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第1讲 二次根式的概念及性质复习
一、知识回顾:
一、二次根式的概念
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
二、二次根式的性质
1.双重非负性：≥0，a≥0.
2. ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式。 【来源：21·世纪·教育·网】
3.
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．
二、经典例题
考点一、二次根式概念的判别
例1. 下列各式中，那些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )；（6） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（7） ( http: / / www.21cnjy.com )；（8） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )、（3） ( http: / / www.21cnjy.com )、（6） ( http: / / www.21cnjy.com )符合二次根式的定义，属于二次根式；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，无意义，不是二次根式；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )属于三次根式；
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，被开方数是正数，属于二次根式；
（7） ( http: / / www.21cnjy.com )的被开方数是负数时，它无意义，不是二次根式；
（8） ( http: / / www.21cnjy.com )的被开方数是负数，无意义，不是二次根式．
考点二、二次根式有意义
例2. 当x取什么样的值时，下列二次根式有意义？写出简单过程．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )，由x﹣5≥0得，x≥5；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )，由2﹣4x≥0得，x≤ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )，由3x+4＞0得，x＞﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )，由2x﹣4＞0得，x＞2．
例3. ( http: / / www.21cnjy.com )，求：x﹣20082的值．
【解答】解：∵x﹣2009≥0，∴x≥2009，
则原式可化简为：x﹣2008+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x，
即： ( http: / / www.21cnjy.com )=2008，
∴x﹣2009=20082，
∴x﹣20082=2009．
例4. 若m适合关系式： ( http: / / www.21cnjy.com )，求m的值．
【解答】解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则x+y﹣199=0，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故m=201．
例5. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a b满足b=4+ ( http: / / www.21cnjy.com )+3 ( http: / / www.21cnjy.com )，求此三角形的周长．
【解答】解：由题意得，3a﹣6≥0，2﹣a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a=2，
则b=4，
∵2+2=4，∴2、2、4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+4+4=10．
考点三、二次根式定义的应用
例6. 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )是整数，求正整数n的最大值和最小值．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )是整数，
∴13﹣n≥0，∴解得：n≤13，
∴正整数n的最大值为：13，最小值为：4．
例7. （1）已知一个数的平方根是2a﹣3和4﹣a，求这个数．
（2）已知y= ( http: / / www.21cnjy.com )+9x，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方根．
【解答】解：（1）由题意得：2a﹣3+4﹣a=0，
解得：a=﹣1；
这个数是（4+1）2=25；
（2）由题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则y=9× ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
2的平方根是± ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点四、二次根式的整数部分与小数部分
例8. 设a为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，b为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：∵2＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜3，a为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
∵b为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，2＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜3
∴b= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点五、二次根式的双重非负性
例9. 把x ( http: / / www.21cnjy.com )根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：由x ( http: / / www.21cnjy.com )可知x＜0，
所以x ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
例10. 已知y= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，化简|1﹣4y|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
【解答】解：y= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴1﹣x≥0，2x﹣2≥0，
∴x=1，
代入得：y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴原式=|1﹣4× ( http: / / www.21cnjy.com )|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点六、二次根式的性质公式的运用
例11. 想一想：将等式 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )反过来的等式 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )还成立吗？式子： ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )成立吗？仿照上面的方法，化简下列各式：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )（2） ( http: / / www.21cnjy.com )（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：成立，
（1）2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（2）11 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（3）6 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点七、公式的应用
例12. 有这样一类题目：将 ( http: / / www.21cnjy.com )化简，如果你能找到两个数m、n，使记m2+n2=a，并且mn= ( http: / / www.21cnjy.com )，则将a±2 ( http: / / www.21cnjy.com )，变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得 ( http: / / www.21cnjy.com )化简．
例如：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )．
因为3+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=1+2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=12+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )
仿照上例化简下列各式：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）原式
= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）原式
= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例13. 如图，实数a、b在数轴上的位置，化简： ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=|a|﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，
=（﹣a）﹣b+a﹣b，
=﹣2b．
例14. 已知实数a满足 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，求a﹣20132的值．（提示：a﹣2014≥0，即a≥2014）
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得a﹣2014≥0，解得a≥2014，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，
∴a﹣2013+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=2013，
∴a=20132+2014，
∴a﹣20132=2014．
例15. （利用 ( http: / / www.21cnjy.com )解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简： ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c=4c．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 若实数a，b满足 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=3， ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=3k，则k的取值范围是（ ）
A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1
