浙教版八下数学第二章 一元二次方程同步练习(附答案)

第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
重点提示：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程.所有关于x的一元二次方程都能转化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，该形式称为一元二次方程的一般式.21世纪教育网版权所有
【夯实基础巩固】
1．下列方程是一元二次方程的是（　D　）
A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x
2．一元二次方程2x2＝1－3x化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　B　)
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
3．方程（m+2）x|m|+mx﹣8=0是关于x的一元二次方程，则（　B　）
　
A．
m=±2
B．
m=2
C．
m=﹣2
D．
m≠±2
4．下列一元二次方程中，常数项为0的是（　D　）
A．x2+x=1 B．2x2﹣x﹣12=0 C．2（x2﹣1）=3（x﹣1） D． 2（x2+1）=x+2
5．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（　B　）
　
A．
2
B．
﹣2
C．
2或﹣2
D．
0
6．请写出一个有一根为x=2的一元二次方程　x2﹣2x=0(答案不唯一)　．
7．关于x的方程：，求当a=　﹣1　时，方程是一元二次方程;当a=　1　时，方程是一元一次方程．
8．方程3x2=5x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，b2﹣4ac的值为　49　．
9．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
(2)把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x.21教育网
(1)x(x－2)＝100，化为一般形式为x2－2x－100＝0.
(2)x＝(1－x)2，化为一般形式为x2－3x＋1＝0.
10．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值.
（2）若7﹣x≥1+m（x﹣3），求x的取值范围．
（1）把x=2代入x2+3x+m﹣2=0，得4+6+m-2=0，解得m=﹣8.
（2）把m=-8代入不等式得7﹣x≥1﹣8（x﹣3），解得x≥．
【能力提升培优】
11．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+3n=0的一个根，则m+n的值是（　A　）
　
A．
﹣3
B．
﹣1
C．
1
D．
3
12．已知a，b，c满足a+c=b，4a+c=2b，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情况为（　B　）21cnjy.com
　
A．
x1=1，x2=2
　
B．
x1=﹣1，x2=﹣2
　
C．
方程的解与a，b的取值有关
　
D．
方程的解与a，b，c的取值有关
13．若m是方程x2+x﹣1=0的一个根，则m3+2m2+2015的值为（　D　）
　
A．
2013
B．
2014
C．
2015
D．
2016
14．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为1，则a+b+c=　0　；若有一个根为﹣1，则b 与a，c之间的关系为　b=a+c　；若有一个根为零，则c=　0　．
15．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的一个根是x=1，则a+b+2015的值是　2010　．21·cn·jy·com
16．如果a是关于x的一元二次方程x2﹣x+m+6=0的一个根，﹣a是关于x的一元二次方程x2+x﹣m=0的一个根，则m的值是　﹣3　．www.21-cn-jy.com
17．先化简，再求值：，其中a是方程的一个根．
原式=÷﹣a2
=÷﹣a2=×﹣a2=a﹣a2.
∵a是方程的一个根，∴a2﹣a=.
∴原式= a﹣a2=﹣．
18．已知a=﹣+1.
（1）求a，c的值.
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是1，求b的值．
（1）由题意得c﹣2=0，则c=2，∴a=1.
（2）把a=1，c=2代入ax2+bx+c=0得x2+bx+2=0．
把x=1代入得12+b+2=0，解得b=﹣3．
【中考实战演练】
19．已知关于x的方程x2+kx+6=0的一个根为x=﹣2，则实数k的值为（　A　）
　
A．
5
B．
﹣5
C．
4
D．
﹣3
20．已知m是一元二次方程x2﹣9x+1=0的一个根，则=　17　．
【开放应用探究】
21．已知x2+3x+1=0.
（1）求x+的值.
（2）求3x3+7x2﹣3x+6的值．
（1）∵x2+3x+1=0，∴x2+1=﹣3x．
∴x+===﹣3.
（2）∵x2+3x+1=0，∴x2=﹣（3x+1），x2+3x=﹣1.
∴3x3+7x2﹣3x+6=3x（x2﹣1）+7x2+6=3x[﹣（3x+1）﹣1]+7x2+6=﹣9x2﹣6x+7x2+6=﹣2（x2+3x）+6=﹣2×（﹣1）+6=8．
2.2 一元二次方程的解法（1）
重点提示： 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边为零；②将方程的左边因式分解，使方程化为A×B=0；③将方程转化为A=0或B=0两个一元一次方程.
【夯实基础巩固】
1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（　D　）
　
A．
x1=0，x2=﹣2
B．
x1=1，x2=2
C．
x1=1，x2=﹣2
D．
x1=0，x2=2
2．使分式的值等于零的x是（　A　）
　
A．
6
B．
﹣1或6
C．
﹣1
D．
﹣6
3．一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（　C　）
　
A．
﹣1
B．
3
C．
﹣1和3
D．
1和2
4．我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（　A　）
　
A．
转化思想
B．
函数思想
C．
数形结合思想
D．
公理化思想
5．方程（5x﹣2）（x﹣7）=9（x﹣7）的根是　x1=，x2=7　
6．当x=　1或5　时，代数式x（x﹣1）的值与代数式5（x﹣1）的值相等．
7．若|m﹣1|=2，则关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣（m+5）x+4=0的根是　x1=x2=1　．
8．已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣1）=0，则x2+y2=　1或2　．
9．解方程：
（1）x2﹣2x﹣3=0. （2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0
（1）x1=3，x2=﹣1
（2）x1=1，x2=
10．阅读后解答问题．
解方程：2x2﹣3x﹣2=0.
