浙教版八下数学第五章 特殊平行四边形同步练习(附答案)

第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形（1）
重点提示：（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.（2）矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，另外矩形的四个角都是直角、矩形的对角线相等.（3）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，它有两条对称轴.
【夯实基础巩固】
1．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法中错误的是（　D　）
　
A．
∠ABC=90°
B．
AC=BD
C．
OA=OB
D．
OA=AD
2．如图所示，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断中错误的是（　C　）
　
A．
四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．
BD的长度增大
　
C．
四边形ABCD的面积不变
D．
四边形ABCD的周长不变
3．如图所示，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，若点A表示的数是﹣1，则对角线AC，BD的交点表示的数是（　A　）
　
A．
5.5
B．
5
C．
6
D．
6.5
4．如图所示，在矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE等于（　A　）
　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
5．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为（　C　）
　
A．
85°
B．
80°
C．
75°
D．
70°
6．如图所示，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB的长为　5　．
7．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，则∠BDC的度数为　30°　．
8．如图所示，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是S1　 =　 S2（ 填“＞”“＜”或“=”）
9．如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
求证：BE=CF．
∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．
10．如图所示，在矩形ABCD中， F是CD中点，连结AF并延长交BC的延长线于点E，连结AC．
（1）求证：△ADF≌△ECF.
（2）若AB=1，BC=2，求四边形ACED的面积．
（1）∵F是CD中点，
∴DF=CF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即AD∥CE．
∴∠ADF=∠ECF.
在△ADF和△ECF中，∵
∴△ADF≌△ECF（ASA）.
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=2，AB=CD=1，CD⊥AD．
由（1）知，△ADF≌△ECF,∴AD=CE．
∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形.
∴S四边形ACED =2×1=2.
【能力提升培优】
11． 如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（　D　）
　
A．
8
B．
8
C．
4
D．
6
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于点H，且BH=DH，则DH的值是（　C　）
A． B． C． D．
13．如图所示，E是矩形ABCD内的一个动点，连结EA，EB，EC，ED，得到△EAB，△EBC，△ECD，△EDA，设它们的面积分别是m，n，p，q，给出下列结论：
①m+n=q+p；
②m+p=n+q；
③若m=n，则点E一定是AC与BD的交点；
④若m=n，则点E一定在BD上．
其中正确的结论有（　B　）
　
A．
①③
B．
②④
C．
①②③
D．
②③④
14．将一个含30°的角的直角三角尺按如图所示放置在矩形纸板上，∠AMF=90°，已知矩形纸板的长是宽的2倍，M是BC的中点，则∠AFE的度数为　15°　．
15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C的坐标是　　（1+2，2） ．
16．如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E，G，H，F分别在AB，BC，CD，AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF，GH之间任意一点，连结PE，PF，PG，PH，则△PEF和△PGH的面积和等于　7　．
17．如图所示，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC.
（2）已知DC=，求BE的长．
（1）∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°.
∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.
在△AEF和△DCE中，∵
∴△AEF≌△DCE（AAS）.∴AE=DC.
（2）由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，
在矩形ABCD中，AB=CD=，
在Rt△ABE中，，即．
18．如图所示，点E是矩形ABCD的边BC的延长线上一点，连结AE交CD于点F，G是AF的中点，再连结DG，DE，且DE=DG．
（1）求证：∠DEA=2∠AEB.
（2）若BC=2AB，求∠AED的度数．
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADF=90°，AD∥BC.
∵Rt△ADF中，G是AF中点，∴GA=GD=GF.∴∠DGF=2∠DAE.
∵AD∥BE，∴∠AEB=∠DAE.
∵DG=DE，∴∠DEA=∠DGF.∴∠DEA=2∠AEB.
（2）过点G作GH⊥DC于H.
∵AD∥GH，G是AF中点，∴GH=AD=AB=DC.
∵DE=DG=GF，∴Rt△GHF≌Rt△DCE（HL）.
∵∠DEA=2∠AEB，∴∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE.
∵∠DAE+∠GFH=90°，∴4∠DAE=90°，∠DAE=22.5°.∴∠DEA=2∠DAE=45°．
【中考实战演练】
19．【鄂尔多斯】如图所示，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（　D　）
　
A．
14
B．
16
C．
17
D．
18
20．【攀枝花】如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　（2.5，4），（3，4），（2，4），（8，4）　．
【开放应用探究】
21．如图所示，点E为矩形ABCD外一点，DE⊥BD于点D，DE=CE，BD的垂直平分线交AD于点F，交BD于点G．连结EF交BD于点H．
（1）若∠CDE=∠DEH=∠HEC，求∠ABG的度数.
（2）求证：H是EF的中点．
（1）设∠CDE=x°.
∵DE=CE，∴∠CDE=∠DCE=x°.
∵∠CDE=∠DEH=∠HEC，
∴∠DEH=x°，∠HEC=2x°.
∵∠CDE+∠DEC+∠DCE=180°，
∴5x=180，解得x=36.
∵DE⊥BD，∴∠EDB=90°.∴∠BDC=90°﹣36°=54°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.∴∠ABG=∠BDC=54°.
（2）如图所示，连结AC，GE，CD与GE交于点M.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AG=GC，BG=GD.∴GD=GC.
∴点G在CD的垂直平分线上.∵DE=CE，
∴点E在CD的垂直平分线上.
∴GE为CD的垂直平分线.∴DM=CM.
∵BG=DG，∴GM∥BC.
∵□ABCD是矩形，∴AD∥BC.
∴FD∥GE.
∵FG⊥BD，DE⊥BD，∴FG∥DE.
∴四边形FDEG是平行四边形.∴H为EF的中点．
5.1 矩形（2）
重点提示：判定一个四边形是矩形有三种方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）有三个角是直角的四边形是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形.注意方法（1）和（3）要先利用平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形.
【夯实基础巩固】
1．在□ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出□ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　B　）
　
A．
AB=BC
B．
AC=BD
C．
AC⊥BD
D．
AB⊥BD
2．下列说法中正确的是（　C　）
　
A．
两组对角分别相等的四边形是矩形
　
B．
两个角是直角的四边形是矩形
　
C．
一个角是直角的平行四边形是矩形
　
D．
一个角是直角，一组对边相等的四边形是矩形
3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　D　）
　
A．
测量对角线是否相互平分
　
B．
测量两组对边是否分别相等
　
C．
测量对角线是否相等
　
D．
测量其中三个角是否都为直角
4．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，给出下列条件：
①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD．
则不能使四边形ABCD成为矩形的是（　C　）
　
A．
①②③
B．
②③④
C．
②⑤⑥
D．
④⑤⑥
5．已知四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点.若AC=6，BD=8，则四边形EFGH的面积为（ C ）
A．48 B．24 C．12 D．条件不足，无法计算
6．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB，∠OAD=65°．则∠ODC=　25°　．
7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF．当∠ACB=　60°　时，四边形ABFE为矩形．
8．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，﹣2），B（2，2），C（0，4）三个点，当点D的坐标为　（﹣4，0）　时，四边形ABCD是矩形．
9．如图所示，在□中，对角线AC与BD交于点O，OM⊥BC于点M，且BM=CM.
