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浙教版数学九年级下册2.2切线长定理教学设计
课题 2.2切线长定理 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 (一)知识目标1. 了解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；3. 在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题. (二)能力训练点经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力. (三)情感目标了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
重点 理解切线长定理.
难点 应用切线长定理解决问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1复习回顾(1)和圆有唯一公共点的直线叫 .(2)圆的切线 过切点的半径.2.创设情景：请看这是什么玩具？这是大家非常喜爱的一种玩具。可是，大家在玩时是否想到过它的转动过程中还包含着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？（空竹的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段。） 这些图形位置关系怎样？思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么 1.积极思考，主动抢答2..引起回忆，展开联想，组内交流，认真发现 1.通过回顾，调动学生学习新课的热情，为学习切线长定理做准备.2.设置生活情景，引导学生进入学习状态，充分调动学生学习的新知的兴趣.
讲授新课 一.探究概念：（一）、切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长.1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）（2）定义中的“线段”具有什么特征？① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。3、辨别：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量,通过测量我们发现PA=PB吗？4.请证明你所发现的结论.（二）、切线长定理：1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？ 探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图中还能得出哪些结论？并把它们归类.（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.二.讲解例题例1 如图，点O是 所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A,B,已知∠ACB=80°.OC=102m求点C到⊙O的切线长（结果精确到1m）.提醒：常用的辅助线是连接过切点的半径例2 如图表示皮带传动装置中一个轮子，传动皮带MA，MB分别切⊙O于点A.B延长MA,NB,相交于点P，已知∠ APB=60 °,AP=24，求两切点间的距离和的长（精确到1）提醒： （1）由切线长定理 既可得到线段相等，又可以得到角相等，运用时要根据题意选用.（2）切线长定理的基本图形要记牢，由基本图形可得到很多有用结论：①分别连结圆心和切点，可得垂直②连结两切点，可得垂直平分③连结圆心和圆外一点，可得角相等 1.合作交流，探索理解概念，并动手加以说明.2.积极参加学习活动中，探索新知的应用.并思考总结每种题型的解题思路.掌握常见问题添加辅助线的方法. 1.学习有关概念2.为学生作示范
随堂演练 1、填空：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO= ; （2）若PO=10，AO=6，则PB= ；（3）若PA=4，AO=3，则PO= .2.已知如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，AP=5，则AB长为 . 3.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm.求半径OA的长. 小组合作，人从过关，分组展示 巩固、应用新学的知识.
拓展提升 1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）A．12cm B．24cm C．6 cm D．12cm 2.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于 C，BE∥CO,(1)求证:BC是∠ABE的平分线(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长 自学、互学、小组合作学习，提升能力. 进一步巩固新学的知识.
课堂小结 1. 切线长在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长２．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等. 认真回顾，思考并积极回答， 系统化本节知识要点
板书 １．切线长：２．２．切线长定理 给学生留下学习的参照
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2.2切线长定理
浙教版 九年级下
复习回顾
(1)和圆有唯一公共点的直线叫 .
（2）圆的切线 过切点的半径。
圆的切线
垂直于
导入新知
这些同学在干什么？
P
C
D
A
B
O
AC、BD分别与⊙O相切于点C、D,AC与BD延长线交于点P,PC与PD有什么大小关系？
新知讲解
O
B
P
思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么
A
新知讲解
P
B
A
O
思考：切线长和切线的区别和联系？
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.通过测量我们发现PA=PB吗？
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长.
新知讲解
请证明你所发现的结论。
A
P
O
B
①PA = PB，②PA平分∠APB
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论
证明：如图，连结PO、AO、BO，
新知讲解
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠1＝∠2
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的长相等.
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
符号表示:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
新知讲解
（2）写出图中所有相等的弧
AO=BO=DO=EO,AP=BP,AC=BC
定理拓展：
若PA、PB是的两条切线，A、B为切点，直线OP交于点D、E，交AB于C.
(1)写出图中所有相等的线段
（3）写出图中所有垂直关系
（4）写出图中所有等腰三角形
（5）写出图中所有全等三角形
OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP
△ABP, △AOB
△AOP≌△BOP, △AOC≌△BOC, △ACP≌△BCP
新知讲解
例1 如图，点O是 所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A,B,已知∠ACB=80°.OC=102m求点C到⊙O的切线长（结果精确到1m）.