解：2x2﹣3x﹣2=0，
拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2=0，
提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）=0，
再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）=0，
∴x﹣2=0或2x+1=0，解得x1=2，x2=﹣．
运用上述因式分解法解方程：6x2+7x﹣3=0．
6x2+7x﹣3=0，
拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3=0，
提公因式，得3x（2x+3）﹣（2x+3）=0，
再提公因式，得（2x+3）（3x﹣1）=0，
∴2x+3=0或3x﹣1=0，解得x1=﹣，x2=．
【能力提升培优】
11．如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（　 C　）
　
A．
2或﹣1
B．
0或1
C．
2
D．
﹣1
12．对于任意实数a，b，规定f（a，b）=a2+5a﹣b，如：f（2，3）=22+5×2﹣3.若f（x，2）=4，则实数x的值是（　A　）
　
A．
1或﹣6
B．
﹣1或6
C．
﹣5或1
D．
5或﹣1
13．已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，则b的值是（　B　）
　
A．
1
B．
1或﹣6
C．
﹣1
D．
﹣6
14．若点P（a+b，3）与P′（﹣7，3a﹣b）关于原点对称，则关于x的方程x2﹣2ax﹣=0的根是　x1=3，x2=﹣1　．
15．若x+2是x2﹣mx﹣8的一个因式，我们不难得到x2﹣mx﹣8=（x+2）（x﹣4），易知m=2．现在我们用另一种方法来求m的值：观察上面的等式，可以发现当x=﹣2时，x2﹣mx﹣8=（x+2）（x﹣4）=（﹣2+2）（﹣2﹣4）=0，也就是说x=﹣2是方程x2﹣mx﹣8=0的一个根，由此可以得到（﹣2）2﹣m×（﹣2）﹣8=0，解得m=2．若x+1是2x3+x2+mx﹣6的一个因式，用上述方法可求得m=　﹣7　．
16．已知x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，则x+y的值为　﹣7或6　．
17．用因式分解法解方程：
（1）（x﹣3）2=3﹣x （2）（x+3）2=（2x﹣5）2
（3）x2-1=2(x+1) （4）（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）
（1）x1=3，x2=2
（2）x1=8，x2=
（3）x1=-1，x2=3
（4）x1=1，x2=﹣2
18．观察下面方程的解法：x4﹣13x2+36=0.
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0，
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0.
∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0.
∴x1=﹣2，x2=2，x3=﹣3，x4=3.
你能否求出方程x2﹣3|x|+2=0的解？
原方程可化为|x|2﹣3|x|+2=0，
∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）=0.
∴|x|=1或|x|=2.
∴x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2.
【中考实战演练】
19．【广州】已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　B　）
　
A．
10
B．
14
C．
10或14
D．
8或10
20．若a2+2a=0，则（a+1）2014的值为　1　．
【开放应用探究】
21．解关于x的方程：x2－2x＋1－k(x2－1)＝0．
原方程可化为(1-k)x2-2x+(k+1)=0.
当k＝1时，x＝1；当k≠1时，x1＝1，
2.2 一元二次方程的解法（2）
重点提示： （1）开平方法：形如x2=a（a≥0）的方程，可以根据平方根的定义解得x1=,x2=-.（2）开平方法解一元二次方程的关键是将方程化为一个一次式的平方等于常数的形式，对于一般的一元二次方程，可以利用配方法将方程转化为（x+a）2=b的形式.
【夯实基础巩固】
1．方程（x﹣1）2=2的根是（　C　）
　
A．
﹣1或3
B．
1或﹣3
C．
或
D．
或
2．如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（　A　）
　
A．
3
B．
﹣3
C．
0
D．
1
3．关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（　C　）
　
A．
k＜0
B．
k＞0
C．
k≥0
D．
k≤0
4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（　D　）
　
A．
（x﹣6）2=﹣4+36
B．
（x﹣6）2=4+36
C．
（x﹣3）2=﹣4+9
D．
（x﹣3）2=4+9
5．把方程x2﹣6x+3=0化成（x﹣m）2=n的形式，则m，n的值是（　C　）
　
A．
3，12
B．
﹣3，12
C．
3，6
D．
﹣3，6
6．当x=　﹣1　时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
7．方程的根是　x1=，x2=﹣　．
8．已知（x2+y2+1）2=81，则x2+y2=　8　．
9．用开平方法解方程：
（1）（x+1）2﹣4=0 （2）12（2﹣x）2﹣9=0
（3）（2x+3）2﹣25=0 （4）4（1﹣3x）2=1
（1）x1=1，x2=﹣3
（2）x1=2﹣，x2=2+
（3）x1=1，x2=﹣4
（4）x1=，x2=
10．用配方法解方程：
(1)x2－4x＝0 (2)x2－2x＋3＝0
(3)x2－6x＝9 991 (4)(x＋2)2＝6x－3.
(1)x1＝4，x2＝0.
(2)x1＝x2＝.
(3)x1＝103，x2＝－97.
(4)此方程无解．
【能力提升培优】
11．一元二次方程x2+mx+3=0配方后为（x+n）2=22，那么一元二次方程x2﹣mx﹣3=0配方后为（　D　）
　
A．
（x+5）2=28
B．
（x+5）2=19或（x﹣5）2=19
　
C．
（x﹣5）2=19
D．
（x+5）2=28或（x﹣5）2=28
12．关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的根是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的根是（　D　）
　
A．
x1=﹣2，x2=3
B．
x1=﹣7，x2=﹣2
C．
x1=3，x2=﹣2
D．
x1=3，x2=8
13．若方程x2+px+q=0可化为的形式，则pq=　﹣　．
14．一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根是3m+1与m﹣9，则=　49　．
15．若a为方程（x﹣）2=100的一个根，b为方程（y﹣4）2=17的一个根，且a，b都是正数，则a﹣b=　6　．
16．把关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0配方，得（x+m）2=．
（1）求m和p的值.
（2）求出该方程的解．
（1）移项，得x2﹣3x=﹣p，
配方，得（x﹣）2=﹣p+．
∵（x﹣）2=﹣p+与（x+m）2=是同一个方程，∴m=﹣，﹣p+=，解得m=﹣，p=.
（2）（x﹣）2=，开方，得x﹣=，
x1=+，x2=﹣．
17．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，如：=2×5﹣3×4=﹣2．
（1）计算：.
（2）如果=6，求x的值．
（1）原式=×﹣2×=4﹣2=.
（2）由题意得（x+1）2﹣（x﹣1）（1﹣x）=6，
∴（x2+2x+1）+（x2﹣2x+1）=6，即2x2=4.