求证：□是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.
又∵OM⊥BC，BM=CM，∴OB=OC.
∴AC=BD.∴□ABCD是矩形.
10．如图所示，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE．求证：
（1）△ABE≌△ACD.
（2）四边形BCDE是矩形．
（1）∵∠BAD=∠CAE，∴∠EAB=∠DAC.
在△ABE和△ACD中，∵∴△ABE≌△ACD（SAS）.
（2）∵△ABE≌△ACD，∴BE=CD，
∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD.∴∠EBC=∠DCB.
∵四边形BCDE为平行四边形，∴EB∥DC.
∴∠EBC+∠DCB=180°.∴∠EBC=∠DCB=90°.
∴四边形BCDE是矩形．
【能力提升培优】
11．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（　B　）
　
A．
梯形
B．
矩形
　
C．
正方形
D．
不是平行四边形
12．如图所示，在△ABC中，AC的中垂线交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（　A　）
　
A．
2
B．
2
C．
3
D．
3
13．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值是（　B　）
　
A．
2.5
B．
2.4
C．
2.2
D．
2
14．如图所示，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=CD，连结AE交BC于点F，∠AFC=n∠D，当n=　2　时，四边形ABEC是矩形．
15．如图所示，已知□ABCD，给出下列条件：①AC=BD；②AB=AD；③∠1=∠2；④AB⊥BC.其中能说明□ABCD是矩形的有（填写序号）　①④　．
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点，则AM的取值范围是　≤AM＜6　．
17．如图所示，在△ABC中，O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF.
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长.
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
（1）∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6.
∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6.∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴EO=CO，FO=CO.∴OE=OF.
（2）如图所示，∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°.
∵CE=12，CF=5，∴EF==13.
∴OC=EF=.
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO.
∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，∴□AECF是矩形．
18．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA的延长线于点E，PF⊥AC交AC的延长线于点F．
（1）求证：四边形AEPF是矩形.
（2）D为BC中点，连结DE，DF．求证：DE=DF．
（1）∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC.
∴四边形AEPF是矩形.
（2）连结DA.∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴DA=DC，∠DAE=∠DCF=135°.
又由（1）知AE=PF，△CFP是等腰直角三角形，
∴CF=PF=AE.∴△DAE≌△DCF.∴DE=DF.
【中考实战演练】
19．【临沂】如图所示，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE=AD，连结EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　B　）
　
A．
AB=BE
B．
DE⊥DC
C．
∠ADB=90°
D．
CE⊥DE
20．【内江】如图所示，将□ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连结DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：△ABD≌△BEC.
（2）连结BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
（1）在□ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD．
又∵AB=BE，∴BE=DC.
∴四边形BECD为平行四边形.∴BD=EC．
在△ABD与△BEC中，∵∴△ABD≌△BEC.
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE，OC=OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC.∴OC=OD.
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED.∴□BECD为矩形．
【开放应用探究】
21．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，易证得结论PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，PA2，PB2，PC2和PD2又有怎样的数量关系?请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论．
对图2的探究结论为　 　；对图3的探究结论为　 　；
结论均是PA2+PC2=PB2+PD2．
证明：如图所示，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N.
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，
根据（1）中的结论可得，在矩形ABNM中有PA2+PN2=PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2=PD2+PN2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2=PB2+PM2+PD2+PN2，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
5.2 菱形（1）
重点提示：（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角.（3）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在直线是它的对称轴.
【夯实基础巩固】
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　D　）
　
A．
两组对边分别平行
B．
两组对角分别相等
　
C．
对角线互相平分
D．
对角线互相垂直
2．如图所示，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB等于（　D　）
　
A．
10
B．
C．
6
D．
5
3．如图所示，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（　B　）
　
A．
18
B．
18
C．
36
D．
36
4．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF的面积是（　B　）
　
A．
4
B．
3
C．
2
D．
5．一个菱形的周长为8cm，高为1cm，这个菱形两邻角度数之比为（　C　）
　
A．
3：1
B．
4：1
C．
5：1
D．
6：1
6．如图所示，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为　（4，4）　．
7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为　　．
8．如图所示，四边形ABCD是菱形，∠DAB=50°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH，则∠DHO=　25°　．
9．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，点E为垂足，且BE=CE，AB=2.求：
（1）∠BAD的度数.
（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长.
（1）∵在菱形ABCD中，AE⊥BC，且BE=CE，∴△ABC为等边三角形 ，∠ B=∠D=60°.
∴∠BAD=∠BCD=120°.
（2）AC=AB=2，菱形ABCD的周长为4×2=8.
10．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论.
（2）若AB=13，AC=10，求线段EF的长．
（1）△OEF是等腰三角形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OA=OC,OB=OD.
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO=AB，OF=AD.
∴EO=FO，∴△OEF是等腰三角形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=10，
∴AO=5，∠AOB=90°，∴BO==12.∴BD=24.
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF=BD=12．
【能力提升培优】
11．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH等于（　A　）
A． B． C．12 D．24
12．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC等于（　C　）
　
A．
35°
B．
45°
C．
50°
D．
55°
13．如图所示，3个全等的菱形按如图所示方式拼合在一起，恰好得到一个边长相等的六边形，则菱形较长的对角线与较短的对角线之比是（　A　）
　
A．
B．
C．
2
D．
14．如图所示，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连结DE交AC于点O，连结BO，且∠AED=50°，则∠CBO=　50°　．
15．如图所示，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作点P到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE+PF=　3　．
16．如图所示，菱形ABCD的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′．旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为8﹣8，则菱形ABCD的边长为　2　．
17．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为矩形.
（2）在BC上截取CF=CO，连结OF，若AC=8，BD=6，求四边形OFCD的面积．
（1）∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴∠DOC=90°．
∴四边形OCED为矩形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分于点O.
∴OD=OB=BD=3，OA=OC=AC=4.
