(共23张PPT)
2.1直线与圆的位置关系（3）
—— 切线的性质
浙教版 九年级下
复习回顾
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
1.切线的判定定理:
这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.
2.切线的判定方法有：
③ 切线的判定定理.
② 直线到圆心的距离等于圆的半径；
① 直线与圆有唯一公共点；
在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线.
导入新知
问题1.如图,直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于多少度 在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的切线,连结圆心与切点,半径与切线所成的角为多少度
经过切点的半径垂直于圆的切线.
T
由此你发现了什么
新知讲解
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
证明：假设OA与直线AT不垂直，
作OM⊥AT于M,
因“垂线段最短”，
故OA>OM.
即圆心到直线的距离小于半径，这与“直线AT是⊙O的切线”矛盾，
故直线AT与⊙O一定垂直.
T
反证法
M
导入新知
问题2.任意画一个圆,作这个圆的一条切线,过切点作切线的垂线,你发现了什么 你的发现与你同伴发现相同吗
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
新知讲解
探索切线性质:
1.定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
2.推论1：过切点且垂直于切线的直线必过圆心
P
3.推论2：经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
一般地,圆的切线有如下的性质:
一条直线满足：
（1）过圆心
（2）垂直于切线 切线性质
（3）过切点
知二推一
新知讲解
(1)∵⊙O与AT相切于点A
∴OA⊥AT
(2)∵圆与AT相切于点A,PA⊥AT,交圆于P点
∴AP是圆的直径
几何语言
P
新知讲解
切线的判定定理与性质定理有什么不同呢？
切线的判定定理：
①过半径的外端；
②垂直于这条半径.
①圆的切线；
②过切点的半径.
切线的性质定理：
切线
切线垂直于半径
新知讲解
例1 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径.
分析：要求⊙O的半径，可以考虑建立与圆的半径有关的直角三角形，
因为BC是⊙O的切线，所以连结OC，这样四边形ABCO是直角梯形，过A点作OC的垂线，求得圆的半径.
新知讲解
解：连结OA,OC,过点A作AD⊥OC于D.
∵⊙O与BC相切于点C.
∵AB⊥BC,AD⊥OC
∴四边形ABCD是矩形
∴AD=BC,OD=OC-CD=OC-AB
在Rt△ADO中,
即:
∴OC⊥BC
解得:r=20
答: ⊙O的半径为20cm
常用的辅助线是连接半径
新知讲解
例2 如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD.
求证:
分析：要证明 ，需要找到一个角等于 ∠COD 的一半，或者是∠ACD 的两倍.因为直线AB与⊙O相切于点C，所以OC⊥AB，因此考虑作∠COD的平分线.
新知讲解
证明:作OE⊥DC于点E,
∵OC=OD
∵⊙O与AB相切于点C
∴∠ACD+∠OCE=900
∴OC⊥AB
又∵ ∠COE +OCE=90°
∴∠ACD= ∠COE
巩固提升
1.AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（ ）
A.20° B.25° C.30° D.40°
解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB=90°，
∵∠P=40°，
∴∠POA=90°﹣40°=50°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO=25°，
故选B．
B
巩固提升
2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（ ）
A.29° B.32° C.42° D.58°
B
解：连接OC
∵∠B=29°，
∴∠AOC=58°，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠DCO=90°，
∴∠D=90°﹣58°=32°，
故选B．
巩固提升
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A=∠ADE；
(2)若AD=16，DE=10，求BC的长.
分析:（1）连结OD，根据切线的性质和同圆的半径相等，及圆周角所对的圆周角为90°，得到相对应的角的关系，即可证明；（2）由（1）中的∠ADE=∠A可得AE=DE；由∠ACB=90°，可得EC是⊙O的切线，由切线长定理易得DE=EC，则AC=2DE，由勾股定理求出CD；设BD=x，再可由勾股定理BC2= x2+122=(x+16)2-202,可解出x的值，再重新代入原方程，即可求出BC.
巩固提升
（1）证明：连结OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠ADE=∠A.
巩固提升
（2）解：连结CD，
∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°.
∴EC是⊙O的切线，∴DE=EC，
∴AE=EC.
又∵DE=10，∴AC=2DE=20，
在Rt△ADC中，DC= .
设BD=x，
在Rt△BDC中，BC2=x2+122,
在Rt△ABC中，BC2=(x+16)2-202,
∴x2+122=(x+16)2-202,解得x=9，
∴BC= .
拓展提升
如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
A.5 B.6 C.2 D.3
【分析】如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．利用菱形的面积公式求出DH，再利用勾股定理求出AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得 ，延长即可解决问题．
拓展提升
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH= ＝12
∴HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD=
解：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
H
E
拓展提升
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，
∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，
∴ ， ∴ ，
∴OF=2 ．
故选C．
H
E
F
设⊙O与AB相切于F，连接OF．
课堂小结
１．切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线.
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
２．切线性质的应用：
常用的辅助线是连接半径．
综合性较强，要联系许多其它图形的性质．
谢谢
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浙教版九年级下册2.1.3直线与圆的位置关系教学设计
课题 2.1.3直线与圆的位置关系 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 (一)知识目标1.理解切线的性质定理；2.经历探究切线性质定理的过程；3.会应用切线的性质定理解决问题. (二)能力训练点体验、理解圆的切线的两个性质，并正确合理、灵活运用. (三)情感目标通过动手操作，反复尝试，合作交流，经历圆的切线的性质定理的产生过程，培养探索精神和合作意识.
重点 切线的两个性质.
难点 切线的判定和性质的综合运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
1.切线的判定定理:
2.切线的判定方法有：
2.创设情景：问题1.直线AT与⊙O相切于点A,连结OA.∠OAT等于多少度 在⊙O上再任意取一些点,过这些点作⊙O的切线,连结圆心与切点,半径与切线所成的角为多少度 问题2.任意画一个圆,作这个圆的一条切线,过切点作切线的垂线,你发现了什么 你的发现与你同伴发现相同吗 1.积极思考，主动抢答2..独立思考，组内交流； 动手操作，认真发现 1.通过回顾，调动学生学习新课的热情，为学习切线的判定定理做准备.2.设置问题情景，引导学生进入学习状态，充分调动学生学习的新知的兴趣.
讲授新课 1.探究概念：圆的切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线；经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 几何语言表示:(1)∵⊙O与AT相切于点A∴OA⊥AT(2)∵圆与AT相切于点A,PA⊥AT,交圆于P点∴AP是圆的直径讨论切线的判定定理与性质定理有什么不同呢？2.讲解例题例1 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠⊙O于点A,并使较长边与⊙O相切于点C,记角尺的直角顶点为B,量得AB=8cm,BC=16cm.求⊙O的半径.提醒：常用的辅助线是连接半径例2 如图,直线AB与⊙O相切于点C,AO与⊙O交于点D,连结CD.求证:提醒： 对于角的倍分问题，（1）折半法：作出大角的一半，证它与小角相等；（2）加倍法：作出小角的2倍，证它与大角相等 1.合作交流，探索理解概念，并动手加以说明.学生思考问题，举手发言2.积极参加学习活动中，探索新知的应用.并思考总结每种题型的解题思路. 1.学习有关概念帮助学生归纳总结2.为学生作示范
随堂演练 1.AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（ ）A.20° B.25° C.30° D.40°2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ABC=29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的大小为（ ） A.29° B.32° C.42° D.58° 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A=∠ADE； (2)若AD=16，DE=10，求BC的长. 小组合作，人从过关，分组展示 巩固、应用新学的知识.
拓展提升 如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）A．5 B．6 C．2 D．3 自学、互学、小组合作学习，提升能力. 进一步巩固新学的知识.
课堂小结 １．切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线.经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.２．切线性质的应用：常用的辅助线是连接半径．综合性较强，要联系许多其它图形的性质． 认真回顾，思考并积极回答， 系统化本节知识要点
板书 １．切线的性质定理：２．切线性质的应用 给学生留下学习的参照
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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