∴．
【中考实战演练】
18．【钦州】用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（　A　）
　
A．
（x+5）2=16
B．
（x+5）2=1
C．
（x+10）2=91
D．
（x+10）2=109
19．若a为一元二次方程（x﹣）2=4的较大的一个根，b为一元二次方程（y﹣4）2=18的较小的一个根，则a﹣b的值为　5﹣2　．
【开放应用探究】
20．已知实数a满足，求a+的值．
方程变形得（a+）2﹣2（a+）﹣3=0，解得a+=3或a+=-1.
∴a2-3a+1=0或a2+a+1-0,即或.∴a+≠-1.
综上所述，a+=3.
2.2 一元二次方程的解法（3）
重点提示： 配方法解一元二次方程的一般步骤：①方程两边同时除以二次项系数a.；②移项，将常数项移到方程右边，左边剩下二次项和一次项；③方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程的左边配成完全平方式；④将方程转化为（x+a）2=b的形式，再用开平方法求解.
【夯实基础巩固】
1．用配方法解一元二次方程2x2﹣16x+18=0，得（x+m）2=n，则m+n的值为（　B　）
　
A．
11
B．
3
C．
﹣11
D．
﹣3
2．用配方法解方程3x2﹣6x﹣9=1，下列配方正确的是（　C　）
A．（x﹣1）2=5 B．（x﹣3）2= C．（x﹣1）2= D．（x﹣3）2=
3．下列方程解法正确的是 (　D　)
A．4x2＝36，所以x＝3
B．x2＋4x＋3＝0，可化为(x＋1)2＝7
C．3x2－6x＋15＝0，可化为(x－1)2＝16
D．2y2－7y－4＝0，可化为＝
4．已知a是实数，a2+1与2a的大小关系是（　A　）
　
A．
a2+1≥2a
　
B．
a2+1＞2a
　
C．
a2+1与2a的大小关系随a的变化而改变
　
D．
当a＞0时，a2+1≤2a；当a＜0时，a2+1≥2a
5．已知方程x2－6x＋q＝0可以配成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配成 (　B　)
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
6．当x=　﹣　时，代数式4x2+7x+3与3x+2的值相等．
7．若2x2－3x－7＝2(x－m)2＋n，则m＝____，n＝____．
8．完成下列配方过程：
（1）x2+12x+　36　=（x+6）2.
（2）x2﹣12x+　36　=（x﹣　6　）2.
（3）x2﹣　x　+=（x﹣ ）2.
（4）x2﹣2x+　2　=（x﹣　　）2．
9．用配方法解方程：
(1)2x2－7x＋6＝0 (2)4x2－6x－3＝0
(3)2x2＋6x＋1＝0 （4）3x2－4x－2＝0
(1)x1＝2，x2＝
(2)x1＝，x2＝
(3)x1＝，x2＝
（4），.
10．已知x2﹣4x+y2+6y+18=p，求p的最小值．
∵（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴p=（x﹣2）2+（y+3）2+5≥5.
∴当x=2，y=﹣3时，p的最小值为5．
【能力提升培优】
11．若关于x的方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为 (　A　)
A．－9或11　　　　 B．－7或8 C．－8或9 D．－6或7
12．若实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5=0，则的值是（　C　）
　
A．
3
B．
1
C．
+1
D．
﹣1
13．已知M=8x2﹣y2+6x﹣2，N=9x2+4y+13，则M﹣N的值（　B　）
　
A．
为正数
B．
为负数
C．
为非正数
D．
不能确定
14．若一元二次方程x2﹣2x﹣3599=0的两根为a，b，且a＞b，则2a﹣b的值为　181　．
15．已知4x2﹣ax+1可化为（2x﹣b）2的形式，则ab=　4　．
16．已知x2+9+|x﹣y+3|=6x，则=　3　．
17．用配方法解方程：
（1）x（x+4）=8x+12 （2）3x2﹣6x+1=0
（3）（x﹣2）（3x﹣5）=0 （4）6x2﹣x﹣2=0．
（1）x1=6，x2=﹣2
（2），
（3）x1=2，x2=
（4）x1=，x2=﹣
18．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0.
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0.∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0.∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求2x+y的值.
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值.
（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a+b+c=　 　．
（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=（x+y）2+（y+1）2=0，
∴x+y=0且y+1=0，解得x=1，y=﹣1.
∴2x+y=2﹣1=1.
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=（a﹣3）2+（b﹣4）2=0，
∴a﹣3=0且b﹣4=0，解得a=3，b=4.
∵△ABC的三边长a，b，c都是正整数，∴1＜c＜7.
∴△ABC的最大边c的值为5或6.
（3）3
【中考实战演练】
19．【自贡】用配方法解方程，配方后得（　C　）
A． B．
C． D．
20．【淄博】一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数　101，110，202，220等（答案不唯一）　．
【开放应用探究】
21．已知a，b，c为整数，且满足a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c，求的值．
∵a，b，c均为整数，且满足a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c，
∴ a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c﹣1.
∴4a2+4b2+4c2+12≤4ab+12b+8c﹣4.
∴（4a2﹣4ab+b2）+（3b2﹣12b+12）+（4c2﹣8c+4）≤0.
∴（2a﹣b）2+3（b2﹣4b+4）+4（c2﹣2c+1）≤0.
∴（2a﹣b）2+3（b﹣2）2+4（c﹣1）2≤0.
∴2a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，解得 a=1，b=2，c=1.
∴=．
2.2 一元二次方程的解法（4）
重点提示：（1）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=.（2）称为一元二次方程的根的判别式：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根.