∴S△DOC=6．
在Rt△OBC中，BC==5,CF=OC=4.
∴S△OCF=．∴S四边形OFCD=S△DOC+S△OCF=6+=．
18．如图所示，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别在边BC，CD上．
（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积.
（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．
（1）在菱形ABCD中，AB=BC，
∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形.
∵AB=4，∴等边三角形ABC底边BC上的高为4×=2.
∴菱形ABCD的面积=4×2=8.
（2）如图所示，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形，∴∠AE′E=60°.
∵∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=∠AEC﹣60°.
又∵∠BE′E=∠AE′B﹣∠AE′E=∠AE′B﹣60°，∴∠BE′E=∠CEF.
∵∠B=60°，菱形的对边AB∥CD，∴∠ECF=180°﹣60°=120°.
又∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠E′BE=∠ECF.∴△EE′B≌△FEC（ASA）.∴BE=CF.
∴BC=CE+BE=CE+CF.∵AB=BC，∴AB=CE+CF．
【中考实战演练】
19．【本溪】如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　．
20．【安徽】如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　C　）
　
A．
2
B．
3
C．
5
D．
6
【开放应用探究】
21．有一种汽车用“千斤顶”，它由4根连杆组成菱形ABCD，当螺旋装置顺时针旋转时，B，D两点的距离变小，从而顶起汽车．若AB=30，螺旋装置每顺时针旋转1圈，BD的长就减少1．设BD=a，AC=h.
（1）当a=40时，求h值.
（2）从a=40开始，设螺旋装置顺时针旋转x圈，求h关于x的函数表达式.
（3）从a=40开始，螺旋装置顺时针连续旋转2圈，设第1圈使“千斤顶”增高s1，第2圈使“千斤顶”增高s2，试判定s1与s2的大小，并说明理由.若将条件“从a=40开始”改为“从某一时刻开始”，则结果如何，为什么？
（1）连结AC交BD于点O.
∵四边形ABCD为菱形，a=40，∴∠AOB=90°，OA=，OB=20.
在Rt△AOB中，
∵AO+BO=AB，即，∴h=20.
（2）从a=40开始，螺旋装置顺时针旋转x圈，则BD=40﹣x，
∴.∴h=.
（3）s1＞s2．理由如下：
在h=中，
令x=0得，h0=≈44.721；
令x=1得，h1=≈45.596；
令x=2得，h2=≈46.433；
∴s1=h1﹣h0≈0.88，s2=h2﹣h1≈0.84.∴s1＞s2.
若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”，则结论s1＞s2仍成立．
∵，
而2a﹣1＞2a﹣3，，
∴s1＞s2．
5.2 菱形（2）
重点提示：判定一个四边形是菱形有三种方法：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）四条边相等的四边形是菱形.（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意方法（1）和（3）要先利用平行四边形的判定方法证明四边形是平行四边形.
【夯实基础巩固】
1．如图所示，要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（　B　）
　
A．
AC=AD
B．
BA=BC
C．
∠ABC=90°
D．
AC=BD
2．如图所示，小明在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求.连结AC，BC，AD,BD，根据他的作图方法可知，四边形ADBC一定是（　B　）
　
A．
矩形
B．
菱形
C．
正方形
D．
梯形
3．如图所示，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（　A　）
　
A．
AB=BC
B．
AC=BC
C．
∠B=60°
D．
∠ACB=60°
4．下列说法中正确的是（　A　）
　
A．
四边相等的四边形是菱形
　
B．
一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
　
C．
对角线互相垂直的四边形是菱形
　
D．
对角线互相平分的四边形是菱形
5．如图所示是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断（　C　）
　
A．
甲正确，乙错误
B．
甲错误，乙正确
　
C．
甲、乙均正确
D．
甲、乙均错误
6．如图所示，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，请添加一个条件：　AE=EC（答案不唯一）　，使四边形AECF为菱形．
7．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长为　16　．
8．如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF=　90°　．
9．如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．
∵AF∥CD，FG∥AC，
∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG=∠AFC.
∵CE平分∠ACD，∴∠ACF=∠GCF.∴∠ACF=∠AFC.
∴AC=AF.∴四边形ACGF是菱形．
10．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连结BD，CE交于点F．求证：
（1）△ABD≌△ACE.
（2）四边形ABFE是菱形．
（1）由旋转可知∠DAE =∠BAC =40°，∴∠BAD=∠CAE=100°.
∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE.
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）∵∠BAD=∠CAE=100°，AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°.
∴∠BAE=∠BFE.∴四边形ABFE是平行四边形.
∵AB=AE，∴□ABFE是菱形．
【能力提升培优】
11．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，这个条件可以是（　D　）
　
A．
AB//CD
B．
AC⊥BD
　
C．
AC=BD
D．
AD=BC
12.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以cm/s的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t(s)，若四边形QPBP′为菱形，则t的值为（　B　）
　
A．
B．
2
C．
2
D．
4
13．如图所示，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF交AC于点M，连结DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，给出下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数有（　C　）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作□CDEB，当AD=　　，□CDEB为菱形．
15．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连结BG，DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为　15　．
16．如图所示，在四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论中正确的有　②③④　.
①四边形A2B2C2D2是矩形； ②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长为； ④四边形AnBnCnDn的面积是．
17．如图1所示，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC，分别交于点M，H．
（1）求证：CF=CH.
（2）如图2所示，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形，并证明你的结论．
（1）∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．
在△BCF和△ECH中，∵
∴△BCF≌△ECH（ASA）.∴CF=CH.
（2）四边形ACDM是菱形．
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠ACE=∠BCD=45°．
∵∠E=45°，∴∠ACE=∠E.
∴AC∥DE.∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD.
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形ACDM是平行四边形.
∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．
18．如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连结DF．
（1）求证：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形.
（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．
（1）在△ABC和△ADC中，∵
∴△ABC≌△ADC（SSS）.∴∠BAC=∠DAC.
在△ABF和△ADF中，∵
∴△ABF≌△ADF（SAS）.∴∠AFD=∠AFB.
∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE.
（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD.
∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD.∴AD=CD.
∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF.
在△BCF和△DCF中，∵
∴△BCF≌△DCF（SAS）.∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°.
∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD.∴∠EFD=∠BCD．
【中考实战演练】
19．【曲靖】如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连结AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（　B　）
　
A．
正方形
B．
菱形
C．
矩形
D．
无法确定
20．【荆门】如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．
∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC.
∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC.∴∠AEB=∠CFD.
在△AEB和△CFD中，∵
∴△AEB≌△CFD（ASA）.∴AB=CD.
