第一章 二次根式单元检测基础卷

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第一章 二次根式单元检测基础卷
　 班级__________姓名____________总分___________
一．选择题（共10小题）
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
2．若代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
3．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )=2a﹣1，那么a的取值范围（　　）
A．a＞ ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．a＜ ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．a≥ ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．a≤ ( http: / / www.21cnjy.com / )
4．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
5．下列运算正确的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．（a2）3=a5 C．5a4﹣4a3=a D．3a2+4a2=7a2
6．下列根式中，与 ( http: / / www.21cnjy.com / )为同类二次根式的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
7．下列计算错误的是（　　）
A．3 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．﹣2+|﹣2|=0 C．x2 x3=x6 D．（﹣3）2=9
8．下列四个选项中，正确的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．2﹣3=﹣6 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52
9．已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )=（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
10．如图，长方形ABCD恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD的周长是（　　）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．9 C．19 D．21　
二．填空题（共6小题）
11．二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com / )中字母a的取值范围是　 　．
12．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )=2﹣x，则x的取值范围是　 　．
13．计算： ( http: / / www.21cnjy.com / )=　 　．
14．计算 ( http: / / www.21cnjy.com / )的结果是　 　．
15．计算： ( http: / / www.21cnjy.com / )=　 　．
16．已知x=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，代数式（7+4 ( http: / / www.21cnjy.com / )）x2+（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）x+ ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是　 　．　
三．解答题（共8小题）
17．已知实数a满足 ( http: / / www.21cnjy.com / )，求a﹣20102的值．
18．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
19．计算或化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )÷（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）× ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
20．如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1 ( http: / / www.21cnjy.com / )）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
21．（1）计算：（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com / )）﹣（3 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )）
（2）化简：（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )+2 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
22．先化简，再求值 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，其中x= ( http: / / www.21cnjy.com / )，y=27．
23．已知x=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，y=2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )，求下列代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
24．阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2≥0，∴a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )+b≥0，∴a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．【来源：21cnj*y.co*m】
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9， ( http: / / www.21cnjy.com / )≤　 　；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值，最小值是多少？
　
答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．
解：（A）当x﹣1＜0时，此时原式无意义，故A不一定是二次根式；
（B）当x＜0时，此时原式无意义，故B不一定是二次根式；
（D）当x2﹣2＜0时，此时原式无意义，故D不一定是二次根式；
故选（C）
　
2．若代数式 ( http: / / www.21cnjy.com / )有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围；
解：由题意可知： ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴解得：x≥2
故选（B）
　
3．如果 ( http: / / www.21cnjy.com / )=2a﹣1，那么a的取值范围（　　）
A．a＞ ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．a＜ ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．a≥ ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．a≤ ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据二次根式的性质得到2a﹣1≥0，解不等式即可．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )=2a﹣1，
∴2a﹣1≥0，
解得，a≥ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选：C．
4．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】根据最简二次根式的概念进行判断即可．
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )是最简二次根式，A正确；
( http: / / www.21cnjy.com / )被开方数含分母，不是最简二次根式，B错误；
( http: / / www.21cnjy.com / )=c ( http: / / www.21cnjy.com / )不是最简二次根式，C错误；
( http: / / www.21cnjy.com / )=2d ( http: / / www.21cnjy.com / )不是最简二次根式，D错误，
故选：A．
　
5．下列运算正确的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．（a2）3=a5 C．5a4﹣4a3=a D．3a2+4a2=7a2
【分析】根据二次根式的乘法法则、合并同类项的法则及幂的乘方法则，分别进行各选项的运算，即可判断出答案．21·cn·jy·com
解：A、 ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )=10，原式计算错误，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，原式计算错误，故本选项错误；
C、5a4与4a3不是同类项，不能直接合并，故本选项错误；
D、3a2+4a2=7a2，计算正确，故本选项正确．
故选D．
　