【夯实基础巩固】
1．一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（　C　）
　
A．
x1=x2=
B．
x1=0，x2=﹣2
C．
x1=，x2=﹣3
D．
x1=﹣，x2=3
2．下列方程有两个相等的实数根的是（　B　）
　
A．
x2+x+1=0
B．
4x2+4x+1=0
C．
x2+6x+36=0
D．
x2+x﹣2=0
3．下列说法中正确的是（　B　）
A． ax2+bx+c=0是一元二次方程
B．方程x（x+2）（x﹣3）=0的实数根有三个
C．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0 ，根是x=
D．方程x2=x的解是x=1
4．若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　C　）
　
A．
a≥2
B．
a≤2
C．
a＞2
D．
a＜2
5．用公式法解一元二次方程时，一般要先计算b2﹣4ac的值．则一元二次方程﹣x2+5x=3的b2﹣4ac的值为 　13　．
6．把方程（x+3）（x﹣1）=x（1﹣x）整理成ax2+bx+c=0的形式为　2x2+x﹣3=0　，b2﹣4ac的值是　25　．
7．方程2x2+4x+1=0的根是　x1=，x2=　．
8．有一个数值转换机，其流程如图所示：若输入a=﹣6，则输出的x的值为　无解　．
9．解方程：
（1）x2﹣6x=1 （2）2x2+x﹣5=0
（3）4x2－3x－5＝x－2 （4）3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1)
（1）x1=3+，x2=3﹣ （2）x1=，x2=﹣
（3）∴x1＝，x2＝－ （4）x1＝，x2＝
10．已知关于x的一元二次方程x2－3x－k＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围.
(2)请选择一个k的负整数值，并求出此时方程的根．
(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴(－3)2－4×(－k)＞0，即4k>－9，解得k>－.
(2)若k是负整数，k只能为－1或－2.
当k＝－1时，原方程为x2－3x＋1＝0，
解得x1＝，x2＝.
当k＝－2时，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
【能力提升培优】
11．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过（　D　）．
　
A．
第四象限
B．
第三象限
C．
第二象限
D．
第一象限
12．等腰三角形ABC的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（　B　）
　
A．
9
B．
10
C．
9或10
D．
8或10
13．已知m＞n＞0，且m2+n2=4mn，则的值等于（　A　）
　
A．
B．
C．
D．
2
14．已知关于x的方程x2﹣（a+2）x+a﹣2b=0的判别式等于0，且x=是方程的根，则a+b的值为　　．
15．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则a的取值范围是　a≤2　．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，当m＞0时，关于x的方程c（x2+m）+b（x2﹣m）﹣2ax=0有两个相等的实数根，则△ABC是　直角　三角形．
17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0.
∴a+c﹣2b+a﹣c=0.∴a﹣b=0.∴a=b.∴△ABC是等腰三角形.
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0.
∴4b2﹣4a2+4c2=0.∴a2=b2+c2.
∴△ABC是直角三角形．
18．阅读材料：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是x=．方程y2+by+ac=0的根是y=．因此，要求ax2+bx+c=0（a≠0）的根，只要求出方程y2+by+ac=0的根，再除以a就可以了．
例：解方程72x2+8x+=0．
解：先解方程y2+8y+72×=0，解得y1=﹣2，y2=﹣6．
∴方程72x2+8x+=0的两根是x1=，x2=，即x1=﹣，x2=﹣．
请按上述材料中所提供的方法解方程49x2+6x﹣=0．
先解方程y2+6y﹣49×=0，即y2+6y﹣7=0，
解得y1=1，y2=﹣7.
∴方程49x2+6x﹣=0的解为x1=，x2=﹣．
【中考实战演练】
19．【荆州】已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是（　C　）
　
A．
0＜a＜1
B．
1＜a＜1.5
C．
1.5＜a＜2
D．
2＜a＜3
20．【本溪】关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是　k＜2且k≠1　．
【开放应用探究】
21.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
（1）∵=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）由求根公式得x=，
∴x1==，x2==1.
∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1==1+必为正整数.
∴m﹣1=1或2.∴m=2或m=3．
2.3 一元二次方程的应用（1）
重点提示： （1）增长率问题的基本等量关系：基数×（1+平均增长率）2=连续增长两次后的数量.（2）销售问题的基本等量关系：（售价-进价）×销售量=总利润.
【夯实基础巩固】
1．某省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　C　）
　
A．
1.4（1+x）=4.5
B．
1.4（1+2x）=4.5
　
C．
1.4（1+x）2=4.5
D．
1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
2．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　B　）
　
A．
560（1+x）2=315
B．
560（1﹣x）2=315
C．
560（1﹣2x）2=315
D．
560（1﹣x2）=315
3．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 (　C　)
A．50(1＋x2)＝196 B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
4．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　A　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15
C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15
5．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2015年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆.若该商城自2015起每个月自行车销量的月平均增长率相同，求月平均增长率．若设月平均增长率为x，由题意可得方程：　64（1+x）2=100　．
6．如图所示是一个简单的数值运算程序，输入的x的值为　或　．
7．今年六一儿童节，某校六（1）班学生互赠贺卡（即每个同学要给班上的每位同学赠贺卡），共用去1560张贺卡，则六（1）班有　40　名学生．
8．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率.
（2）若这两年内的建设成本不变，则2015年建设了多少万平方米廉租房？
（1）设每年市政府投资的增长率为x.
由题意得3（1+x）2=6.75，
解得x=0.5或x=﹣2.5（不合题意，舍去）.
∴x=0.5=50%，即每年市政府投资的增长率为50%.
（2）∵12（1+50%）2=27，
∴2015年建设了27万平方米廉租房．
9．水果店张阿姨以2元/kg的价格购进某种水果若干千克，然后以4元/kg的价格出售，每天可售出100kg，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20kg，为保证每天至少售出260kg，张阿姨决定降价销售．设将这种水果每千克的售价降低x元.
（1）每天的销售量是　 　kg（用含x的代数式表示）.
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的售价降低多少元？
（1）100+200x
（2）由题意得（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得x=或x=1.
∵每天至少要售出260kg，∴100+200x≥260.∴x=1．
∴张阿姨需将每千克的售价降低1元．
【能力提升培优】
10．学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（　B　）
A．x2=21 B．x（x﹣1）=21 C．x2=21 D．x（x﹣1）=21
11．因春节放假，某工厂二月份产量比一月份下降了5%，三月份将恢复正常，预计三月份产量将比二月份增长15%．设二、三月份的平均增长率为x，则x满足的方程是（　D　）
　
A．
15%﹣5%=x
B．
15%﹣5%=2x
　
C．
（1﹣5%）（1+15%）=2（1+x）
D．
（1﹣5%）（1+15%）=（1+x）2
12.小明发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数a2+b﹣1，例如：把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（　D　）
　
A．
3
B．
﹣1
C．
﹣3或1
D．
3或﹣1
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为　9　．
14．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，可注重低碳、环保、健康的市民让近年来的烟花爆竹遇冷了．某品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售量40箱．而2014年除夕当天和2013年当天相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%．则a的值为　10　．
15．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？
设乙店销售额月平均增长率为x.