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF.
∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF.
∴AD=CD.∴四边形ABCD是菱形．
【开放应用探究】
21．如图1所示，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连结CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连结E，F，G，H．
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由.
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2所示，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由.
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，不必说明理由．
（1）四边形EFGH是菱形． （2）成立．理由如下：
如图1所示，连结AD，BC． ∵∠APC=∠BPD，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB．
又∵PA=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB.∴AD=CB．
∵E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，
∴EF，FG，GH，EH分别是△ABC，△ABD，△BCD，△ACD的中位线．
∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．
∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．
（3）如图2所示，四边形EFGH是正方形．
5.3 正方形（1）
重点提示：判定一个四边形是正方形的方法一般有两种：一是先判定这个四边形是矩形，再说明它的邻边相等或对角线互相垂直；二是先判定这个四边形是菱形，再说明它有一个角是直角或对角线相等.
【夯实基础巩固】
1．如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是（　C　）
　
A．
平行四边形
B．
菱形
C．
正方形
D．
矩形
2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（　D　）
　
A．
AO=CO
B．
AO=CO=BO=DO
　
C．
AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
D．
AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
3．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2AB，E，F分别是AD，BC的中点，连结AF与BE，CE与DF分别交于点M，N，连结EF，则图中一共有（　D　）个正方形.
　
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
4．甲、乙、丙、丁四位同学到工厂实习，工人师傅拿一把尺子要他们帮助检测一个四边形构件是否为正方形，他们各自做了如下检测：
甲量得构件四边都相等；
乙量得构件的两条对角线相等；
丙量得构件的一组邻边相等；
丁量得构件的四边相等且两条对角线也相等．
检测后，他们都说是正方形，你认为说得最有把握的是（　D　）
　
A．
甲
B．
乙
C．
丙
D．
丁
5．如图所示，将长方形纸片折叠，使点A落BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　A　）
　
A．
邻边相等的矩形是正方形
　
B．
对角线相等的菱形是正方形
　
C．
两个全等的直角三角形构成正方形
　
D．
轴对称图形是正方形
6．如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它一定是　正方形　．
7．如图所示，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点，当AB：AD=　1：2　时，四边形MENF是正方形．
8．如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件　∠ABC=90°　时，四边形BEDF是正方形．
9．如图所示，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别为点E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．
四边形EBFM是正方形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°.
∵MF⊥BC，ME⊥AB，∴∠BFM=∠MEB=90°.
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，∴四边形EBFM为矩形.
∵BM平分∠ABC，∴ME=MF.∴四边形EBFM为正方形．
10．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．
（1）求证：DE=DF．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.又∵D是BC的中点，∴BD=CD.∴△DEB≌△DFC.故DE=DF.
（2）略
【能力提升培优】
11．如图所示，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕所成角的度数为（　C　）
　
A．
22.5°
B．
30°
C．
45°
D．
60°
12．如图所示，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（　B　）
　
A．
30
B．
34
C．
36
D．
40
13．如图所示，在一张3×3的方格纸上，若以格点（即小正方形的顶点）为顶点画正方形，则在该3×3方格纸上最多可画出的正方形的个数是（　D　）
　
A．
13
B．
14
C．
18
D．
20
14．如图所示，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，则∠ACB=　90　度时，四边形AECF是正方形．
15．如图所示，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　3　．
16．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形．
①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”=　 　.
②当菱形的“接近度”=　 　时，菱形就是正方形．
（2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则：
①当菱形的一个内角为60°时，“接近度”=　　.
②当菱形的“接近度”=　 　时，菱形就是正方形．
（3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”的定义，给出了如下两种矩形的“接近度”的定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的打“×”.
①甲：设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a-b|，于是|a-b|越小，矩形越接近于正方形． （ ）②乙：设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． （ ）
16.（1）①40 ②0 （2）① ②1 （3）①× ②√
17．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连结CF．
（1）求证：D是BC的中点.
（2）如果AB=AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形?并证明你的结论．
（1）∵AF=DC，AF∥BC，∴四边形ADCF为平行四边形.∴AF=CD.
∵E为AD的中点，AF∥BD，∴AE=DE，∠AFE=∠DBE.
在△AEF和△DEB中,∵∴△AEF≌△DEB（AAS）.
∴BD=AF.∴BD=CD，即D为BC的中点.
（2）四边形ADCF为矩形.理由如下：
连结AB.∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.∴□ADCF为矩形.
（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形.理由如下：
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=BC=BD=CD.
∴矩形ADCF为正方形．
18．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图1所示），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点D，H重合时，连结AG（如图2所示），求点D到AG的距离.
（2）当α=45°时（如图3所示），求证：四边形MHND为正方形．
（1）作DK⊥AG于点K.
∵CD=CE=DE=2cm，∴△CDE是等边三角形.
∴∠CDE=60°.∴∠ADG=360°﹣2×90°﹣60°=120°．
∵AD=DG=1cm，∴∠DAG=∠DGA=30°.∴DK=DG=cm，
∴点D到AG的距离为cm．
（2）∵α=45°，∴∠NCE=∠NEC=45°.∴CN=NE.
∴∠CNE=90°.∴∠DNH=90°.
∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形.
∵CN=NE，∴DN=NH.∴矩形MHND是正方形．
【中考实战演练】
19．【日照】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：下列四个条件：①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD，请你从中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形（如图所示）.现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　B　）
　
A．
①②
B．
②③
C．
①③
D．
②④
20．如图所示，AB垂直平分CD，并交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为点E，F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB.
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
（1）∵AB是CD的垂直平分线，∴AC=AD.
∵AB⊥CD，∴∠CAB=∠DAB.
（2）∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四边形AEMF是矩形.
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF.∴矩形AEMF是正方形．
【开放应用探究】
21．以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1所示，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2所示，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状（不要求证明）.
（2）如图3所示，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°）.
①试用含α的代数式表示∠HAE.
②求证：HE=HG.
③四边形EFGH是什么四边形？请说明理由．
（1）四边形EFGH的形状是正方形．
（2）①∵在□ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α.
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°.
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣α）=90°+α.
②∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=AB，DG=CD.
∵在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG.
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°.
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE.
∵△AHD是等腰直角三角形，∴HA=HD.
∴△HAE≌△HDG.∴HE=HG．
③四边形EFGH是正方形，理由如下：
由②同理可得GH=GF，FG=FE.
∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE.
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°.
