八下数学 浙教版第1章 二次根式练习

第1章 二次根式
1.1 二次根式
重点提示： 表示算术平方根的代数式称为二次根式，可用符号表示为“”，其中被开方数a可以是单独的数，也可以是单项式、多项式、分式等.由于负数没有算术平方根，所以被开方数a要满足a≥0.21世纪教育网版权所有
【夯实基础巩固】
要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　B　）
A．x B．x C．x D．x
2．要使代数式有意义，则m的取值范围是（ D ）
A. m>－1 B. m≥－1 C.m>－1且m≠1 D. m≥－1且m≠1
3．若是一个实数，则满足这个条件的a的值有（　B　）
　
A．
0个
B．
1个
C．
3个
D．
无数个
4．下列式子中，x可以取2和3的是（　C　）
A． B． C． D．
5 . 已知(x－y＋3)2＋＝0，则x＋y的值为 (　C　)
A．0 B．－1 C．1 D．5
6．当x=﹣4时，代数式的值为 ．
7 .若代数式有意义，则点P（m﹣1，﹣n）在第 三 象限．
8．若代数式+有意义，则x的立方根为 ．
9．求下列二次根式中x的取值范围．
(1)；(2)； (3)；(4).
(1)x≥ (2)x≤ (3)x为任意实数 (4)x＞－3
10．是否存在整数x，使它同时满足下列两个条件：①与都有意义；②的值是整数？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．21教育网
存在．由，解得14≤x≤17.
∵的值是整数，∴x=16．
【能力提升培优】
11．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.其中是二次根式的有 (　D　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
12．若是正整数，则最小的整数n是（　B　）
　
A．
6
B．
3
C．
48
D．
2
13．已知m，，均为整数，则+=（　A　）
　
A．
7
B．
11
C．
9
D．
15
14. 已知x是实数且满足（x﹣3）=0，则代数式x2+2x﹣1的值为 7 ．
15．无论x取任意实数，代数式都有意义，则m的取值范围为 m≥36 ．
16．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：a*b=(a＋b＞0)．
如3*2＝＝，求6*(5*4)的值．
由题意得5*4＝＝3，
6*3＝＝＝1，∴6*(5*4)＝1.
17．在自习课上，小明看见同桌小李在练习本上写的题目是求二次根式中a的取值范围，他告诉小李：“你把题目抄错了，不是，而是．”小李说：“反正a和a﹣3都在根号内，不影响结果．”小李说的对吗？也就是说，按照解题和按照解题结果一样吗？请说明理由．21cnjy.com
不一样.
，a≥0且a﹣3＞0，解得a＞3.
，≥0，
可化为或，解得a＞3或a≤0，
综上所述，解题的结果不一样．
18．（1）已知a，b满足，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1．
（2）已知x，y都是实数，且，求yx的平方根．
（1）由题意得，解得.
∴（a+2）x+b2=a﹣1即﹣2x+3=﹣5，解得x=4.
（2）由题意得，解得x=3．∴y=4，yx=43=64.∴yx的平方根为±8．
【中考实战演练】
19．【随州】若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（　D　）
　
A．
x≠1
B．
x≥0
C．
x≠0
D．
x≥0且x≠1
20．【攀枝花】若y=+2，则xy=　9　．
【开放应用探究】
21．若m满足关系式+=，请确定m的值．
由题意得则x+y=2015，
∴+=0.
∴，解得.
∴m=5037．
1.2 二次根式的性质（1）
重点提示： 二次根式的性质：； .注意两个性质的运算顺序及a的取值范围的区别，计算或化简时要准确应用性质.
【夯实基础巩固】
1．若a为实数，则化简的结果是（　D　）
　
A．
﹣a
B．
a
C．
±a
D．
|a|
2．下列四个等式：①；②（﹣）2=16；③（）2=4；④．正确的是（　D　）
　
A．
①②
B．
③④
C．
②④
D．
①③
3．计算＋的值为 (　B　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．计算+|－11|－，正确的结果是（ B ）
A．－11 B．11 C．22 D．－22
5．如果，那么x取值范围是（　A　）
　
A．
x≤2
B．
x＜2
C．
x≥2
D．
x＞2
6．填空：(1)＝____；(2)(－)2＝__5__；
(3)＝__6__；(4)＝____．
7．已知1≤x≤3，化简：=　2　．
8．若x＜0，则的结果是　﹣1　．
9．计算：
(1)－(－)2； (2)(－)2－＋；
(3)＋. (4)
(1) 2 (2) 1 (3) 3 (4)
10．已知m是的小数部分，求的值．
∵m是的小数部分，∴m=﹣1<1．
∴=|m－1|=1－m=1－（－1）=2－.