由题意得10（1+2x）2﹣15（1+x）2=10，
解得 x1=60%，x2=﹣1（不合题意，舍去）．∴2x=120%．
∴甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%，60%．
16．近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320km，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120km/h，全程设计运行时间只需8h，比原铁路设计运行时间少用16h．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m h，求m的值．
（1）设原时速为x(km/h)，通车后里程为y(km)，则有
，解得.
∴渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600km.
（2）由题意得（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600，
解得m1=20，m2=0（不合题意，舍去）.
∴m的值为20．
【中考实战演练】
19．【兰州】股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　B　）
A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
20．【达州】新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接六一儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为　（40﹣x）（20+2x）=1200　．
【开放应用探究】
21．全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．
（1）若2014年该社区购买健身器材的费用不超过总投入的，则2014年最低投入多少万元购买药品？
（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．
①求2014年社区购买药品的费用；
②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．
（1）设2014年购买药品的费用为x万元.
由题意得30﹣x≤×30，解得x≥10.
∴2014年最低投入10万元购买药品.
（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，
2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，
由题意得（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30，解得y=16，30﹣y=14.
∴2014年购买药品的费用为16万元.
②设2015年社区内健身家庭户数增加的百分数为m，则2015年健身家庭的户数为200（1+m），
2015年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，
由题意得200（1+m）×（1﹣m）=（1+50%）×14×，解得m=±.
∵m＞0，∴m==50%.∴200（1+m）=300（户）.
∴2015年该社区健身家庭的户数为300户．
2.3 一元二次方程的应用（2）
重点提示： (1)面积问题的等量关系主要是各种平面图形（三角形、四边形、圆等）的面积公式.（2）距离问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理作为基本等量关系列出方程.
【夯实基础巩固】
1．现有一张面积是240cm2的长方形纸片，且它的长比宽多8cm，设长方形纸片的宽为x(cm)，则根据题意可列得一元二次方程为（　A　）
　
A．
x（x+8）=240
B．
x（x﹣8）=240
C．
x（x﹣8）=120
D．
x（x+8）=120
2．如图所示，某小区规划在一块长30m、宽20m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽为x（m），则由题意列得方程为（　C　）
　
A．
（30﹣x）（20﹣x）=78
B．
（30﹣2x）（20﹣2x）=78
　
C．
（30﹣2x）（20﹣x）=6×78
D．
（30﹣2x）（20﹣2x）=6×78

3．如图所示，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　A　）
　
A．
7m
B．
8m
C．
9m
D．
10m
4．如图所示，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　B　）
　
A．
0.5cm
B．
1cm
C．
1.5cm
D．
2cm
5．如图所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积为300m2的矩形花园，则BC的长为　20　 m．
6．已知如图所示的图形是一无盖的长方体铁盒平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：　x（x+1）=3　．
7．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个长方形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示.要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
设小道进出口的宽度为x (m).
由题意得(30－2x)(20－x)＝532，
解得x1＝1，x2＝34（不合题意，舍去）.
∴小道进出口的宽度应为1 m.
8．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB边向点B移动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB边向点B移动，如果点P，Q同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
设x（s）后，△PBQ的面积为8cm2．
由题意得AP=x(cm)，PB=（6﹣x）cm，BQ=（8﹣2x）cm，
∴（6﹣x）（8﹣2x）=8，
解得x1=2，x2=8（不合题意,舍去）．
∴点P，Q同时出发，2s后可使△PBQ的面积为8cm2．
【能力提升培优】
9．电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下列方程中正确的是（　C　）.
A．x（x+1）=81
B．1+x+x2=81
C．1+x+x（x+1）=81
D．1+（x+1）2=81
10．用一张长80cm、宽60cm的薄钢片，在4个角上截去4个相同的边长为x(cm)的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子，为求出x，根据题意列方程并整理后得（　A　）
　
A．
x2﹣70x+825=0
B．
x2+70x﹣825=0
C．
x2﹣70x﹣825=0
D．
x2+70x+825=0
11．如图所示，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（　B　）
A． B． C． D．
12．如图所示，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连结PQ，若经x（s）后P，Q两点之间的距离为4，那么x的值为　4或　．
13．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2），C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t(s)，当t为　2或5+或5﹣　时，△PQB为直角三角形．
14．如图所示，某旅游景点要在长、宽分别为20m、12m的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连结四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的，求道路的宽．
设道路的宽为x(m).
由题意得x（12﹣4x）+x（20﹣4x）+16x2=×20×12，
解得x1=l，x2=﹣5（不合题意，舍去）．
∴道路的宽为1m．
15．如图所示，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）按照规律，在第6个图中，黑色瓷砖有　 　块，白色瓷砖有　 　块.
（2）某学校新教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5m的正方形白色瓷砖和长为0.5m、宽为0.25m的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，则每间教室瓷砖共需要多少元？
（1）28 42
（2）设白色瓷砖的行数为n.
由题意得0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68，
解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去）.
∴白色瓷砖块数为n（n+1）=240，黑色瓷砖块数为4（n+1）=64，
∴每间教室瓷砖共需要20×240+10×64=5440（元）．
【中考实战演练】
16．【宁夏】如图所示，某小区有一块长18m、宽6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x(m)，则可以列出关于x的方程是（　C　）
　
A．
x2+9x﹣8=0
B．
x2﹣9x﹣8=0
C．
x2﹣9x+8=0
D．
2x2﹣9x+8=0
17.【广元】李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（1）设剪成的较短段为x（cm），则较长段为（40﹣x）cm.
由题意得（）2+（）2=58，解得x1=12，x2=28.
当x=12时，较长段为40﹣12=28(cm)，
当x=28时，较长段为40﹣28=12(cm)＜28cm（舍去）．
∴李明应该把铁丝剪成12cm和28cm长的两段.