∴四边形EFGH是正方形．
5.3 正方形（2）
重点提示：正方形是最特殊的四边形，它综合了平行四边形、矩形和菱形的所有性质，正方形的四条都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分并且相等，其对角线可以将正方形分成大小不同的八个等腰直角三角形.
【夯实基础巩固】
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　D　）
　
A．
四条边相等
B．
对角线互相垂直平分
　
C．
对角线平分一组对角
D．
对角线相等
2．若正方形的周长为40，则其对角线长为（　C　）
　
A．
100
B．
C．
D．
10
3．如图所示，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE的度数为（　D　）
　
A．
45°
B．
55°
C．
60°
D．
75°
4．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．若∠BEC=80°，则∠EFD的度数为（　C　）
　
A．
20°
B．
25°
C．
35°
D．
40°
5．如图所示，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　B　）
A．n B．n﹣1 C． D．n
6．如图所示，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为　5　．

7．如图所示，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，连结AC，BE相交于点F，则∠BFC=　60　度．
8．如图所示，边长为8的正方形ABCD中，M是BC上的一点，连结AM，作AM的垂直平分线GH交AB于点G，交CD于点H，若CM=2，则GH=　10　．
9．如图所示，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连结BE，DF，DF交对角线AC于点P，且DE=DP．求证：
（1）AE=CP.
（2）BE∥DF．
（1）∵DE=DP，∴∠DEP=∠DPE.
∴∠AED=∠CPD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°.
∴△ADE≌△CDP（AAS）.∴AE=CP.
（2）在△BCE和△DCE中，∵
∴△BCE≌△DCE （SAS）.∴∠BEC=∠DEP.
∴∠BEC=∠DPE.∴BE∥DF．
10．如图所示，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于点F，G， H为EF的中点．求证：
（1）∠DAG=∠DCG.
（2）GC⊥CH．
（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°.
∵DG=DG，∴△ADG≌△CDG.∴∠DAG=∠DCG.
（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BE，
∴∠DAG=∠E.∵∠DAG=∠DCG，∴∠E=∠DCG.
∵H为Rt△CEF斜边EF边的中点，∴CH=HE=EF.
∴∠HCE=∠E，∴∠DCG=∠HCE.
∵∠FCH+∠HCE=90°，
∴∠FCH+∠DCG=90°，即∠GCH=90°.∴GC⊥CH．
【能力提升培优】
11．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AB=2，E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP+EP的最小值是（　C　）
　
A．
B．
2
C．
D．
3
12．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边CD，AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，则下列结论中错误的是（　C　）
　
A．
AE=BF
B．
AE⊥BF
　
C．
AO=OE
D．
S△AOB=S四边形DEOF
13．如图所示，在正方形ABCD中，AD=5，E，F是正方形ABCD内两点，且AE=CF=3，BE=DF=4，则EF的长为（　D　）
A． B． C． D．
14．如图所示，点B，C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为　　．

15．如图所示，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是　　．
16．如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CF上一点，若四边形DBEF是菱形，则∠EBC=　15°　．
【解析】过点D作DG⊥CF于点G.设正方形ABCD的边长为1，则由勾股定理可得BD=.
∵四边形ABCD为正方形，四边形DBEF为菱形，∴DF=BD=，∠DCG=∠CDB=45°.
∵DG⊥CF，∴△CDG为等腰直角三角形.∴DG=.∴在Rt△DFG中，DF=2DG.∴∠F=30°.∴∠DBE=∠F=30°.∴∠EBC=45°-30°=15°.
17．如图所示，G是正方形ABCD的对角线CA延长线上的任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：△EAB≌△GAD.
（2）若AB=3，AG=3，求EB的长．
（1）∵四边形ABCD，AGFE是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG.
∴∠EAB=∠GAD.∴△EAB≌△GAD（SAS）.
（2）∵△EAB≌△GAD，∴EB=GD.
∵四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴BD⊥AC，AC=BD=AB=6.
∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=3.
∵AG=3，∴OG=OA+AG=6.
∴GD=.∴EB=．
18．如图1所示，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点B作BG⊥AE于点G，延长BG至点F，使∠CFB=45°.
（1）求证：AG=FG.
（2）如图2所示，延长FC，AE交于点M，连结DF，BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．
（1）如图1所示，过点C作CH⊥BF于点H.
∵∠CFB=45°，∴CH=HF.
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°，∴∠BAG=∠FBE.
∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB=∠BHC=90°.
又∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC.
∴△AGB≌△BHC.∴AG=BH，BG=CH.
∵BH=BG+GH，∴BH=CH+GH=HF+GH=FG.∴AG=FG.
（2）如图2所示，过点C作CH⊥BF于点H，过点B作BK⊥CM于K，过点D作DQ⊥MF交MF延长线于Q.
∵CH⊥GF，∴CH∥GM.
∵C为FM的中点，∴CH=GM.∴BG=GM.
∵BM=10，∴BG=2，GM=4.
∴AG=4，AB=10.∴HF=2.∴CF=2×=2.∴CM=2.
∵CK=CM=CF=，∴BK=3.∴△BKC≌△CQD.
∴CQ=BK=3，DQ=CK=.
∴QF=3﹣2=，∴DF==2．
【中考实战演练】
19．如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF.给出下列结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，其中正确的结论个数有（　B　）．
　
A．
5个
B．
4个
C．
3个
D．
2个
20．【黄冈】如图所示，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED=　65　度．
【开放应用探究】
21．如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．
（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论.
（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．
（1）OE=OF．理由如下：
∵在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°.
∵AH⊥EB，∴∠AHE=90°.
∴∠HAE+∠AEH=90°.∴∠OBE=∠OAF.
∴△AOF≌△BOE（ASA）.∴OE=OF．
（2）OE=OF仍然成立．理由如下：
如图所示，∵在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°.
∵AH⊥EB，∴∠AHE=90°.
∴∠HAE+∠E=90°.∴∠E=∠F.
∴△AOF≌△BOE（AAS）.∴OE=OF．
∴结论仍然成立．
专题复习一 方程思想与几何计算
重点提示：方程思想是数学重要思想方法，在几何计算中，当直接计算有困难时，列方程解决问题是重要思路，常用于列方程的等量关系有三角形（多边形）的内角和定理、勾股定理等.