【能力提升培优】
11．若|1﹣x|=1+|x|，则等于（　B　）
　
A．
x﹣1
B．
1﹣x
C．
1
D．
﹣1
12．某校研究性学习小组在学习了二次根式的性质=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（　C　）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+的结果为2a﹣1
B．当a+的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
C．a+的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为
D．若=，则字母a必须满足a≥1
13．若a，b都是实数，且b，则化简×+1的结果是（　D　）
　
A．
2
B．
﹣2
C．
1
D．
3
14．三角形的三边长分别为3，m，5，化简﹣=　2m﹣10　．
15．已知+=x，则x的值是　7　．
16．已知x=，求+的值．
原式=+
=|x﹣4|+|3﹣x|=4﹣+﹣3=1．

17．(1)已知＋|3b－2a|＋(a＋b＋c)2＝0，求a，b，c的值．
(2) 已知实数a，b，c在数轴上的位置表如图所示，化简：﹣|a+c|++|b﹣a|．
(1)由题意得解得
(2)由图可知：c<-1原式=﹣b﹣（﹣a﹣c）+b﹣c+（a﹣b）=﹣b+a+c+b﹣c+a﹣b=2a﹣b．
18．已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：+－.
由题意得a+b>c,b+c>a,a+c>b,
∴原式=b+c-a+a+b-c-(a+c-b)=3b-a-c.
【中考实战演练】
19．【荆门】当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（　B　）
　
A．
﹣1
B．
1
C．
2a﹣3
D．
3﹣2a
20．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为　﹣2a　．
【开放应用探究】
21．阅读材料，解答问题．
例：若代数式的值是常数2，求a的取值范围．
分析：原式=|a﹣2|+|a﹣4|，而|a|表示数a在数轴上的对应点到原点的距离，|a﹣2|表示数a在数轴上的对应点到数2的对应点的距离，所以我们可以借助数轴进行分析．
解：原式=|a﹣2|+|a﹣4|.
在数轴上看，讨论数a表示的点在数2表示的点左边，在数2表示的点和数4表示的点之间还是在数4表示的点右边，分析可得a的取值范围应是2≤a≤4．
（1）此例题的解答过程了用了哪些数学思想？请列举．
（2）化简．
（1）数形结合思想，分类讨论思想．
（2）原式=|3﹣a|+|a﹣7|，
①当a＜3时，原式=3﹣a+7﹣a=10﹣2a；
②当3≤a≤7时，原式=a-3+7-a=4；
③当a＞7时，原式=a﹣3+a﹣7=2a﹣10．
1.2 二次根式的性质（2）
重点提示： （1）二次根式的性质； .（2）根号内不含分母，不含可以开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式.二次根式的化简的结果应为最简二次根式.
【夯实基础巩固】
1．化简，正确的结果是（　B　）
　
A．
±72
B．
72
　
C．
432
D．
以上答案都不是
2．下列运算和化简，不正确的是（　D　）
　
A．
=0.5
B．
C．
D．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　D　）
　
A．
B．
C．
D．
4．化简，正确的结果是（　C　）
　
A．
3
B．
±3
C．
6
D．
±3
5．下列五个等式：①；②；③；④a0=1；⑤．其中一定成立的有（　B　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
6．化简：=　　；=　　．
7．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=　2　．
8．化简的结果是　　．
9．化简：
（1） （2）
（3） （4）
（1）156 （2）-5 （3） （4）3|m|
10．观察下列等式：
①=1×3；②=3×5；③=5×7；…
根据上述等式的规律解决下列问题：
（1）完成第④个等式：=　7　×　9　.
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的代数式表示），并证明其正确性．
（1）7 9
（2）第n个等式：=（2n﹣1）（2n+1）.
证明：．
【能力提升培优】
11．下列各式中计算正确的是（　D　）
　
A．
==（﹣1）×（﹣3）=3
　
B．
=﹣2
　
C．
=3+4=7
　
D．
=×=7×1=7
12．已知＝，则a的取值范围是 (　C　)
A．a≤0 B．a＜0 C．0＜a≤1 D．a＞0
13．已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　A　）
　
A．
B．
C．
D．
14．填空
（1）=　2　；（2）=　4　；
（3）3=　　；（4）=　9　．
15．观察下列各式：=3，=4，=5，…，用字母n（n≥2且n为整数）表示上面的规律应该是　=（n+1）　．
16．已知0＜a＜1，化简=　　．
17．阅读下面的解题过程，判断其是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程．
已知m为实数，化简：－－m.