（2）李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短段为m(cm)，则较长段为（40﹣m）cm.
由题意得（）2+（）2=48，
变形为m2﹣40m+416=0.
∵=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，∴原方程无实数根.
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
【开放应用探究】
18．如图所示，长方形ABCD中（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t(s)，问：
（1）当t=1s时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？
（3）当t= s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6 cm，AD=BC=2 cm，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∵CQ=1cm，AP=2cm，∴PB=6﹣2=4cm．∴S四边形BCQP= ×（1+4）×2=5(cm2）．
（2）①如图1所示，作QE⊥AB于点E，则∠PEQ=90°.
∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形.
∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．
∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．
在Rt△PQE中，由勾股定理得（6﹣3t）2+4=9，
解得t=．
②如图2所示，作PE⊥CD于点E，则∠PEQ=90°．
∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCEP是矩形.
∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．
∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6.
在Rt△PEQ中，由勾股定理得（3t﹣6）2+4=9，
解得t=．
综上所述,t=或.
（3），，，
2.4 一元二次方程根与系数的关系
重点提示： 如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么，，这一结论称为韦达定理，注意应用韦达定理的前提条件是方程有解.
【夯实基础巩固】
1．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值是（　D ）
　
A．
4
B．
﹣4
C．
3
D．
﹣3
2．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　A　）
　
A．
﹣10
B．
10
C．
﹣6
D．
2
3．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　A　）
　
A．
﹣2
B．
2
C．
4
D．
﹣3
4．若方程x2+x﹣1=0的两实根为α，β，则下列式子正确的是（　D　）
A．α+β=1 B．αβ=1 C．α2+β2=2 D．+=1
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m+3=0的两根为x1，x2，且满足x1x2﹣x1﹣x2=1，则m的值为（　A　）
　
A．
3
B．
﹣3
C．
D．
﹣
6．已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　3　，m的值是　﹣4　．
7．已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是　2　．
8．若矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　16　．
9．设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x1﹣x2）2.
（2）．
根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1x2=．
（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．
（2）=x1x2+1+1+==．
10．已知x=1是关于x的方程ax2+bx﹣3=0（a＞0）的一个根．
（1）求a+b的值.
（2）若b=2a，x1和x2是方程的两根，求x1+x2的值．
（1）由题意得a+b﹣3=0，∴a+b=3.
（2）∵b=2a，∴a+2a=3.∴a=1，b=2.
∴原方程是x2+2x﹣3=0.∴x1+x2=﹣2．
【能力提升培优】
11．设a，b是方程x2﹣x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+3b﹣2的值为（　D　）
　
A．
2013
B．
2014
C．
2015
D．
2016
12．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1.其中正确的结论有（　D　）
　
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
13．若关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（　C　）
　
A．
﹣2＜a＜2
B．
C．
D．
14．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　0　．
15．若α，β为实数且|α+β﹣3|+（2﹣αβ）2=0，则以α，β为根的一元二次方程为　x2﹣3x+2=0　（其中二次项系数为1）．
16．已知m，n是方程x2+2016x+7=0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）=　2008　．
17．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根.
（1）求m的取值范围.
（2）若方程的一个根为1，求m的值.
（3）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
（1）=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤.
（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，
解得m1=0，m2=﹣2，即m的值为0或﹣2.
（3）存在．由题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2.
∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，
整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1.
∵m≤.∴m的值为﹣1．
18．阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．
例：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1=0，n2﹣n﹣1=0，且m≠n，求的值．
解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得m+n=1，mn=﹣1.
∴=
根据上述材料解决下列问题.
（1）一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x1+x2=　﹣　，x1x2=　﹣　．
（2）已知实数m，n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知实数p，q满足p2=3p+2，2q2=3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
（1）﹣ ﹣
（2）∵m，n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，
∴m，n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数根.
∴m+n=1，mn=﹣.
∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣×1=﹣.
（3）设t=2q，则q=，代入2q2=3q+1得t2=3t+2，
∴p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数根.
∴p+2q=3，p×2q=﹣2.
∴p2+4q2=（p+2q）2﹣2p×2q=32﹣2×（﹣2）=13．
【中考实战演练】
19．【怀化】设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（　C　）
　
A．
19
B．
25
C．
31
D．
30
20．【凉山州】已知实数m，n满足3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则=　﹣　．
【开放应用探究】
21．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a，b，c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：
（1）m的值.
（2）△ABC的面积．
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数），
∴=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0.
设x1，x2是此方程的两个根，则x1x2=，
∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18.
又∵m为正整数，∴m=2.
（2）把m=2代入m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0.
当a=b时，.
当a≠b时，a，b是方程x2﹣4x+2=0的两根.
①a≠b，时， a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2.
∴△ABC为直角三角形，且∠C=90°.∴S△ABC=．
②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．
S△ABC=×（2）×=
综上所述，△ABC的面积为1或．
专题复习一 一元二次方程的解法与应用
重点提示： 一元二次方程的解法有四种：因式分解法；直接开平方法；配方法；公式法.对于不同的一元二次方程，要选择合适的方法以求快速并准确的解出方程，并注意配方法、整体换元、转化化归等数学方法和数学思想在解决问题中的应用.
【夯实基础巩固】
下面是小明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（　C　）
A．若x2=4，则x=2
B．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的解为x=1
C．若方程（m﹣2）x|m|+3mx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m=﹣2
D．若分式的值为零，则x=1或x=2
2．已知三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（　A　）
　
A．
13
B．
15
C．
18
D．
13或18
3．方程x2﹣（+）x+=0的根是（　A　）
A．x1=，x2= B．x1=1，x2=
C．x1=﹣，x2=﹣ D．x=±
4．方程 （x+）2+（x+）（2x﹣1）=0的较大根为（　B　）
A．﹣ B． C． D．
5．一元二次方程（2x﹣1）2=（3﹣x）2的根是x1=　　，x2=　﹣2　．
6．已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)2,则的值为__-23___.