【夯实基础巩固】
菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（　C　）
A．25cm2 B．16cm2 C．cm2 D．cm2
2．已知菱形的周长为40，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（　D　）
　
A．
12
B．
24
C．
48
D．
96
3．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF为（　A　）
　
A．
6.5dm
B．
6dm
C．
5.5dm
D．
4dm

4．如图所示，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A=x°，则∠FPC的度数为（　D　）
A．° B．° C．° D．°
5．如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　A　）
　
A．
3cm
B．
4cm
C．
5cm
D．
6cm
6．如图所示，在矩形ABCD中，两个小正方形的面积分别为S1，S2．若S1=4，S2=16，则图中阴影部分面积为　4　．
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B．点P出发　　s后，PA=2PC．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为　（10，3）　．
9．如图所示，P是矩形ABCD内一点，若PA=3，PB=4，PC=5，则PD=　3　．
10．如图所示，等腰三角形CEF的两腰CE，CF的长与菱形ABCD的边长相等，点E,F分别在AB,AD上．
（1）求证：△BEC≌△DFC.
（2）当△ECF是等边三角形时，求∠B的度数．
（1）∵四边形ABCD是菱形.∴CB=CD，且∠B=∠D.
∵△CEF是等腰三角形，∴CE=CF.
∵CE=CB，CF=CD,∴∠B=∠CEB，∠D=∠CFD.
∴∠CEB=∠CFD.∴△BEC≌△DFC（AAS）.
（2）设∠B=x.∵CE=CB，∴∠CEB=∠B=x.∴∠BCE=180﹣2x.
同理∠FCD=180﹣2x.
∵△CEF是等边三角形，∴∠ECF=60°.
∵四边形ABCD是菱形.∴∠B+∠BCD=180°.
∴x+2（180﹣2x）+60°=180°，解得x=80°.
∴∠B=80°．
【能力提升培优】
11．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP等于（　C　）
A．cm B．cm
C．cm D． cm
12．如图所示，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（　B　）
　
A．
2
B．
4
C．
D．
2
13．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速运动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t s△DEF为等边三角形，则t的值为　　．
14．正方形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3按如图所示放置，其中点A1，A2，A3在x轴的正半轴上，点B1，B2，B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为　　．
15．如图所示，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE，△ECF，△ADF的面积分别为2，3，4，则△AEF的面积为　7　．
【解析】设AB=x，BC=y.∵,∴BE=.
∴EC=.∵,∴FC=.
∴DF=.∴.
化简得，即，解得xy=2（舍去）或xy=16.
∴.
16．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果点P，Q分别从点A，C同时出发，设运动时间为t（s）．求：
（1）当t为何值时，四边形ABQP为矩形？
（2）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（1）由题意知AP=t cm，CQ=2t cm，∴BQ=(21﹣2t)cm.
∵AD∥BC，∴AP∥BQ.
又∵∠B=90°，∴要使四边形ABQP为矩形，只需满足AP=BQ，即t=21﹣2t，解得t=7.
∴当t=7时，四边形ABQP为矩形.
（2）由题意知AP=t cm，QC=2t cm，PD=(18﹣t)cm，当PD=QC时，四边形PACD为平行四边形，
即18﹣t=2t，解得t=6.
∴当t=6时，四边形PQCD为平行四边形．
17.如图所示，在矩形ABCD中，AD=6，DC=10，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF，BF．
（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形.
（2）若AE=x，求△EBF的面积S关于x的函数表达式，并判断是否存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°.
∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE.
在Rt△HDG和Rt△AEH中，∵
∴Rt△HDG≌Rt△EAH(HL).
∴∠DHG=∠AEH.∴∠DHG+∠AHE=90°.
∴∠GHE=90°.∴菱形EFGH为正方形.
（2）如图所示，过点F作FM⊥AB交AB的延长线于点M，MF与DC的延长线交于点N，连结GE.
∴FN⊥CD.
∵CD∥AB，∴∠DGE=∠MEG.
∵GH∥EF，∴∠HGE=∠FEG.∴∠DGH=∠MEF.
∴Rt△HDG≌Rt△FME.
∴DH=MF.∴AH=2.∴DH=MF=4.
∵AE=x，∴BE=10﹣x．
∴S△EBF=BE?FM=2（10﹣x）=20﹣2x．
S关于x的函数表达式为S=20﹣2x.
同理可证Rt△AHE≌Rt△FNG，∴FN=AH=2.
∵AH=2，AE=x，∴HE=HG=.
∴DG=.
∴CG=10﹣.∴S△GCF=CG?FN=10﹣.
若△EBF的面积是△CGF面积2倍，则
20﹣2x=2（10﹣）,整理得x2=x2﹣12，此方程无解，
∴不存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍．
【中考实战演练】
18．【安顺】如图所示，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（　A　）
　
A．
B．
C．
D．
6
19．【荆州】如图所示，在矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于点D，则点D的坐标为　（0，2.1）　．
【开放应用探究】
20．如图所示，在正方形ABCD中，DE与HG相交于点O．
（1）如图1所示，若∠GOD=90°，①求证：DE=GH. ②连结EH，求证：GD+EH≥DE.
（2）如图2所示，若∠GOD=45°，AB=4，HG=2，求DE的长．
（1）①如图1所示，过点D作DM//GH交BC的延长线于点M，则四边形GDMH为平行四边形，∴GH=DM，GD=MH，GH∥DM，
∴∠GOD=∠MDE=90°.∴∠MDC+∠EDC=90°.
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠MDC=∠ADE.
∴△ADE≌△CDM.∴DE=DM.∴DE=GH.
②连结EH，EM.∵DM=DE，∠EDM=90°，∴△EDM是等腰直角三角形.
∴EM=DM=GH=DE.
∵MH+EH≥EM，GD=MH，∴EH+GD≥EM.∴GD+EH≥DE.
（2）如图2所示，过点D作DN∥GH交BC于点N，则四边形GHND是平行四边形，
∴DN=HG，GD=HN.
∵∠C=90°，CD=AB=4，HG=DN=2，∴CN==2.
∴BN=BC﹣CN=4﹣2=2.
作∠ADM=∠CDN，DM交BA的延长线于点M，
∴△ADM≌△CDN.
∴AM=NC，∠ADM=∠CDN，DM=DN.
∵∠GOD=45°，∴∠EDN=45°.
∴∠ADE+∠CDN=45°.∴∠ADE+∠ADM=45°=∠MDE.
∴△MDE≌△NDE.
∴EM=EN，即AE+CN=EN.设AE=x，则BE=4﹣x，
在Rt△BEN中，由勾股定理得，解得x=.
∴DE=．
专题复习二 转化思想与特殊四边形问题
重点提示：在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决，因此转化思想在几何证明和计算中是一个重要的数学思想.在解与特殊四边形有关的问题时，常常将问题转化为特殊三角形问题解决.