2. 若实数a满足方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，则[a]=（ ），其中[a]表示不超过a的最大整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
3. 若1＜x＜3，则|x﹣3|+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
4. 若a＜0，则化简 ( http: / / www.21cnjy.com )得（ ）
A．a ( http: / / www.21cnjy.com ) B．﹣a ( http: / / www.21cnjy.com ) C．a ( http: / / www.21cnjy.com ) D．﹣a ( http: / / www.21cnjy.com )
5. 下列五个等式中一定成立的有（ ）
① ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )；③ ( http: / / www.21cnjy.com )；
④a0=1；⑤ ( http: / / www.21cnjy.com )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6. 已知1≤a≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )+|a﹣2|的结果是（ ）
A．2a﹣3 B．2a+3 C．3 D．1
7. 下列各式是否为二次根式？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )．
8. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
9. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则x= ；若x2=（﹣3）2，则x= ；若（x﹣1）2=16，x= ．
10. 若3＜x＜4，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )+|5﹣x|的正确结果是 ．
11. 化简求值如图，化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）先化简，再求值：（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )其中x= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
( http: / / www.21cnjy.com )
12. 化简：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
13. 设正整数a、m、n满足 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，则这样的a、m、n的取值（ ）
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
14. 某校研究性学习小组在学习二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com )=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+ ( http: / / www.21cnjy.com )的结果为2a﹣1
B．当a+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
C．a+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为 ( http: / / www.21cnjy.com )
D．若 ( http: / / www.21cnjy.com )=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，则字母a必须满足a≥1
15. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )=5，则m= ．
16. 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )…则第四个式子为 ，第n个式子为 ．
17. 已知x是正整数，且 ( http: / / www.21cnjy.com )是整数，求x的最小值．
18. 已知：y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2016，求x+y的平方根．
19. 若实数a满足|2016﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，求a﹣20162的值．
C组 培优精英
20. 已知：n是正整数且 ( http: / / www.21cnjy.com )是整数．
（1）求n的最小值；
（2）试写出满足 ( http: / / www.21cnjy.com )≤2107的n的所有可能值．
21. 设 ( http: / / www.21cnjy.com )，
求m10+m9+m8+…+m﹣47的值．
22. 如果一个三角形的三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )、k、 ( http: / / www.21cnjy.com )，则化简 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
23. 计算：
( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
24. 探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时，有式①： ( http: / / www.21cnjy.com )；n=3时，有式②： ( http: / / www.21cnjy.com )；
式①验证：
( http: / / www.21cnjy.com )
式②验证：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 已知0＜x＜1，那么在x， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，x2中最大的是（ ）
A．x B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．x2
2. 如果 ( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式，那么x应满足（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
3. 下列各式： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
4. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （2） ( http: / / www.21cnjy.com ) （3） ( http: / / www.21cnjy.com ) （4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 计算： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2= 2009 ．
6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
7. 判断题：
甲、乙两人计算算式x+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值，当x=3的时候，得到不同的答案，其中甲的解答是x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+1﹣x=1；乙的解答是x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+x﹣1=5
哪一个答案是正确的？为什么？对的说出理由，错的指出错误的原因．
( http: / / www.21cnjy.com )
8. 已知点M（﹣4x﹣5，3﹣x）在第二象限，化简|﹣4x﹣5|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
9. 计算： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
10. 若a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
11. 将式子写成完全平方的形式：
如：5+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=3+2 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+2 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2；
7+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+2× ( http: / / www.21cnjy.com )×1+12=（ ( http: / / www.21cnjy.com )+1）2
请变形：（1）7 ( http: / / www.21cnjy.com )；（2）7+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；（3）4+2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
12. （1）已知y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+8x，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方根．
（2）当﹣4＜x＜1时，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
13. 已知a，b，c为一个三角形的三边长，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|b﹣c﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
14. 计算：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
（2）思考：通过上述计算，可以发现什么规律？并运用发现的规律计算：
① ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )；③ ( http: / / www.21cnjy.com )．
C组 培优精英
15. 若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )得（ ）
A．7 B．2x+2y﹣7 C．11 D．9﹣4y
16. 已知， ( http: / / www.21cnjy.com )，且x、y均为整数，求x+y的值．
17. 化简： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) （a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )b＞0）．
18. 已知关于x，y的方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解都不大于1．
（1）求m的范围．
（2）化简：
( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
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第1讲 二次根式的概念及性质复习
一、知识回顾:
一、二次根式的概念
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．
二、二次根式的性质
1.双重非负性：≥0，a≥0.