解：原式＝－m－m·
＝(－m－1).
不正确，正确的解答过程如下：
根据题意，有意义，则m<0，
∴原式＝m＋＝m＋＝(m＋1).
18．观察下列各式及其验证过程：
=，验证： ===；
=，验证：===；
=，验证：===；
…
（1）根据上述三个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．
（1）=．
验证：===.
（2）=（n为自然数且n≥1）．
【中考实战演练】
19．【重庆】化简的结果是（　B　）
　
A．
4
B．
2
C．
3
D．
2
20．【南京】计算的结果是　5　．
【开放应用探究】
21．同学们，我们以前学过的完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！我们知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，比如：2=，3=，7=，02=0，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根.
解：=+1=+12=，
∴的算术平方根是.
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）.
（2）.
（3）+．
（1）原式==+1.
（2）原式====+4.
（3）原式=++++
=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣
=﹣1．
1.3 二次根式的运算（1）
重点提示：二次根式的乘除运算是先乘除再化简，即将被开方数的积（或商）作为积（或商）的被开方数，再将结果化简为最简二次根式.
【夯实基础巩固】
1．计算×的结果是（　B　）
　
A．
B．
4
C．
D．
2
2．化简正确的是（　D　）
A． B． C．4 D．
3．下列各式计算正确的是（　D　）
　
A．
+=
B．
4﹣3=1
C．
2×3=6
D．
÷=3
4．能使等式成立的x的取值范围是（　C　）
　
A．
x≠2
B．
x≥0
C．
x＞2
D．
x≥2
5．在算式（﹣）□（﹣）的□中填运算符号，能使结果最大的是（　D　）
　
A．
加号
B．
减号
C．
乘号
D．
除号
6．计算：=　5　；=　　.
7．计算：=　　．
8．成立的条件是 　x≥1　．
9．计算：
（1） （2）
（3）﹣× （4）×2×（﹣）
（5） （6）×﹙﹣﹚÷（）
（1）30 （2）1 （3）﹣24 （4）﹣4 （5）﹣ （6）﹣9x2y
10．已知等腰三角形的腰长为cm，底边为2cm，求它的面积．
根据勾股定理求高：=（cm）.
∴S=××=6cm2
【能力提升培优】
11．已知m=（﹣）×（﹣2），则有（　C　）
　
A．
5.0＜m＜5.1
B．
5.1＜m＜5.2
C．
5.2＜m＜5.3
D．
5.3＜m＜5.4
12．已知a=，b=，用含a，b的代数式表示，这个代数式是（　D　）
　
A．
2a
B．
ab2
C．
ab
D．
a2b
13．在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之积为（　C　）
2
1
3
2
6
　
A．
B．
C．
6
D．
14．计算：×=　　．
15．一个直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的面积是　3cm 2　．
16．已知a=1－，b=1+，则a2+ab+b2的值为 5 .
17．已知m=，求的值．
∵m=（﹣）×（﹣2）=2，∴==2．
18．已知=a，=b，用含a，b的代数式表示．
∵ab=2，=0.04，
∴==50.
∴=．
【中考实战演练】
19．计算：×÷=　4　．
20．【济宁】如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式：①=，②×=1，③÷=﹣b.其中正确的是（　B　）
　
A．
①②
B．
②③
C．
①③
D．
①②③
【开放应用探究】
21．阅读材料，解答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：
==；
=；
==.
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
=；
（1）请用不同的方法化简．
（2）化简：．
（1）方法1：原式=；
方法2：原式 =.
（2）原式=
+…+
=++…+
=．
1.3 二次根式的运算（2）
重点提示：二次根式的加减运算是先化简再合并，即将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先乘除、再化为最简二次根式、最后算加减，能运算乘法公式等简便计算的尽量简便计算.