【夯实基础巩固】
1．如图所示，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE等于（　C　）
　
A．
20°
B．
25°
C．
30°
D．
35°
2．如图所示，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（　C　）
　
A．
98
B．
196
C．
280
D．
284
3．如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的点B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（　D　）
　
A．
12
B．
24
C．
12
D．
16
4．如图所示，P是正方形ABCD的边AB上一点（点P不与点A，B重合），连结PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连结BE，则∠CBE等于（　C　）
　
A．
75°
B．
60°
C．
45°
D．
30°

5．如图所示，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分的面积与四边形EMCN的面积之比为（　C　）
　
A．
4：3
B．
3：2
C．
14：9
D．
17：9
6．如图所示，矩形ABCD的面积是16，EF过矩形ABCD对角线的交点O，阴影部分的面积是　4　．
7．如图所示，正方形ABCD的周长为16cm，则矩形EFCH的周长是　8　cm．
8．如图所示，在菱形ABCD中，边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E，若∠ABC=140°，则∠EDC=　120°　．
9．如图所示，在正方形ABCD中，点H在BC上，EF⊥AH交AB于点E，交AH于点G，交DC于点F．若AB=3，BH=1，求EF的长．
如图所示，作FM⊥AB于点M，则FM=AB=3．
∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.
又∵FM=AB，∴Rt△FME≌Rt△ABH.
∴.
10．在菱形ABCD中，O是对角线的交点，E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC．
（1）求证：四边形OCEF是平行四边形.
（2）连结DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形．
（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BO=DO.
∵E是边CD的中点，∴OE是△BDC的中位线.
∴OEBC.
∵CF=BC，∴OE CF.
∴四边形OCFE是平行四边形.
（2）图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC.
【能力提升培优】
11．如图所示，E，F分别是矩形ABCD的边AD，BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（　C　）
　
A．
15
B．
20
C．
35
D．
40
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（　B　）
A． B． C． D．
13．在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连结AE，BE，FA⊥AE交DP于点F，连结BF，FC．给出下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF. 其中正确的结论有（　D　）
　
A．
①②④
B．
①③④
C．
①②③
D．
①②③④
14．已知正方形ABCD的边长为4，点E在直线CD上，CE=2，点P在边AC上，且PB⊥PE，则PC的长为　 3　．
15．如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点P，AD边上有一点Q，且PQ=BP+DQ，则∠QCP=　45°　．
16．如图所示，P为正方形ABCD内一点，若PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB=　135°　．
17．如图所示，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F分别在边BC，CD上．
（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积.
（2）若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF．
（1）∵在菱形ABCD中，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∵AB=4，∴等边三角形ABC底边上的高为4×=2.
∴菱形ABCD的面积=4×2=8.
（2）如图所示，将△AEC绕点A顺时针旋转60°得到△AE′B，则△AEE′为等边三角形.∴∠AE′E=60°.
∵∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=∠AEC﹣60°.
∵∠BE′E=∠AE′B﹣∠AE′E=∠AE′B﹣60°，∴∠BE′E=∠CEF.
∵∠B=60°，∴∠ECF=180°﹣60°=120°.
∵∠E′BE=∠ABC+∠ABE′=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120°，∴∠E′BE=∠ECF.
在△EE′B和△FEC中，∵∴△EE′B≌△FEC（ASA）.
∴BE=CF.∴BC=CE+BE=CE+CF.
∵AB=BC，∴AB=CE+CF．
18．如图所示，AC是正方形ABCD的对角线，O是AC的中点，Q是AB上一点，连结CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连结OP，OQ.求证：
（1）△BCQ≌△CDP.
（2）OP=OQ．
（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠QBC=∠PCD=90°，BC=CD. ∴∠2+∠3=90°.
又∵DP⊥CQ，∴∠2+∠1=90°.∴∠1=∠3. ∴△BCQ≌△CDP．
（2）如图所示，连结OB．
∵△BCQ≌△CDP，∴BQ=PC.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC.
∵O是AC中点，∴BO=AC=CO,∠4=∠ABC=45°=∠PCO.
在△BOQ和△COP中，∵
∴△BOQ≌△COP.∴OQ=OP．
【中考实战演练】
19．如图所示，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，若∠A=120°，则图中阴影部分的面积是　　．
20．如图所示，在正方形ABCD外取一点E，连结AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，连结BP．若AE=AP=1，PB=．给出下列结论：①△APD≌△AEB﹔②点B到直线AE的距离为﹔③EB⊥ED﹔④S△APD+S△APB=+．其中正确的结论有（　A　）
　
A．
①③④
B．
①②③
C．
②③④
D．
①②④
【开放应用探究】
21．（1）有这样一道习题：如图1所示，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？
根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为　 　和　 　.
（2）如图2所示，点P为□ABCD内一点，过点P分别作AD，AB的平行线分别交□ABCD的四边于点E，F，G，H．已知S□BHPE=3，S□PFDG=5，则S△PAC=　 　.
（3）如图3所示，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重复、无缝隙）．已知①②③④四个平行四边形的面积和为14，四边形ABCD的面积为11，求菱形EFGH的周长．
（1）□AEPH 和□PGCF 或□ABGH 和□EBCF 或□AEFD 和□HGCD.
（2）1
（3）∵①②③④四个平行四边形的面积和为14，
∴
∵四边形ABCD的面积为11，∴
∴
设菱形EFGH的边长为x.
∵菱形的一个内角为30°，∴菱形EFGH的高为.
∴，解得x=6.
∴菱形EFGH的周长为6×4=24.
第5章综合测评卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（　D　）
　
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
2．如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连结AE，CF，则四边形AECF是（　C　）
　
A．
梯形
B．
矩形
C．
菱形
D．
正方形
3．菱形的周长为16，且有一个内角为120°，则此菱形的面积为（　B　）
　
A．
4
B．
8
C．
10
D．
12
4．如图所示，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　C　）
　
A．
14
B．
15
C．
16
D．
17
5．如图所示，已知四边形ABCD是菱形，过顶点D作DE⊥AD，交对角线AC于点E，若∠DAE=20°，则∠CDE的度数是（　C　）
　
A．
70°
B．
60°
C．
50°
D．
40°

6．用直尺和圆规作一个菱形，如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　B　）
　
A．
一组邻边相等的四边形是菱形
　
B．
四边相等的四边形是菱形
　
C．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
　
D．
每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
7．如图所示，过矩形ABCD的对角线BD上任意一点O，分别作矩形两边的平行线EF和GH，图中矩形AHOE的面积记为S1，矩形CGOF的面积记为S2，则S1与S2的大小关系为（　A　）
　
A．
S1=S2
B．
S1＜S2
C．
S1＞S2
D．
无法确定
8．如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　D　）
A．-1 B． C． D．
9．如图所示，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B，C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则AE﹣GF的值为（　B　）
A．1 B． C． D．
10．如图所示，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB=4，BC=6，AE=CG=3，BF=DH=4，四边形AEPH的面积为5，则四边形PFCG的面积为（　D　）
　
A．
5
B．
6
C．
7
D．
8
【解析】如图所示，分别过点P作AD，AB的垂线MN,QR，与矩形ABCD的边分别交于点M,N,Q,R.设PM=x，PQ=y，则由题意可得PN=4-x，PR=6-y.