2. ．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式。 【来源：21·世纪·教育·网】
3.
注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式与的区别与联系
（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．
（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．
（3）和的运算结果都是非负的．
二、经典例题
考点一、二次根式概念的判别
例1. 下列各式中，那些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )；（6） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（7） ( http: / / www.21cnjy.com )；（8） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )、（3） ( http: / / www.21cnjy.com )、（6） ( http: / / www.21cnjy.com )符合二次根式的定义，属于二次根式；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，无意义，不是二次根式；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )属于三次根式；
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，被开方数是正数，属于二次根式；
（7） ( http: / / www.21cnjy.com )的被开方数是负数时，它无意义，不是二次根式；
（8） ( http: / / www.21cnjy.com )的被开方数是负数，无意义，不是二次根式．
考点二、二次根式有意义
例2. 当x取什么样的值时，下列二次根式有意义？写出简单过程．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )，由x﹣5≥0得，x≥5；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )，由2﹣4x≥0得，x≤ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )，由3x+4＞0得，x＞﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )，由2x﹣4＞0得，x＞2．
例3. ( http: / / www.21cnjy.com )，求：x﹣20082的值．
【解答】解：∵x﹣2009≥0，∴x≥2009，
则原式可化简为：x﹣2008+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x，
即： ( http: / / www.21cnjy.com )=2008，
∴x﹣2009=20082，
∴x﹣20082=2009．
例4. 若m适合关系式： ( http: / / www.21cnjy.com )，求m的值．
【解答】解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则x+y﹣199=0，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故m=201．
例5. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a b满足b=4+ ( http: / / www.21cnjy.com )+3 ( http: / / www.21cnjy.com )，求此三角形的周长．
【解答】解：由题意得，3a﹣6≥0，2﹣a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a=2，
则b=4，
∵2+2=4，∴2、2、4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+4+4=10．
考点三、二次根式定义的应用
例6. 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )是整数，求正整数n的最大值和最小值．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )是整数，
∴13﹣n≥0，∴解得：n≤13，
∴正整数n的最大值为：13，最小值为：4．
例7. （1）已知一个数的平方根是2a﹣3和4﹣a，求这个数．
（2）已知y= ( http: / / www.21cnjy.com )+9x，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方根．
【解答】解：（1）由题意得：2a﹣3+4﹣a=0，
解得：a=﹣1；
这个数是（4+1）2=25；
（2）由题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则y=9× ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
2的平方根是± ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点四、二次根式的整数部分与小数部分
例8. 设a为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，b为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：∵2＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜3，a为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
∵b为 ( http: / / www.21cnjy.com )的小数部分，2＜ ( http: / / www.21cnjy.com )＜3
∴b= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点五、二次根式的双重非负性
例9. 把x ( http: / / www.21cnjy.com )根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) D．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：由x ( http: / / www.21cnjy.com )可知x＜0，
所以x ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：C．
例10. 已知y= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，化简|1﹣4y|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
【解答】解：y= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴1﹣x≥0，2x﹣2≥0，
∴x=1，
代入得：y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴原式=|1﹣4× ( http: / / www.21cnjy.com )|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点六、二次根式的性质公式的运用
例11. 想一想：将等式 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )反过来的等式 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )还成立吗？式子： ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )成立吗？仿照上面的方法，化简下列各式：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )（2） ( http: / / www.21cnjy.com )（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：成立，
（1）2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（2）11 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（3）6 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点七、公式的应用
例12. 有这样一类题目：将 ( http: / / www.21cnjy.com )化简，如果你能找到两个数m、n，使记m2+n2=a，并且mn= ( http: / / www.21cnjy.com )，则将a±2 ( http: / / www.21cnjy.com )，变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得 ( http: / / www.21cnjy.com )化简．
