1，0），∴BP=+1，
∵点B关于直线PQ的对称点为M．
∴PM=+1，
∴OM=OP+PM=+1=+1，
∴M（2+1，0），
故答案为（2+1，0）
（2）设直线AC的表达式为y=kx+b，
∵A（0，2）、C（4，0）．
∴，解得：，
∴直线AC的表达式，
（3）如图1，当点M在线段OC上时，
∴，，
即：0＜m≤时，Q（l，﹣+2），
∴PQ=﹣+2，MC=OC﹣OM=4﹣（+1）=3﹣2，
∴S=S△QMC=MC PQ=（3﹣）（﹣m+2）=﹣+3，
如图2，当点M在射线OC上时，＜m＜4时，
∴MC=（m+m﹣3）=2m﹣3，PQ=﹣m+2，
∴S=S△QMC=MC PQ=（2m﹣3）（﹣m+2）=﹣+m﹣3，
∴
变式训练：
解析：（1）∵点P（2，n）在正比例函数图象上，
∴n=×2=3，∴点P的坐标为（2，3）．
∵点P（2，3）在一次函数y=﹣x+m的图象上，
∴3=﹣2+m，解得：m=5，
∴一次函数解析式为y=﹣x+5．
∴m的值为5，n的值为3．
（2）当x=0时，y=﹣x+5=5，
∴点B的坐标为（0，5），
∴S△POB=OB xP=×5×2=5．
（3）存在．
∵S△OBCOB |xC|=S△POB=5，
∴xC=﹣2或xC=2（舍去）．
当x=﹣2时，y=×（﹣2）=﹣3．
∴点C的坐标为（﹣2，﹣3）．
巩固提升：
1.解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵直线AB经过点（1.5，70），（2，0），
∴，解得．
∴直线AB的解析式为y=﹣140x+280（x≥0）．
∵当x=0时，y=280．
∴甲乙两地之间的距离为280千米．
（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时．
由题意可得，解得．
∴快车的速度为80千米/时．
∴快车从甲地到达乙地所需时间为小时；
（3）∵快车的速度为80千米/时．慢车的速度为60千米/时．
∴当快车到达乙地，所用时间为：小时，
∵快车与慢车相遇时的时间为2小时，
∴y=（3.5﹣2）×（80+60）=210，
∴C点坐标为：（3.5，210），
此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：小时，
当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为：小时，
∴此时距甲地：千米，
∴D点坐标为：（，），
再一直行驶到甲地用时3.5×2=7小时．
∴E点坐标为：（7，0），
故图象如图所示：
2.解析：（1）∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．
又∵A（2，0），点E在直线EA上，
∴，解得，
∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，
∴点P的坐标是（3，3）．
（2）由已知可设点F的坐标是（1，t）．
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．
又点A、E在直线EA上，
∴，解得，
∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．
则有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；
3.解析：（1）如图1中，
由题意知点A、点C的坐标分别为（﹣2，0）和（0，2）
设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过点A（﹣2，0）和点C（0，2），
得解得，
∴直线l的解析式为y=x+2．
设点P的坐标为（m，m+2），
由题意得×2×|m+2|=3，∴m=1或m=﹣5．
∴P（1，3），P′（﹣5，﹣3）．
（2）如图2中，连接OD交直线l于点E，则点E为所求，此时|BE+DE|=|OE+DE|=OD，OD即为最大值．
设OD所在直线为y=k1x（k1≠0），经过点D（﹣1，2），
∴2=﹣k1，∴k1=﹣2，∴直线OD为y=﹣2x，
由 解得，∴点E的坐标为（，），
又∵点D的坐标为（﹣1，2），
∴由勾股定理可得OD=．
即|BE+DE|的最小值为．
（3）如图3中，
∵O与B关于直线l对称，
∴BE=OE，∴|BE﹣DE|=|OE﹣DE|．
由两边之差小于第三边知，当点O，D，E三点共线时，|OE﹣DE|的值最大，最大值为OD．
∵D（﹣1，﹣2），
∴直线OD的解析式为y=2x，OD=，
由，解得，
∴点E（2，4），
∴|BE﹣D′E|的最大值为此时点E的坐标为（2，4）．
4.解析：（1）∵
∴
∵，
∴,
∴ m=3，n=6
∴点A为（3,0），点B为（0,6）
（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG=DF，连接BG
设OE=x
∵OC平分∠AOB
∴∠BOC=∠AOC=45°
∵DE∥OC
∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°
∴OE=OF=x
在△ADF和△BDG中∵
∴△ADF≌△BDG（SAS）
∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°
∴∠G=∠BEG=45°
∴BG=BE=6-x
∴6-x=3+x
解得：x=1.5，∴OE=1.5
（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N
设点E为（0，m）
∵点P的坐标为（x，-2x+6）
则PN=x，EN=m+2x-6
∵∠PEF=90°
∴∠PEN+∠FEM=90°
∵FM⊥y轴
∴∠MFE+∠FEM=90°
∴∠PEN=∠MFE
在△EFM和△PEN中
∵
∴△EFM≌△PEN（AAS）
∴ME=NP=x，FM=EN=m+2x-6
∴点F为（m+2x-6，m+x）
∵F点的横坐标与纵坐标相等
∴m+2x-6=m+x
解得：x=6
∴点P为（6，-6）
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