【夯实基础巩固】
1．下列计算正确的是（　B　）
　
A．
B．
　
C．
D．

2．已知最简二次根式与可以合并，则a的值是（　C　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
3．下列各式中，与（2﹣）的积为有理数的是（　D　）
　
A．
2
B．
2﹣
C．
﹣2+
D．
2+
4．计算+2﹣，正确的结果是（　A　）
　
A．
B．
1
C．
5
D．
6﹣
5．化简：（﹣4）﹣（3﹣2）=　3　．
6．计算：=　2﹣9　．
7．计算：（﹣）÷+2=　　．（结果保留根号）
8．若a是的小数部分，则a（a+6）=　2　．
9．计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）（7﹣3）×
（7）（+4） （8）
（9） （10）
（1） （2） （3）2 （4） （5）﹣6
（6）63﹣9+12 （7）5+6 （8）﹣1﹣ （9）1 （10）6﹣7
【能力提升培优】
10．已知x=2+，y=﹣2，则x与y的关系是（　D　）
　
A．
x=y
B．
x=﹣y
C．
xy=1
D．
xy=﹣1
11．已知a﹣b=2+，b﹣c=2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　D　）
　
A．
10
B．
12
C．
10
D．
15
12．已知m，n是两个连续自然数（m＜n），且q=mn，设p=，则p（　A　）
　
A．
总是奇数
　
B．
总是偶数
　
C．
有时是奇数，有时是偶数
　
D．
有时是有理数，有时是无理数
13．若对实数a，b，c，d规定运算=ad﹣bc，则=　5　．
14．计算：=　　．
15．若a，b，c是实数，且a=2b+，ab+c2+=0，则的值是　0　．
16．计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5）．
（1）2 （2）5 （3） （4） （5）﹣
17．（1）求当a=－1时，代数式（a+1）2－（a－）（a+1）的值．
（2）已知x=+1，y=－1，求代数式的值．
（3）当时，.
（1）原式=23+.
（2）原式====1.
（3）x===2﹣，
∴原式===﹣=﹣=﹣．
【中考实战演练】
18．【盘锦】计算的值是　4﹣1　．
19．【钦州】对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n=，则（3※2）×（8※12）的计算结果为（　B　）
　
A．
2﹣4
B．
2
C．
2
D．
20
【开放应用探究】
20．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．
这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b=，用含m，n的代数式分别表示a，b，则a=　 　，b=　 　.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：　 　+　 　=（　 　+　 　）2.
（3）若a+4=，且a，m，n均为正整数，求a的值.
（1）m2+3n2 2mn
（2）4 2 1 1
（3）由题意得a=m2+3n2，4=2mn.
∵4=2mn，且m，n为正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2.
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13．
1.3 二次根式的运算（3）
重点提示： 运用二次根式解决实际问题主要表现在两个方面：一是用二次根式或含有二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量并化简.
【夯实基础巩固】
1．一块正方形的瓷砖，面积为50cm2，它的边长大约在（　D　）
　
A．
4cm～5cm之间
B．
5cm～6cm之间
C．
6cm～7cm之间
D．
7cm～8cm之间
2．矩形相邻的两边长分别为，，则它的周长和面积分别是（　D　）
　
A．
，4
B．
2，4
C．
4，3
D．
6，4
3．如图所示，已知阴影部分是一个正方形，AB=4，∠B=45°，则此正方形的面积（　B　）
　
A．
16
B．
8
C．
4
D．
2
4．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是(　A　)
A．(3＋7)m　　　　　B．(5＋7)m C．(7＋3)m D．(3＋5)m
5．已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　B　）
　
A．
2
B．
4
C．
5
D．
7
6．直角三角形的两条直角边分别为cm，cm，则这个直角三角形的斜边长为　2　cm．
7．已知a=，b=，则a2b﹣ab2=　2　．
8．如果+=0，那么=　1+　．
9．已知x=（+），y=（﹣），求下列各式的值．
（1）x2﹣xy+y2.
（2）+．
∵x=（+），y=（﹣），∴x+y=，xy=.
（1）原式=（x+y）2﹣3xy=7﹣=.
（2）原式===12．
10．如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°.则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号)
作 CD⊥AB于点D.在Rt△ACD 中，∵∠A＝ 30°，
∴CD＝AC＝5km.∴AD＝=5km.
∵∠B＝ 45°，∴BD＝CD＝ 5km，BC＝=5km.