例如：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )．
因为3+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=1+2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=12+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )
仿照上例化简下列各式：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）原式
= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）原式
= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例13. 如图，实数a、b在数轴上的位置，化简： ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：由数轴知，a＜0，且b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=|a|﹣|b|﹣[﹣（a﹣b）]，
=（﹣a）﹣b+a﹣b，
=﹣2b．
例14. 已知实数a满足 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，求a﹣20132的值．（提示：a﹣2014≥0，即a≥2014）
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得a﹣2014≥0，解得a≥2014，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，
∴a﹣2013+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=2013，
∴a=20132+2014，
∴a﹣20132=2014．
例15. （利用 ( http: / / www.21cnjy.com )解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简： ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c=4c．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 若实数a，b满足 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=3， ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=3k，则k的取值范围是（ ）
A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1
【解答】解：若实数a，b满足 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=3，又有 ( http: / / www.21cnjy.com )≥0， ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
故有0≤ ( http: / / www.21cnjy.com )≤3 ①，0≤ ( http: / / www.21cnjy.com )≤3，则
﹣3≤ ( http: / / www.21cnjy.com )≤0 ②
①+②可得﹣3≤ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )≤3，又有 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=3k，
即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．故选C．
2. 若实数a满足方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，则[a]=（ ），其中[a]表示不超过a的最大整数．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，可得a≥1．
原方程可以变形为：
a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，两边同平方得：
a2+1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2a ( http: / / www.21cnjy.com )=a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，a2+1﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )=a．
a2﹣a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1=0，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )=1，
∴a2﹣a=1，a= ( http: / / www.21cnjy.com )（负值舍去）．
a≈1.618．
所以[a]=1，故选B．
3. 若1＜x＜3，则|x﹣3|+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
【解答】解：∵1＜x＜3，
∴|x﹣3|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=3﹣x+x﹣1=2．
故选：D．
4. 若a＜0，则化简 ( http: / / www.21cnjy.com )得（ ）
A．a ( http: / / www.21cnjy.com ) B．﹣a ( http: / / www.21cnjy.com ) C．a ( http: / / www.21cnjy.com ) D．﹣a ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：∵a＜0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣a ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：B．
5. 下列五个等式中一定成立的有（ ）
① ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )；③ ( http: / / www.21cnjy.com )；
④a0=1；⑤ ( http: / / www.21cnjy.com )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：① ( http: / / www.21cnjy.com )的条件是a≥0，故①不一定成立；
②当a＜0时， ( http: / / www.21cnjy.com )不成立，故②不一定成立；
③ ( http: / / www.21cnjy.com )一定成立；
④a0=1的条件是a不等于0，故④不一定成立；
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，故⑤错误．
故选：A．
6. 已知1≤a≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )+|a﹣2|的结果是（ ）
A．2a﹣3 B．2a+3 C．3 D．1
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )+|a﹣2|
= ( http: / / www.21cnjy.com )+|a﹣2|
=|a﹣1|+|a﹣2|
∵1≤a≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴原式=a﹣1+2﹣a=1．
故选：D．
7. 下列各式是否为二次根式？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）∵m2≥0，∴m2+1＞0
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式．
（2）∵a2≥0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式；
（3）∵n2≥0，∴﹣n2≤0，
∴当n=0时 ( http: / / www.21cnjy.com )才是二次根式，
故不是二次根式；
（4）当a﹣2≥0时是二次根式，当a﹣2＜0时不是二次根式；即当a≥2是二次根式，当a＜0时不是二次根式，故不是二次根式；21教育网
（5）当x﹣y≥0时是二次根式，当x﹣y＜0时不是二次根式；即当x≥y是二次根式，当x＜y时不是二次根式，故不是二次根式．21cnjy.com
8. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）∵二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com )有意义，
∴x﹣2＜0．
解得：x＜2．
（2）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )有意义，
∴x≥0且1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )≠0．
解得：x≥0且x≠1．
（3）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )有意义，
∴3﹣x≥0，x﹣2＞0，x﹣2.5≠0．
解得：2＜x≤3且x≠2.5．
9. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则x= ；若x2=（﹣3）2，则x= ；若（x﹣1）2=16，x= ．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )=5，
∴x2=25，
∴x=±5，
∵x2=（﹣3）2=9，
∴x=±3，
∵（x﹣1）2=16，
∴x﹣1=±4，
∴x=5或﹣3，
故答案为：±5，±3，5或﹣3．
10. 若3＜x＜4，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )+|5﹣x|的正确结果是 ．
【解答】解：∵3＜x＜4，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+|5﹣x|
=|x﹣3|+|5﹣x|
=x﹣3+5﹣x
=2．
故答案为：2．
11. 化简求值如图，化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）先化简，再求值：（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )其中x= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）根据数轴可知，b＜a＜0，c＞0，|c|＞|b|＞|a|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，c+b＞0，
原式=﹣a﹣（﹣a﹣b）+（c﹣a）+c+b，
=﹣a+a+b+c﹣a+c+b，
=2b+2c﹣a．
解：（2）当x= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1时，
原式= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
=2．
12. 化简：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=3+ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
13. 设正整数a、m、n满足 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，则这样的a、m、n的取值（ ）
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
【解答】解：∵4 ( http: / / www.21cnjy.com )=1×2×2× ( http: / / www.21cnjy.com )=2×2× ( http: / / www.21cnjy.com )=2×1×2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a2﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )=m+n﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴m+n=a2， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵a、m、n为正整数，
∵8=1×8=2×4，
∴①若8=1×8则a2=m+n=9，∴a=3满足，
又m＞n，∴m=8，n=1，a=3；
②若8=2×4，则a2=m+n=6，∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )，不满足题意；
∴这样的a、m、n的取值有一组，
14. 故选A．
15. 某校研究性学习小组在学习二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com )=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+ ( http: / / www.21cnjy.com )的结果为2a﹣1
B．当a+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
C．a+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为 ( http: / / www.21cnjy.com )
D．若 ( http: / / www.21cnjy.com )=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，则字母a必须满足a≥1
【解答】解：A．原式=a+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a+|a﹣1|当a＞1时，原式=a+a﹣1=2a﹣1，故A正确；
B．原式=a+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a+|a﹣1|，当a≤1时，原式=a+|a﹣1|=a+1﹣a=1，故B正确；
C．当a＞1时，原式=2a﹣1＞1；当a≤1时，原式=1，故C错误；
D．由 ( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0），可知D正确．
故选：C．
16. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )=5，则m= ．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=5，
∴（2m﹣1）2=25，
∴2m﹣1=±5，
∴m=3或﹣2，
故答案为：3或﹣2．
17. 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )…则第四个式子为 ，第n个式子为 ．21·cn·jy·com
【解答】解：第四个式子为 ( http: / / www.21cnjy.com )=5× ( http: / / www.21cnjy.com )，
第n个式子为 ( http: / / www.21cnjy.com )=n× ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )=5× ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com )=n× ( http: / / www.21cnjy.com )．
18. 已知x是正整数，且 ( http: / / www.21cnjy.com )是整数，求x的最小值．
【解答】解：∵12=4×3，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是整数的正整数x的最小值是3．
19. 已知：y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2016，求x+y的平方根．
【解答】解：∵y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2016，
∴x﹣2017≥0且2017﹣x≥0，
∴x≥2017且x≤2017，
∴x=2017，
y=﹣2016，
∴x+y=2017﹣2016=1，
∴x+y的平方根是±1．
20. 若实数a满足|2016﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，求a﹣20162的值．
【解答】解：由题意，得
a≥2017，
原式化简，得
a﹣2016+ ( http: / / www.21cnjy.com )=a，
( http: / / www.21cnjy.com )=2016
a﹣2017=20162，
a﹣20162=2017．
C组 培优精英
21. 已知：n是正整数且 ( http: / / www.21cnjy.com )是整数．
（1）求n的最小值；
（2）试写出满足 ( http: / / www.21cnjy.com )≤2107的n的所有可能值．
【解答】解：（1）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=7 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是整数时n的最小值是43；
（2）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )≤2107，
∴n≤2107，
∴n的所有可能值是43，172，387，688，1075，1548，2064，2017．