7．如图所示，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则?ABCD的周长是　4+2　．
8．已知a为实数，且满足（a2+b2）2+2（a2+b2）﹣15=0，则代数式a2+b2的值为　3　．
9．用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣1）2﹣4=0 （2）x2﹣4x+1=0
（3）x2﹣8x+17=0 （4）x（x﹣2）+x﹣2=0．
（1）x1=1+，x2=1﹣
（2）x1=2+，x2=2﹣
（3）=（﹣8）2﹣4×17＜0，∴方程没有实数根.
（4）x1=2，x2=﹣1
10．如图所示，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成.为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x（m），可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m.
由题意得x（25﹣2x+1）=80，解得x1=5，x2=8.
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去）.
当x=8时，26﹣2x=10＜12.
∴所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m．
【能力提升培优】
11．利用墙为一边，用长为13m的材料作另三边，围成一个面积为20m2的长方形小花园，这个长方形的长和宽各是（　D　）
　
A．
5m，4m
B．
8m，2.5m
　
C．
10m，2m
D．
5m，4m或8m，2.5m
12．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（　C　）．
　
A．
3倍
B．
5倍
C．
3或5倍
D．
2或4倍
13．在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a+b2，根据这个规则，方程x*（x+1）=5的解是（　B　）
　
A．
x=5
B．
x=1
C．
x1=﹣4，x2=1
D．
x1=4，x2=﹣1
14．如果关于x的一元二次方程x2+（k2﹣3）x+k=0的两个实数根互为相反数，则k=﹣　．
15．已知非零实数x，y满足等式x2﹣2xy﹣3y2=0，则的值为　3或﹣1　．
16．已知x为实数，（x2+4x）2+5（x2+4x）﹣24=0，则x2+4x的值为　3　．
17．用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2=36 （2）
（3）（3x﹣1）（x+1）=4 （4）（2x﹣3）2﹣3（2x﹣3）+2=0
（5）x2﹣（1+2）x++3=0 （6）3x2-10x+6=0
（1）x1=4，x2=﹣2
（2）x1=+2，x2=﹣2
（3）x1=，x2=﹣1
（4）x1=2，x2=
（5）x1=，x2=1+
（6），
18．如图所示，在下列n×n的正方形网格中，请按图形的规律，探索以下问题：
（1）第4个图形中阴影部分小正方形的个数为　 　.
（2）是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形个数的？如果存在，是第几个图形；如果不存在，请说明理由．
…
（1）22
（2）存在.理由如下：
由题意得，解得（舍去），n2=10．
∴第10个图形阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的．
【中考实战演练】
19．【哈尔滨】今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2．设扩大后的正方形绿地边长为x（m），则下面所列方程正确的是（　A　）
A．x（x﹣60）=1600 B．x（x+60）=1600
C．60（x+60）=1600 D．60（x﹣60）=1600
20．【泰安】方程（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为　﹣8或　．
【开放应用探究】
21．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．
令++=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t
=t+﹣t2﹣t﹣t+t2=.
问题：
（1）计算（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣）×（++++…++）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣﹣）×（++++…+）.
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
（1）设++…+=t，
则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t=t+﹣t2﹣t﹣t+t2+t=.
（2）设x2+5x+1=t，则原方程化为t（t+6）=7，
即t2+6t﹣7=0，解得t=﹣7或1.
当t=1时，x2+5x+1=1，解得x1=0，x2=﹣5.
当t=﹣7时，x2+5x+1=﹣7，即x2+5x+8=0，
= 52﹣4×1×8＜0，此时方程无解.
∴原方程的解为x1=0，x2=﹣5．
专题复习二 根的判别式与韦达定理
重点提示： (1)根的判别式主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即.
【夯实基础巩固】
已知x1，x2是方程x2+2x﹣5=0的两根，则的值为（　B　）
A．﹣ B． C． D．﹣
2．已知x2+px+q=0的两根是3，﹣4，则代数式x2+px+q分解因式的结果是（　C　）
　
A．
（x+3）（x+4）
B．
（x﹣3）（x﹣4）
C．
（x﹣3）（x+4）
D．
（x+3）（x﹣4）
3．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1=0的根的情况是（　A　）
　
A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根
　
C．
有两个实数根
D．
没有实数根
4．关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m﹣2=0的两根互为倒数，则m的值是（　C　）
　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
5．关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m2=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是（　B　）
　
A．
2
B．
1
C．
0
D．
﹣1
6．已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k=　±2　．
7．已知x1，x2是方程的两根，则的值为　3　．
8．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则代数式（a﹣b）（a+b﹣2）+ab的值等于　﹣1　．
9．已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0.
（1）不解方程，判别方程根的情况.
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
（1）∵=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根.
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值.
（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．
（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴=8﹣4m＞0，解得m＜2，
∴m的最大整数值为1.
（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.
∴x1+x2=2，x1x2=1.
∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．
【能力提升培优】
11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（　C　）
　
A．
有两个相等的实数根
B．
有两个不相等的实数根
　
C．
没有实数根
D．
无法确定
12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（　C　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
0个
13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（　A　）
　
A．
﹣1，﹣3
B．
1，3
C．
1，﹣3
D．
﹣1，3
【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.
14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=　5　．
15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于　﹣9　．
16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②　．
17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．
（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.
（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.
又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.
∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.
∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.
又∵k＞，∴k=2．
18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若+=1，求的值.
（2）求+﹣m2的最大值．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.
∴﹣1≤m＜1．
（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，
∴+===1，
解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.
∴=﹣2．
（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．
当m=﹣1时，最大值为3．
【中考实战演练】
19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（　B　）
　
A．
9
B．
10
C．
9或10
D．
8或10
【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.
20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是　4　．
【开放应用探究】
21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．
（1）不是.理由如下：
解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．
∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.
（2）存在．理由如下：
∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.