∴ AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5)＝(5＋5－5)km．
∴汽车从A地到B 地比原来少走(5＋5－5)km．
【能力提升培优】
11．已知，，则=（　B　）
　
A．
9
B．
C．
3
D．
5
12．已知等腰三角形的两边长为2和5，则此等腰三角形的周长为（　B　）
　
A．
4+5
B．
2+10
　
C．
4+10
D．
4+5或2+10
13．若+=(0＜x＜1)，则﹣=（　A　）
　
A．
﹣
B．
﹣2
C．
±2
D．
±
14．若a1=1﹣，a2=1﹣，a3=1﹣，…，则a2015的值为　-1﹣　．
15．已知直角三角形斜边长为（）cm，一直角边长为（）cm，则这个直角三角形的面积是　（+3）cm2　．
16．已知a，b是正整数，若有序数对（a，b）使得的值也是整数，则称数对（a，b）是的一个“理想数对”，如：（1，4）使得=3，所以（1，4）是的一个“理想数对”．请写出其他所有的“理想数对”：　（1，1），（4，1），（4，4），（9，36），（16，16），（36，9）　．
17．因为，即2，所以的整数部分为2，小数部分为（）．
（1）如果的整数部分为a，那么a=　 　．如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b=　 　，c=　 　．
（2）将（1）中的a，b作为直角三角形的两条边长，请你计算第三边的长度．
（1）5 4 ﹣1
（2）若a=5为直角边，则第三边长为==；
若a=5为斜边，则第三条边长为==3．
18．阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用[﹣]（n≥1）表示．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
第1个数，当n=1时，
[﹣]=（﹣）=×=1．
第2个数，当n=2时，
[﹣]=[（）2﹣（）2]
=×（+）（﹣）=×1×=1．
【中考实战演练】
19．【孝感】已知x=2﹣，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（　C　）
　
A．
0
B．
C．
2+
D．
2﹣
20．如图所示，矩形内两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为　　．
【开放应用探究】
21．小明在解方程﹣=2时采用了下面的方法：
（﹣）（+）=（）2﹣（）2=（24﹣x）﹣（8﹣x）=16.
∵﹣=2，∴+=8.将这两式相加可得，解得x=﹣1，经检验x=﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1）.
（2）+=4x．
（1）（）（﹣）
=﹣=（x2+42）﹣（x2+10）=32.
∵，∴﹣=2.∴，解得x=±.
经检验x=±都是原方程的解.
∴方程的解是x=±.
（2）（+）（﹣）
==（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）=8x.
∵+=4x，∴﹣=8x÷4x=2.
∴.∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1.
∴2x=6，解得x=3.经检验，x=3是原方程的解.
∴方程+=4x的解是x=3．
专题复习 二次根式的双重非负性
重点提示： 对于二次根式，其双重非负性表现为被开方数a为非负数，且二次根式本身也是非负数，利用此性质及非负数的性质可以解决问题.
【夯实基础巩固】
1．要使代数式有意义，a的取值范围是（　D　）
　
A．
a≠0
B．
a＞﹣2且a≠0
C．
a＞﹣2或a≠0
D．
a≥﹣2且a≠0
2．函数y=的自变量x的取值范围在数轴上表示为（　C　）
　
A．
B．
C．
D．
3．当x＞1时，﹣1化简的结果是（　B　）
　
A．
2﹣x
B．
x﹣2
C．
x
D．
﹣x
4．若整数m满足条件 =m+1且m＜，则m的值是（　C　）
　
A．
0或1
B．
﹣1，0或1
C．
0或﹣1
D．
﹣1
5．已知，则2xy的值为（　A　）
A．﹣15 B．15 C． D．
6．当﹣3＜a＜5时，化简：=　8　．
7．实数m在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为　7　．
8．化简=　2　．
9．已知a，b为实数，且，求的值．
由题意得a﹣5=0，∴a=5.∴.
∴b=﹣4．∴．
10．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：﹣|c﹣b|﹣|a+c|．
由题意得a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，∴a+b＜0，c﹣b＞0，a+c＜0.
∴原式=|a+b|﹣|c﹣b|﹣|a+c|=（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）﹣（﹣a﹣c）=﹣a﹣b﹣c+b+a+c=0．
【能力提升培优】
11．已知a＜0，则化简的结果是（　D　）
　
A．
a
B．
﹣a
C．
3a
D．
﹣3a
12．若代数式+的值为2，则a的取值范围是（　C　）
　
A．
a≥4
B．
a≤2
C．
2≤a≤4
D．
a=2或a=4
13．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（　D　）
A． B． C．﹣ D．﹣
14．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则=　2b-2a　．
15．若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=　74　．
16．已知a＜0，化简：=　﹣2　．
17．计算：．
由算式可知：1﹣a＞0，3﹣a≥0，∴a＜1，|a﹣2|=2﹣a.
∴原式=?+
=?+=﹣+=0．
18．设等式+=﹣在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，求的值．
∵+=﹣在实数范围内成立，
∴x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0.