22. 设 ( http: / / www.21cnjy.com )，
求m10+m9+m8+…+m﹣47的值．
【解答】解：∵1≤a≤2，0≤a﹣1≤1，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴m10+m9+m8+…+m﹣47=（m10+m9+m8+…+m+1）﹣48
= ( http: / / www.21cnjy.com )
=2048﹣1﹣48=1999．
注：此题可利用关系式20+21+…+2n=2n+1﹣1，运算将更简单．
23. 如果一个三角形的三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )、k、 ( http: / / www.21cnjy.com )，则化简 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )、k、 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＜k＜ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴3＜k＜4，
( http: / / www.21cnjy.com )﹣|2k﹣5|，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|2k﹣5|，
=6﹣k﹣（2k﹣5），
=﹣3k+11，
=11﹣3k，
故选D．
24. 计算：
( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】：
( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )+1+ ( http: / / www.21cnjy.com )+1+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+1+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=1×2003+（1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
=2003+（1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
=2003+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=2003 ( http: / / www.21cnjy.com )．
25. 探索规律
观察下列各式及验证过程：n=2时，有式①： ( http: / / www.21cnjy.com )；n=3时，有式②： ( http: / / www.21cnjy.com )；
式①验证：
( http: / / www.21cnjy.com )
式②验证：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）针对上述式①、式②的规律，请写出n=4时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 已知0＜x＜1，那么在x， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，x2中最大的是（ ）
A．x B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．x2
【解答】解：当x=0.01时， ( http: / / www.21cnjy.com )=100， ( http: / / www.21cnjy.com )=0.1，x2=0.0001，故选B．
2. 如果 ( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式，那么x应满足（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )是二次根式，
∴x﹣2≥0，解得x≥2．
故选A．
3. 下列各式： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )+2都是二次根式，因为它们都含有二次根号，且被开方数都是非负数．
( http: / / www.21cnjy.com )虽然含有根号，但根指数不是2，所不是二次根式．
﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x不含二次根号，不是二次根式．
( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )中，不能确定被开方数是非负数，当a＜0时 ( http: / / www.21cnjy.com )无意义；当x+1＜0时 ( http: / / www.21cnjy.com )无意义，所 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )不一定是二次根式．
在 ( http: / / www.21cnjy.com )中，﹣4＜0， ( http: / / www.21cnjy.com )没有意义，故不是二次根式．
在 ( http: / / www.21cnjy.com )（x＞ ( http: / / www.21cnjy.com )）中，1﹣2x＜0， ( http: / / www.21cnjy.com )无意义，故不是二次根式．
在 ( http: / / www.21cnjy.com )，无论a为任何数，﹣2﹣a2总是负数， ( http: / / www.21cnjy.com )没有意义，故不是二次根式．
4. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （2） ( http: / / www.21cnjy.com ) （3） ( http: / / www.21cnjy.com ) （4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）∵二次根式有意义，
∴x≥0．
（2）∵二次根式有意义，
∴﹣x≥0．
∴x≤0．
（3）∵二次根式有意义，
∴x+2≥0．
∴x≥﹣2．
（4）∵二次根式有意义，
∴1﹣2x≥0．
∴x ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 计算： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2= 2009 ．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（2010）2，
=2010×2011﹣1﹣（2010）2，
=2009．
故答案为：2009．
6. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴：|a|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
=|a|﹣|a|﹣|b|
=﹣|b|
=﹣b．
7. 判断题：
甲、乙两人计算算式x+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值，当x=3的时候，得到不同的答案，其中甲的解答是x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+1﹣x=1；乙的解答是x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=x+x﹣1=5
哪一个答案是正确的？为什么？对的说出理由，错的指出错误的原因．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：乙的结果对，
∵x=3，
∴1﹣x＜0且 ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )=x﹣1，而不是 ( http: / / www.21cnjy.com )=1﹣x，
∴乙的答案是正确的，甲的答案是错误的．
8. 已知点M（﹣4x﹣5，3﹣x）在第二象限，化简|﹣4x﹣5|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：∵点M（﹣4x﹣5，3﹣x）在第二象限，
∴﹣4x﹣5＜0，3﹣x＞0，
原式=|﹣4x﹣5|﹣|3﹣x|
=4x+5﹣3+x
=5x+2
B组 能力提高
9. 计算： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
【解答】解：
1+20122+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵20132+20132 20122+20122=2013×（2012+1）+（2013×2012）2+2012×（2013﹣1），
=（2013×2012）2+2×（2012×2013）+1，
=（2013×2012+1）2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
=2012+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