6．下列根式中，与 ( http: / / www.21cnjy.com / )为同类二次根式的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】把 ( http: / / www.21cnjy.com / )化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式解答．
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
所以，与 ( http: / / www.21cnjy.com / )为同类二次根式的是 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选A．
7．下列计算错误的是（　　）
A．3 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．﹣2+|﹣2|=0 C．x2 x3=x6 D．（﹣3）2=9
【分析】根据二次根式的运算法则，整式的运算法则，实数的运算法则即可求出答案
解：（A）原式=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，故A正确；
（B）原式=﹣2+2=0，故B正确；
（C）原式=x5，故C错误；
（D）原式=（﹣3）2=9，故D正确；
　
8．下列四个选项中，正确的是（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．2﹣3=﹣6 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．（﹣5）4÷（﹣5）2=﹣52
【分析】A、根据完全平方公式计算即可；
B、根据负指数幂的运算计算即可；
C、根据平方差公式进行计算即可；
D、根据同底数幂的除法进行计算即可．
解：A、 ( http: / / www.21cnjy.com / )=4，故A错误；
B、2﹣3= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，故B错误；
C、（2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）=22﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2=﹣1，故C正确；
D、（﹣5）4÷（﹣5）2=52=25，故D错误；
故选C．
　
9．已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )=（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】由平方关系：（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2=（a+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2﹣4，先代值，再开平方．
解：∵（ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2=（a+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2﹣4
=7﹣4=3，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )=± ( http: / / www.21cnjy.com / )．故选C．
10．如图，长方形ABCD恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD的周长是（　　）www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．7 B．9 C．19 D．21
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，根据小长方形的面积及图形列出关系式，求出a与b的值，即可确定出长方形ABCD的周长．21·世纪*教育网
解：设小长方形的长为a，宽为b，则有ab=3，3a=4b，
解得：a=2，b= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
长方形ABCD的周长为2（a+b+4b）=2（a+5b）=19，
故选C
　
二．填空题（共6小题）
11．二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com / )中字母a的取值范围是　a≥2　．
【分析】由二次根式中的被开方数是非负数，可得出a﹣2≥0，解之即可得出结论．
解：根据题意得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
　
12．若 ( http: / / www.21cnjy.com / )=2﹣x，则x的取值范围是　x≤2　．
【分析】根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．
解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )=2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2
则x的取值范围是x≤2
故答案为：x≤2．
　
13．计算： ( http: / / www.21cnjy.com / )=　30 ( http: / / www.21cnjy.com / )　．
【分析】系数和被开方数分别相乘，最后化成最简二次根式即可．
解：3 ( http: / / www.21cnjy.com / )×2 ( http: / / www.21cnjy.com / )=6 ( http: / / www.21cnjy.com / )=30 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故答案为：30 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
　
14．计算 ( http: / / www.21cnjy.com / )的结果是　 ( http: / / www.21cnjy.com / )　．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
解：原式=3 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
　
15．计算： ( http: / / www.21cnjy.com / )=　﹣5　．
【分析】先把括号里的二次根式化简，合并，再做二次根式的除法运算．
解：原式=（4 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣9 ( http: / / www.21cnjy.com / )） ( http: / / www.21cnjy.com / )=﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )=﹣5．
　
16．已知x=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，代数式（7+4 ( http: / / www.21cnjy.com / )）x2+（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）x+ ( http: / / www.21cnjy.com / )的值是　2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )　．
【分析】首先不所求的式子化成（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2x2+（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）x+ ( http: / / www.21cnjy.com / )的形式，然后把x的值代入求解．
解：原式=（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2x2+（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）x+ ( http: / / www.21cnjy.com / )
=【（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）x】2+（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）（2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）+ ( http: / / www.21cnjy.com / )
=【（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）（2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）】2+（2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）（2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）+ ( http: / / www.21cnjy.com / )
=1+1+ ( http: / / www.21cnjy.com / )
=2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
　
三．解答题（共8小题）
17．已知实数a满足 ( http: / / www.21cnjy.com / )，求a﹣20102的值．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解．
解：根据题意得，a﹣2011≥0，
解得a≥2011，
去掉绝对值号得，a﹣2010+ ( http: / / www.21cnjy.com / )=a，
所以， ( http: / / www.21cnjy.com / )=2010，
两边平方得，a﹣2011=20102，
所以，a﹣20102=2011．
　