当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．
∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．
对于任意一个整数b，c=﹣b2时，=b2﹣4c=4b2．
∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，
∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．
第2章综合测评卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（　D　）
A．x2+3x﹣y=2 B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的根是（　D　）
A． x1=1，x2=2 B． x1=1，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2
3．一元二次方程x2+3=2x的根的情况是（　B　）
　
A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的无理数根
　
C．
有两个相等的有理数根
D．
没有实数根
4．下列关于一元二次方程的根的说法中，正确的是（　C　）
　
A．
方程x2+x﹣2=0有一根为﹣1
　
B．
方程x2+x=0有一根为1
　
C．
方程x2+3x﹣4=0有两个不相等的实数根
　
D．
方程x2+4=0有两个实数根，并且这两根互为相反数
5．关于x的方程ax2+bx+c=0有下列说法：①若a≠0，则方程必是一元二次方程；②若a=0，则方程必是一元一次方程，那么上述说法（　C　）
　
A．
①②均正确
B．
①②均错误
C．
①正确，②错误
D．
①错误，②正确
6．某果园2013年水果产量为100t，2015年水果产量为144t，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ A ）
A. B.
C. D.
7．用配方法解一元二次方程x2+3=4x，下列配方正确的是（　D　）
　
A．
（x+2）2=2
B．
（x﹣2）2=7
C．
（x+2）2=1
D．
（x﹣2）2=1
8．方程x2﹣x+1=0与方程x2﹣5x﹣1=0的所有实数根的和是（　B　）
　
A．
6
B．
5
C．
3
D．
2
【解析】方程x2-x＋1=0无实数根.
9．已知α，β是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015α+α2）（1+2015β+β2）的值为（　D　）
　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
10. 已知a是自然数，关于x的方程至少有一个整数根，则a可取值的个数为（　C　）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】∵，∴.
当a≠0时，满足条件的x必使得为整数，否则不可能为整数.设（y为非负整数），则原式变为，=.∴4能整除1+y，且y为非负整数.∴要使a为整数，则y=0，1，3,此时a=6，2，-3．又∵a为自然数，∴a=6，2.当a=0时，方程也有一个整数根.∴a的取值有3个.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．方程x（2x﹣1）=2x﹣1的根为　x1=，x2=1　．
12．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是　0　（写出一个即可）．
13．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）=　14　．
14．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程：　x2+（x+4）2=x+10（x+4）﹣4　．
15．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a=　1　．
16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　23　．
【解析】∵a，b式x2-x-3=0的两根，∴a2-a=3，b2-b=3.∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a2-a）+5a2-11a+（b2-b）+5=6a+5a2-11a+8=5（a2-a）+8=23.
三、解答题（共66分）
17．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣4x+1=0 （2）（x﹣2）（x﹣3）=12
（3）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0 （4）（3x-11）（x-2）=2
（1）x1=，x2=
（2）x1=6，x2=﹣1
（3）x1=，x2=5
（4）x1=，x2=4
18．（6分）某企业2013年创造利润约250万元，2015年创造利润约360万元.若2013年～2015年利润逐年增加，请解答下列问题：
（1）求这两年该企业年利润平均增长率.
（2）如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年该企业年利润和2013年相比是否增长一倍？
（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．
由题意得250（1+x）2=360，
解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．
∴这两年该企业年利润平均增长率为20%．
（2）如果2016年仍保持相同的年平均增长率，那么2016年该企业年利润为360（1+x）=360×（1+20%）=432，
（432-250）÷250=0.728<1．
∴2016年该企业年利润和2013年相比，没有增长一倍．
19．（8分）关于x的方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围.
（2）若k﹣1是方程x2﹣2x+k﹣1=0的一个根，求k的值．
（1）由题意得=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2.
∴k 的取值范围是k＜2．
（2）由题意得（k﹣1）2﹣2（k﹣1）+k﹣1=0，
即k2﹣3k+2=0，解得k1=1，k2=2（舍去）.
∴k的值为1．
20．（8分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2=0.
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）.
当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣2.
∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2.
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣5=0．
当x≥1时，原方程化为x2﹣x+1﹣5=0，即x2﹣x﹣4=0，
解得x1=，x2=（不合题意，舍去）.
当x＜1时，原方程化为x2+x-1﹣5=0，即x2+x﹣6=0，
解得x1=2（不合题意，舍去），x2=﹣3.
∴原方程的根是x1=，x2=﹣3．
21．（10分）若等腰三角形ABC的一边长为a=2，另外两边长b，c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=0的两个根，求△ABC的周长．
若a=2为腰，则b，c中还有一腰，即2是x2﹣（m+3）x+m+2=0的一个根，
∴4﹣2（m+3）+m+2=0，解得m=0.
这时方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2.
∴△ABC的周长为2+2+1=5.
若a=2为底，则b=c，即x2﹣（m+3）x+m+2=0有两个相等的实根，
则=（m+3）2-4（m+2）=0，解得m=﹣1.
这时方程为x2﹣2x+1=0，解得x1=x2=1，
∵1+1=2，∴不能围成三角形.
综上所述，△ABC的周长为5．
22．（10分）机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90kg，润滑用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术改革后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍为60%，甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术改革后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到19.2kg，乙车间通过技术改革后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
（1）由题意得70×（1﹣60%）=70×40%=28（kg）．
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x(kg).
由题意得x[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]=19.2，
整理得x2﹣65x﹣1200=0，解得x1=80，x2=﹣15（不合题意，舍去）.
（90﹣80）×1.6%+60%=76%．
∴乙车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是80kg，用油的重复利用率是76%．
23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿线段AD向终点D运动．设动点运动时间为t(s)．
（1）求AD的长.
（2）当△PDC的面积为15cm2时，求t的值.
（3）动点M从点C出发以2cm/s的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD=S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴BD=CD=BC=5cm，且∠ADC=90°.
∴AD2=AC2﹣CD2.∴AD=12cm．
（2）∵AP=t，PD=12﹣t，
∴S△PDC=PD×DC=15，
解得PD=6，∴t=6．
（3）假设存在t，使得S△PMD=S△ABC．
①若点M在线段CD上，即 时，PD=12﹣t，DM=5﹣2t，
由S△PMD=S△ABC得 ，
即2t2﹣29t+50=0，解得t1=12.5（不合题意，舍去），t2=2．
②若点M在射线DB上，即时，DM=2t-5(cm)，
由S△PMD=S△ABC得 ，
即2t2﹣29t+70=0，解得 ，．
综上所述，t的值为2或 或 时，S△PMD=S△ABC．