=2012．
故答案为：2012．
10. 若a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：由数轴上各点的位置可知，a＜b＜0，c＞0，|a|＞|b|＞c，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣a；|a﹣b|=b﹣a；|a+b|=﹣（a+b）；|﹣3c|=3c；|a+c|=﹣（a+c）；
故原式= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3．
故答案是：3．
11. 将式子写成完全平方的形式：
如：5+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=3+2 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+2 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2；
7+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+2× ( http: / / www.21cnjy.com )×1+12=（ ( http: / / www.21cnjy.com )+1）2
请变形：（1）7 ( http: / / www.21cnjy.com )；（2）7+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；（3）4+2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）7 ( http: / / www.21cnjy.com )=22+2× ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）7+2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+2× ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（3）4+2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+2× ( http: / / www.21cnjy.com )+12= ( http: / / www.21cnjy.com )．
12. （1）已知y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+8x，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方根．
（2）当﹣4＜x＜1时，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）∵y= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+8x，
∴2x﹣1=0，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴y=4，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
4的平方根是±2．
故 ( http: / / www.21cnjy.com )的平方根是±2．
（2）∵﹣4＜x＜1，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )
=|x+4|﹣2|x﹣1|
=x+4+2（x﹣1）
=x+4+2x﹣2
=3x+2．
13. 已知a，b，c为一个三角形的三边长，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|b﹣c﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：∵a，b，c为一个三角形的三边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣|b﹣c﹣a|+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=a+b+c+a+b﹣c﹣a﹣c+b+b+c﹣a
=4b．
14. 计算：
（1）
( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ． ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
（2）思考：通过上述计算，可以发现什么规律？并运用发现的规律计算：
① ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )；③ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )=|3|=3； ( http: / / www.21cnjy.com )=|0|=0； ( http: / / www.21cnjy.com )=| ( http: / / www.21cnjy.com )|= ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com )=|﹣2|=2； ( http: / / www.21cnjy.com )=|﹣5|=5．2·1·c·n·j·y
故答案为：3；0； ( http: / / www.21cnjy.com )；2；5．
（2）① ( http: / / www.21cnjy.com )=|3﹣π|=π﹣3；② ( http: / / www.21cnjy.com )=|a﹣1|=1﹣a；③ ( http: / / www.21cnjy.com )=|2﹣x|= ( http: / / www.21cnjy.com )．
C组 培优精英
15. 若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简 ( http: / / www.21cnjy.com )得（ ）
A．7 B．2x+2y﹣7 C．11 D．9﹣4y
【解答】解：∵x﹣y+1=0，
∴y=x+1，
∵1＜y＜2，
∴1＜x+1＜2，
∴0＜x＜1，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
=|2x+1|+2|x﹣3|，
=2x+1+2（3﹣x），
=7，
故选A．
16. 已知， ( http: / / www.21cnjy.com )，且x、y均为整数，求x+y的值．
【解答】解：由题意知：20≤x≤30，
又因为x，y均为整数，
所以x﹣20，30﹣x均需是一个整数的平方，
所以x﹣20=1，30﹣x=1，
故x只能取21或29，
当x=21时，y=4，x+y的值为25；
当x=29时，y=4，x+y的值为33．
故x+y的值为25或33．
17. 化简： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) （a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )b＞0）．
【解答】解：原式= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=| ( http: / / www.21cnjy.com )+a|﹣|b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|
∵a＞ ( http: / / www.21cnjy.com )b＞0，
∴b＜ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com )+a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+b=a+b．
18. 已知关于x，y的方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解都不大于1．
（1）求m的范围．
（2）化简：
( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）由①+②，得
6x=m+1，即x= ( http: / / www.21cnjy.com )；
由①﹣②，得
4y=1﹣m，解得，y= ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com )
∵关于x，y的方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解都不大于1．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
解③，得m≤5，
解③，得m≥﹣3；
∴m的范围是﹣3≤m≤5；
（2）∵x≤1，y≤1，﹣3≤m≤5，
∴x﹣1≤0，y﹣1≤0，6＜m+3＜8，﹣2≤m﹣5≤0，x+y﹣2＜0，
∴原式=|x﹣1|+|y﹣1|+|m+3|+|m﹣5|﹣|x+y﹣2|
=1﹣x+1﹣y+m+3﹣m+5+x+y﹣2
=8．
( http: / / www.21cnjy.com )
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