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浙教版数学九年级下册2.3三角形的内切圆教学设计
课题 2.3三角形的内切圆 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级
学习目标 (一)知识目标1. 通过作图和探索，体验并理解三角形内切圆的性质；2. 通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程；3. 类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一 步理解三角形内心和外心所具有的性质. (二)能力训练点培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识. (三)情感目标通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程，培养探索精神和合作意识.
重点 三角形内切圆的概念和画法.
难点 三角形内切圆有关性质的应用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 创设情景：问题1.这条美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的？它们有着怎样的位置关系？问题2. 从一块三角形的材料上裁下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？ (1)当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系 (2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里 (3)如何确定这个圆的圆心和半径 问题3.作圆，使它和已知三角形的各边都相切教师示范作图 1.积极思考，主动抢答2..独立思考，组内交流； 动手操作，认真探索. 1.设置问题情景，引导学生进入学习状态，充分调动学生学习的新知的兴趣.2.通过动手操作经历知识的探索过程，
讲授新课 1.探究概念：（1）定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.（2）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，它到三边的距离相等.（3）连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角.（4）内心在三角形内部.2.辨析引导学生采用观察、类比的方法，理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并于三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较.3.讲解例题例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆的半径.提醒：常用的辅助线是连接半径例2 已知： 如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 C， E， F, 设△ABC 的周长为 l，求证： AE＋BC＝ ，例3 已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E.求证：EB=EI=EC 注意：1. 任何一个三角形可作一个内切圆，内心都在三角形的内部； 在以后解有关正多边形的问题时，常常要用到这些性质．2.三角形的内切圆中，切点与圆心的连线既是圆的半径，又垂直于边，同时三角形的边长可利用切线长定理，还可利用面积公式在三角形的三边与内切圆半径之间建直角三角形. 1.合作交流，探索概念.2.组内合作，、组间交流，进一步理解概念，3.积极参加学习活动中，探索新知的应用.并思考总结每种题型的解题思路. 1.学习有关概念2.辨析内心与外心.3.为学生作示范
随堂演练 1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）A.70° B.110° C.120° D.130°2.如图， ⊙O是△ABC的内切圆，则点O 是 的（ ）A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形平分线的交点 C. 三条中线的交点 D．三条高的交点3.如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）A．114° B．122° C．123° D．132° 组内合作，人从过关，分组展示 巩固、应用新学的知识.
拓展提升 如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（ ） A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 自学、互学、组内合作，组间竞争，共同进步，提升能力. 进一步巩固新学的知识.
课堂小结 1.内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．2任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．3三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 认真回顾，思考并积极回答， 系统化本节知识要点
板书 1.内切圆的有关概念：2任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．3三角形内心的性质： 给学生留下学习的参照
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2.3三角形的内切圆
浙教版 九年级下
导入新知
这条美丽的花边图案主要是由哪些几何图形组成的？它们有着怎样的位置关系？
导入新知
从一块三角形的材料上裁下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？
？
(1)当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系
(2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里
(3)如何确定这个圆的圆心和半径
相切
圆心在这个角的平分线上
三角形的两条角平分线的交点即为圆心，交点到一边的距离即是半径.
导入新知
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
B
C
D
M
I
N
作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.
新知讲解
1.概念：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 圆心叫做三角形的内心，
三角形叫做圆的外切三角形
画三角形的内切圆:
画角平分线→定内心→定半径→画圆→结论
2.三角形内心的性质：
（1）. 三角形的内心到三角形各边的距离相等；
（2）. 三角形的内心在三角形的角平分线上；
（3）. 内心在三角形内部.
A
B
C
D
M
I
N
新知讲解
名称 确定方法 图形 性质
外心： 三角形的外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部.
内心： 三角形内切圆的圆心 三角形三边角平分线的交点 1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形的内部
三角形内切圆和外接圆的比较
新知讲解
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm， 求△ABC的内切圆的半径.
分析：设⊙O 切 AB 于点 D， 连结 OA， OB， OD. 由内切圆的圆心的性质，可知AO， BO 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线，得∠OAB＝∠OBA＝30°，解直角三角形可得结果.
新知讲解
解 如图 ， 设⊙O 切 AB 于点 D， 连结 OA， OB， OD.
∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴AO， BO 是∠BAC， ∠ABC 的角平分线,
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠OAB＝∠OBA＝30°
∵OD⊥AB， AB＝3cm，
∴ AD＝BD＝ AB＝1.5 （cm） ，
∴OD＝ADtan 30 ° ＝ （cm）
答： △ABC 的内切圆的半径为 cm
新知讲解
例2 已知： 如图 ， ⊙O 是△ABC 的内切圆， 切点分别为 C， E， F, 设△ABC 的周长为 l，求证： AE＋BC＝ l，
分析：由切线长的性质可知AF=AE,BF=BD.CD=CE,推得AE=BC是周长的一半.
新知讲解
证明 ∵ ⊙O 是△ABC的内切圆， E， F 为切点，
∴ AE＝AF（切线长定理） .
同理， BD＝BF， CD＝CE,
∴ AE＋BC＝AE＋BD＋CD
＝ （AE＋AF＋BD＋BF＋CD＋CE）
＝ l
新知讲解
例3 已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E.求证：EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
分析：内切圆的圆心也叫三角形的内心，即三角形内角平分线的交点，由角平分线的性质，可得结果.
新知讲解
证明： 连结BI
∵I是△ABC的内心
∴∠3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE
∴ EB=EI
又 ∵EB=EC
∴EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
新知讲解
注意
1. 任何一个三角形可作一个内切圆，内心都在三角形的内部； 在以后解有关正多边形的问题时，常常要用到这些性质．
2.三角形的内切圆中，切点与圆心的连线既是圆的半径，又垂直于边，同时三角形的边长可利用切线长定理，还可利用面积公式在三角形的三边与内切圆半径之间建直角三角形.
新知讲解
圆内接平行四边形是
圆外接平行四边形是
拓展延伸
矩形
菱形
巩固提升
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A）70° （B）110°
（C）120° （D）130°
B
分析：先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO=∠BEO=90°，从而得出∠DOE.
巩固提升
2.如图， ⊙O是△ABC的内切圆，则点O 是 的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三角形平分线的交点
C. 三条中线的交点
D．三条高的交点
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B.
B
巩固提升
3.如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是内心，则∠BIC的大小为（ ）
A．114° B．122° C．123° D．132°
D
分析：根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据内心的概念得到2∠IBC=∠ABC，2∠ICB=∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
拓展提升
【分析】首先证明四边形CFOE是正方形，设⊙O的半径为r，根据平行证明△OED∽△ACD，列比例式代入即可求解
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
拓展提升
解：∵⊙O是Rt△ABC的内切囫，
∴OE 丄 BC，OF 丄 AC，
∴∠OFC=∠OEC=90°
∵∠ACB=90°,
∴四边形CFOE是矩形，
∵OE=OF,
∴矩形CFOE是正方形，
∴OF=EC，
拓展提升
设⊙O的半径为 r，则 DE=CD-CE=2-r，OE=r，
∵OE//AC,
∴△OED∽△ACD,
∴r=1.5,
故选B
课堂小结
1.内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形．
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
2.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
3三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
谢谢
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