∵AH=CF=2，AE=CG=3，∴ ，
二、填空题（每题4分，共24分）
11．木工师傅做一个宽60cm，高80cm的矩形木框，为稳固起见，制作时需要在对角顶点间加一根木条，则木条的长为　100　cm．
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF=FC，则四边形DBFE的面积为　6　cm2．
13．如图所示，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠E=__67.5°__．
14．如图所示，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连结BF，DF，则BE：CF的值为　　．
15．如图所示，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，P是对角线AC上的一个动点，M，N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是 5 ．
16．如图所示，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=2，则AB=　1+　．
三、解答题（共66分）
17．（6分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连结EB，ED．求证：∠BEC=∠DEC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠DCA=∠BCA.
在△BEC与△DEC中，∵
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
∴∠BEC=∠DEC．
18．（8分）如图所示，已知菱形ABCD的对角线交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连结CE.
（1）求证：BD=EC.
（2）若∠E=50° ，求∠BAO的度数.
（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝CD,AB∥CD.
又∵BE=AB，∴四边形BECD是平行四边形.∴BD=EC.
（2）∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE.
∴∠ABO＝∠E＝50°.
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.
19．（8分）如图所示，在□ABCD中，点E，F分别在AB，AD延长线上，使得EF∥BD，连结EF，分别交BC，CD于点P，Q，已知BE=BP．求证：
（1）∠E=∠F.
（2）□ABCD是菱形．
（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD.
∴∠BPE=∠F.∴∠E=∠F.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠DQF=∠E.
∵∠E=∠F，∠BPE=∠E，∴∠BPE=∠DQF.
∵EF∥BD，∴∠CBD=∠BPE，∠BDC=∠DQF.
∴∠CBD=∠CDB.∴BC=DC.∴□ABCD是菱形．
20．（10分）如图所示，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1）若CE=1，求BC的长.
(2）求证AM=DF+ME.
（1）∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD,AB∥CD.∴∠1=∠ACD .
∵∠1=∠2 ，∴∠2=∠ACD .∴MC=MD .
∵ME⊥CD ，∴CD=2CE=2 .∴BC=CD=2.
(2) 延长DF,BA交于点G.
∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠DCA .
∵BC=2CF,CD=2CE，∴CE=CF.
∵CM=CM，∴△CEM≌△CFM. ∴ME=MF.
∵AB∥CD，∴∠2=∠G, ∠GBF=∠BCD.
∵CF=BF，∴△CDF≌△BGF.∴DF=GF.
∵∠1=∠2, ∠G=∠2，∴∠1=∠G.
∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.
21．（10分）已知△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形，且点B，C，D，E在同一直线上，连结AD，CF．若BD=3cm，△ABC沿着BE的方向以1cm/s的速度运动，设△ABC运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ADFC是菱形．
（2）当t为何值时，四边形ADFC是矩形？并求其面积．
（3）当t为何值时，四边形ADFC的面积是100cm2？
（1）当t=3时，□ADFC是菱形．理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个边长为10cm的等边三角形．
∴AC=DF，∠ACD=∠FDE=60°.∴AC∥DF.
∴四边形ADFC是平行四边形.
当t=3时， B与D重合，∴AD=DF.∴四边形ADFC是菱形.
（2）当t=13时，四边形ADFC是矩形．理由如下：
此时B与E重合，∴AF=CD.又由（1）知四边形ADFC为平行四边形，∴□ADFC是矩形.
∴∠CFD=90°，CF=10cm.
∴S矩形ADFC=10×10=100(cm2).
（3）①B，D重合前，（7﹣t）×5÷2×2=100，解得t=﹣13（不合题意,舍去）.
②B，D重合时，t=3，10×5÷2×2≠100（不合题意，舍去）.
③B，D重合后，（t+7）×5÷2×2=100，解得t=13．
综上所述，当t为13时，□ADFC的面积是100cm2．
22．（12分）如图所示，∠MON=90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1．
（1）连结D1D，求证：∠D1DA=90°.
（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论.
（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1），（2）的结论，再做出一个合理的判断．
（1）∵∠D1AD+∠B1AD=90°，∠OAB1+∠B1AD=90°，
∴∠B1AO=∠D1AD.
∵AD1=AB1，AO=AD，
∴△OAB1≌△DAD1.∴∠D1DA=∠O=90°.
（2）猜想：∠C1CN=45°．
证明：如图1所示，连结C1C，作C1H⊥ON于点H，作C1G⊥CD1于点G，则有C1G=CH．
∵∠C1D1C+∠AD1D=90°，∠C1B1H+∠AB1O=90°，
∴∠C1D1C=∠C1B1H.
∵C1D1=B1C1，∠C1GD1=∠C1HB1=90°，
∴△C1GD1≌△C1 H B1.∴C1G=C1H.
又∵CH=C1G，∴△CHC1是等腰直角三角形.∴∠C1CN=45°．
（3）如图2所示，结论：∠ADD2=90°或∠C2CN=45°均可．
23．（12分）在平面直角坐标系中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C，D都在第一象限．
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标.
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上.
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
（1）当∠BAO=45°时，∠PAO=90°，在Rt⊿AOB中，OA＝AB＝，在Rt⊿APB中，PA＝AB＝.
∴点P的坐标为.
（2）如图所示，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则有
∠PMA=∠PNB=∠NPM=∠BPA=90°.
∴∠MPA=∠NPB.又PA＝PB，
∴△PAM≌△PBN.∴PM=PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
（3）＜h≤.当点B与点O重合时，点P到x轴的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到x轴的距离逐渐增大，当∠BAO=45°时，PA⊥x轴，这时点P到x轴的距离最大为，然后又逐渐减小到，∵x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，∴点P到x轴的距离的取值范围是＜h≤.