分析：对于求切线长，一般连过切点的半径，构造直角三角形，然后再解直角三角形.
∵ AC，BC分别与⊙O相切于点A,B，
∴AC=BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等）
新知讲解
答：点C到⊙O的切线长约为78 m
∴AC=OCcos40 ° =102cos40 ° ≈78(m)
在R△OAC中， ∠OAC=90 ° （为什么？）
又∵ OA＝OB，OC＝OC
∴△OAC≌△OBC
解：如图,连结OA，OB
新知讲解
例2 如图表示皮带传动装置中一个轮子，传动皮带MA，MB分别切⊙O于点A.B延长MA,NB,相交于点P，已知∠ APB=60 °,AP=24，求两切点间的距离和 的长（精确到1）
分析：对于实际问题先抽象出几何图形，本题考查切线长，连过切点的半径，构造直角三角形，然后再解直角三角形，即可求得结果.
新知讲解
解：如图连结AB,OA.OB
∵MP,NP分别切⊙O于点A,B
∴OA⊥AP,OB⊥BP,AP=BP(为什么？)
又∵ ∠APB=60°, ∴ △APB为等边三角形，
∴ AB=AP=24cm,
∵ OA=OB, ∴OP平分∠ APB, ∠ OPA=30°,
而∠AOB=360°-2×90°-60°=120°
答：两切点间的距离为24cm， 的长约为29cm
新知讲解
（1）由切线长定理 既可得到线段相等，又可以得到角相等，运用时要根据题意选用.
（2）切线长定理的基本图形要记牢，由基本图形可得到很多有用结论：
巩固提升
1、填空：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，（1）若PB=12，PO=13，则AO= ;
（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；
（3）若PA=4，AO=3，则PO= .
5
8
5
2.已知如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=60°，AP=5，则AB长为 .
分析：由切线长定理知PA=PB，根据己知条件即可判定△PAB是等边三角形，由此可求得AB的长.
解：∵PA、PB分别切 ⊙O于A、B，
∴PA=PB.
∵∠P=60°,
∴△PAB是等边三角形；
∴AB=PA=5,
故答案为5.
巩固提升
5
巩固提升
解：由 PA,PB分别于圆O相切于点A,B，
∴AO⊥PA，BO⊥PB.∴△AOP是直角三角形.
在Rt△PAO中，由勾股定理得：AO +PA =PO ，
∵ PO=PD+AO, ∴AO +PA =(PD+AO) ，
∵ PA=4cm,PD=2cm，∴AO +4 =(2+AO)
∴AO +16=4+4AO+AO , ∴4AO=12, ∴AO=3cm
答： ⊙O的半径为3cm.
3.如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO与⊙O相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm.
求半径OA的长.
拓展提升
1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）
A. 12cm
B. 24cm
【分析】设圆形螺母的圆心为O，连接OD，OE，OA，如图所示：根据切线的性质得到AO为∠ DAB的平分线，OD丄AC，又∠CAB=60°，得到∠OAE=∠OAD=0.5∠DAB=60°，根据三角函数的定义求出OD的长，即为圆的半径，进而确定出圆的直径.
拓展提升
∵AD，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠DAB的平分线，OD丄AC，OD丄AC，
则圆形螺母的直径为 cm.
故选D.
解：设圆形螺母的圆心为O，与AB切于E，连接OD，OE，OA，如图所示：
在Rt△AOD中，∠OAD=60°，AD=6cm，
又∠CAB=60°，∠OAE=∠OAD=0.5∠DAB=60°,
拓展提升
2.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于 C，BE∥CO,
(1)求证:BC是∠ABE的平分线
(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长
分析：
(1)由BE∥CO,推出∠OCB＝∠CBE,由OC＝OB,推出∠OCB＝∠OBC,
可得∠CBE＝∠CBO,
(2)在Rt△OCD中，求出OD，由BE∥CO，可得 ，由此即可解决问题
拓展提升
证明：∵ DE是切线，
∴OCDE,
∵BE∥CO,
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠CBE=∠CBO,
∴BC平分∠ABE
拓展提升
(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8, OC＝OA＝6,
∵BE∥CO,
∴EC=4.8
课堂小结
1.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.
2.切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据.必须掌握并能灵活应用.
谢谢
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