18．已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】根据三角形的三边关系定理得出a+ ( http: / / www.21cnjy.com )b＞c，b+c＞a，b+a＞c，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号后合并即可．21世纪教育网版权所有
解：∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，b+a＞c，
∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|
=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c
=3a+b﹣c．
　
19．计算或化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )÷（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）× ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可取出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
解：（1）原式= ( http: / / www.21cnjy.com / )×3 ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )
=﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）原式=（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）× ( http: / / www.21cnjy.com / )
= ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )
= ( http: / / www.21cnjy.com / )
　
20．如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1 ( http: / / www.21cnjy.com / )）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
【分析】已知大正方形的面积和小正方形的面积，可用二次根式表示两个正方形的边长，从而可求这个长方体的底边长和高．21cnjy.com
解：设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm，
则：x2=48，y2=3
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴这个长方体的底面边长为： ( http: / / www.21cnjy.com / )
高为： ( http: / / www.21cnjy.com / )≈1.7
答：这个长方体的底面边长约为3.5cm，高约为1.7cm．
　
21．（1）计算：（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com / )）﹣（3 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )）
（2）化简：（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )+2 ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【分析】（1）先进行二次根式的化简，然后合并；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后合并．
解：（1）原式=4 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )+ ( http: / / www.21cnjy.com / )
=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )；
（2）原式=a2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )+2+a．
　
22．先化简，再求值 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，其中x= ( http: / / www.21cnjy.com / )，y=27．
【分析】首先对二次根式进行化简，然后去括号、合并二次根式即可化简，然后把x，y的值代入求解．
解：原式=（6 ( http: / / www.21cnjy.com / )+3 ( http: / / www.21cnjy.com / )）﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com / )+6 ( http: / / www.21cnjy.com / )）
=9 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣6 ( http: / / www.21cnjy.com / )
=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
当x= ( http: / / www.21cnjy.com / )，y=27时，
原式=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )
= ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )
= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
　
23．已知x=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，y=2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )，求下列代数式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x2+2xy+y2=（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算；2·1·c·n·j·y
（2）根据已知条件先计算出x+y=4，x﹣y=﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，再利用平方差公式得到x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），然后利用整体代入的方法计算．2-1-c-n-j-y
解：（1）∵x=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，y=2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴x+y=4，
∴x2+2xy+y2=（x+y）2=42=16；
（2））∵x=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，y=2+ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴x+y=4，x﹣y=﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）
=4×（﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )）
=﹣8 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
　
24．阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（ ( http: / / www.21cnjy.com / )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）2≥0，∴a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com / )+b≥0，∴a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，只有当a=b时，等号成立；结论：在a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a、b均为正实数）中，只有当a=b时，a+b有最小值2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．21*cnjy*com
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b=9， ( http: / / www.21cnjy.com / )≤　 ( http: / / www.21cnjy.com / )　；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a、b均为正实数），进而得出即可．
解：（1）∵a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )（a、b均为正实数），
∴a+b=9，则a+b≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，即 ( http: / / www.21cnjy.com / )≤ ( http: / / www.21cnjy.com / )；
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com / )；
（2）由（1）得：m+ ( http: / / www.21cnjy.com / )≥2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
即m+ ( http: / / www.21cnjy.com / )≥2，当m= ( http: / / www.21cnjy.com / )时，m=1（负数舍去），
故m+ ( http: / / www.21cnjy.com / )有最小值，最小值是2．
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