又∵a（y﹣a）≥0，a（x﹣a）≥0，∴a=0.
∴原等式可变为﹣=0，解得x=﹣y.
∴==．
【中考实战演练】
19．计算的值是　　．
20．已知实数x，y满足x+y=﹣2a，xy=a（a≥1），则的值为（　D　）
　
A．
a
B．
2a
C．
a
D．
2
【开放应用探究】
21．已知，求的值.
设m=，n=，
则m﹣n=2，m2+n2=+=34．
∴2mn=m2+n2-(m-n)2=30.∴m+n====8.
∴8．
第1章综合测评卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．计算的值为（　D　）
　
A．
169
B．
﹣13
C．
±13
D．
13
2．使有意义的x的取值范围是（　C　）
A．x＞ B．x＜ C．x≥﹣ D．x≤﹣
3．下列二次根式是最简二次根式的是（　A　）
　
A．
B．
C．
D．
4．下列变形正确的是（　C　）
A．=×=2×=
B．=﹣=41﹣40=1
C．2×（﹣5）=﹣2×5×=﹣90
D．﹣3==
5．下列化简错误的是（　B　）
A．= B．= C．= D．=
6．=（a﹣2）成立的条件是（　D　）
　
A．
a≤2
B．
a≤4
C．
a≥2
D．
2≤a≤4
7．下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（　C　）．
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
8．若正三角形的边长为2，则这个正三角形的面积是（　D　）
　
A．
B．
2
C．
5
D．
5
9．如图所示，用四张一样大小的长方形纸片拼成的一个正方形ABCD的面积是75，AE=3，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的周长为（　B　）
　
A．
2
B．
4
C．
5
D．
6
10．已知a，b，c为互不相同的有理数，满足=（a+）（c+），则符合条件的a，b，c共有（　A　）
　
A．
0组
B．
1组
C．
2组
D．
4组
二、填空题（每题4分，共24分）
11．计算：=　1　．
12．当a　≥0　时，=．
13．已知是整数，则n的最小值为　﹣　．
14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：|a+b|+=　﹣2a　．
15．某精密仪器的一个零件上有一个长方形的孔，其面积为4cm2，它的长为cm，则这个孔的宽为　　cm．
16．已知+=y﹣4，则x+y=　7　．
三、解答题（共66分）
17．（12分）计算：
（1）+2﹣（﹣） （2）（﹣）2+2×3
（3） （4）+（+1）（﹣1）+×．
（1）3﹣ （2）5 (3) （4）2+7
18．（8分）已知m是的小数部分．
（1）求m2+2m+1的值.
（2）求的值．
∵m是的小数部分，∴m=﹣1.
（1）原式=（m+1）2=2.
（2）原式===|﹣1﹣﹣1|=2．
19．（6分）已知，且x为偶数，求的值．
由题意得，解得6＜x≤9.
∵x为偶数，∴x=8．
∴原式=（1+x）
=（x+1）= =．
20．（8分）如图所示的小正方形的边长为1，连结小正方形的三个顶点得到△ABC.
（1）△ABC的周长是多少？
（2）AC边上的高是多少？（结果用最简二次根式表示）
（1）由勾股定理得AC=AB=，BC=，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=2+.
（2）∵S△ABC=4﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×1=，
AC=，∴AC边上的高为×2÷=．
21．（10分）如图所示，将一个长、宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积.
（2）当a=20+2，b=20﹣2，x=，求剩余部分的面积．
（1）剩余部分的面积为ab﹣4x2.
（2）把a=20+2，b=20﹣2，x=代入ab﹣4x2得，
（20+2）（20﹣2）﹣4×（）2=400﹣8﹣4×2=384．
22．（10分）规定新运算符号“☆”：a☆b=ab+．如：（﹣2）☆1=（﹣2）×1+﹣.
（1）求☆的值.
（2）求（）☆的值.
（3）若（﹣）☆（﹣）=﹣，求x的值．
（1）原式==9+-=9.
（2）原式=（）×+﹣
=12+6+﹣=18﹣.
（3）∵（﹣）☆（﹣）=﹣，
∴（﹣）×（﹣）+﹣=﹣.
∴=9.∴2x﹣1=729，解得x=365．
23．（12分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
S=…②（其中p=．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S.
（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．
（1）运用公式①：S====.
运用公式②：p=×（5+7+8）=10，
S===.
（2）=[﹣]
=
=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c）
=（2p﹣2b）（2p﹣2a）?2p?（2p﹣2c）
=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴S==．