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第2讲 二次根式的运算
一、知识回顾
知识点一：二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实 ( http: / / www.21cnjy.com )际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
知识点二:最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
知识点三：二次根式计算——分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：21·cn·jy·com
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
知识点四：根式比较大小
1、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。
2、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )
8、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：① ( http: / / www.21cnjy.com )； ② ( http: / / www.21cnjy.com )
二、经典例题
考点一、二次根式的乘除
例1. 小东在学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )后，认为 ( http: / / www.21cnjy.com )也成立，因此他认为一个化简过程： ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )是正确的．
①你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；
②说明 ( http: / / www.21cnjy.com )成立的条件．
【解答】解：①化简不对，正确过程 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2；
②∵0作除数无意义，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )成立的条件：a≥0，b＞0．
例2. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )×（﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com )）
（2）5x ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )5 （﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )）÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )×（﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )×（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）5x ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
=5x ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )
=5x ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )5 （﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )）÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )
=2b2 ( http: / / www.21cnjy.com ) （﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )a ( http: / / www.21cnjy.com )） ( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣3a2b2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例3. 已知x为奇数，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得6≤x＜9；
又∵x为奇数，
∴x=7，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=8+2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例4. （1）计算： ( http: / / www.21cnjy.com ) （ ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com )）；
（2）已知实数x、y满足： ( http: / / www.21cnjy.com )+（y﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （ ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）由 ( http: / / www.21cnjy.com )+（y﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0，
可知， ( http: / / www.21cnjy.com )=0且（y﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点二、分母有理化
例5. 把下列各式分母有理化：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （2） ( http: / / www.21cnjy.com ) （3） ( http: / / www.21cnjy.com )（x＞1）
【解答】解：（1）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x；
（3）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例6. 先化简，再求值，已知x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y= ( http: / / www.21cnjy.com )，求2x2﹣3xy﹢2y2 的值．
【解答】解：∵x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，y=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x+y=4，xy=1，
∴原式=2×16﹣7=25．
例7. 设M= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )，N=1﹣2+3﹣4+…+2015﹣2016，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：M= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
N=1﹣2+3﹣4+…+2015﹣2016
=﹣1×1008
=﹣1008，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点三、二次根式的加减
例8. 计算
（1）| ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )（2） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）原式=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×5+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
例9. 化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则
原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）设 ( http: / / www.21cnjy.com )
原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，
原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∵x≥0，∴x+3＞0，x+1＞0，
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例10. 计算 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：设a=n+2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，b=n+2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2﹣（n2﹣4）=4（n+2），
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
=n．
考点四、最简二次根式
例11. 把下列二次根式化简最简二次根式：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例12. 判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )；（5） ( http: / / www.21cnjy.com )；（6） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )=|a| ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )是最简二次根式；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=|a+b| ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（6） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )是最简二次根式．
例13. 已知A=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，B= ( http: / / www.21cnjy.com )，C= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )其中A，B都是最简二次根式，且A+B=C，分别求出a和x的值．
【解答】解：∵A=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，B= ( http: / / www.21cnjy.com )，A，B都是最简二次根式，C= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，A+B=C，
∴a+3=3a﹣1，
解得：a=2，
∴A=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，B= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴A+B=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵A+B=C，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴20（x+1）=180，
∴x=8．
考点五、同类二次根式
例14. 若最简二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式，求m、n的值．
【解答】解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴m=±2 ( http: / / www.21cnjy.com )，n=± ( http: / / www.21cnjy.com )．
例15. 如果 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )都是最简二次根式，又是同类二次根式，且 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，求x、y的值．
【解答】解：由题意，得3a﹣11=19﹣2a，
解得，a=6，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )≥0， ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
∴24﹣3x=0，y﹣6=0，
解得，x=8，y=6．
考点六、二次根式的化简求值
例16. 请先化简 ( http: / / www.21cnjy.com )，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )有意义且x﹣1≠0
∴x﹣1＞0，
即x＞1，
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
当x=4时，原式=2．
当x=9时，原式=3．
例17. 已知x=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）﹣1，y=（ ( http: / / www.21cnjy.com )+1）﹣1，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：由题意知：x= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，y= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故x+y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，xy=1；x﹣y=2＞0，2y﹣x= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3＜0；
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
=（x﹣y）× ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )×（x﹣2y）
=x+y+ ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1．
例18. 先阅读然后解答问题：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：
（1）化简： ( http: / / www.21cnjy.com )（2）化简： ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2；
（2）∵（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，
=4+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )+4﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=8+2，
=10，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点七、二次根式的大小比较
例19. 利用作差法比较两个根式大小
（1）7 ( http: / / www.21cnjy.com )与6 ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）因为7 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣6 ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0
所以7 ( http: / / www.21cnjy.com )＞6 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）因为 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )＜ ( http: / / www.21cnjy.com )．
例20. 用求商法比较下列根式大小：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；（2）8 ( http: / / www.21cnjy.com )与14 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以8 ( http: / / www.21cnjy.com )＞14 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例21. 先阅读，后解答：
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
像上述解题过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) 的有理化因式是 ； ( http: / / www.21cnjy.com )的有理化因式是 ．
（2）将下列式子进行分母有理化：
① ( http: / / www.21cnjy.com )= ； ② ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
③已知 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，比较a与b的大小关系．
【解答】解：（1）根据 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，
( http: / / www.21cnjy.com ) 的有理化因式是： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的有理化因式是： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2；
（2）① ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
② ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
③∵a= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，b=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a=b．
考点八、二次根式的混合运算
2．计算：
（1）（x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷x2y2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）4 ( http: / / www.21cnjy.com )（x＞y＞0）．
【解答】解：（1）解法一：
原式=x2 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
解法二：
原式=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）原式=（4× ( http: / / www.21cnjy.com )×3） ( http: / / www.21cnjy.com )
=6 ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 如果a= ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，那么（ ）
A．a＞b B．a=b C．a= ( http: / / www.21cnjy.com ) D．以上都不对
2. 下列给出的二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
3. 若4 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )可以合并，则m的值不可以是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4. 当x 时， ( http: / / www.21cnjy.com )成立．
5. 计算：
（1）2 ( http: / / www.21cnjy.com )×3 ( http: / / www.21cnjy.com )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )÷（ ( http: / / www.21cnjy.com )）×（4 ( http: / / www.21cnjy.com )）
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )（a、b＞0）
6. 先化简再求值：a= ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )时，求 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）的值．
7. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
8. 计算：
( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
9. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )都是最简二次根式，则m= ，n= ．
10. 化简： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) （﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）已知x= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，求x2+3x﹣1的值．
11. 观察下列等式，然后解决问题：
① ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，② ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，③ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，…．
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律： ；
（2）利用上述规律，求下列式子的值：
( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
12. 化简（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )
13. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
C组 培优精英
14. 设
( http: / / www.21cnjy.com )
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
15. 已知： ( http: / / www.21cnjy.com )（0＜a＜1），求代数式 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
16. 若a= ( http: / / www.21cnjy.com )，计算共有2000层 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 化简 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果为（ ）
A．2+ ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) C．﹣2+ ( http: / / www.21cnjy.com ) D．﹣2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
3. 下列二次根式中，与 ( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )成立，则x的取值范围是 ．
5. ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
6. 计算下面各组算式．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )
观察每组之间有什么关系？并把这个规律用式子总结出来．
7. 已知a= ( http: / / www.21cnjy.com )，求a3﹣4a2﹣2a的值．
8. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )+（π﹣1）0﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
（3）|2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3|﹣（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）﹣2+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
9. 求值：
（1）已知a= ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
（2）已知x= ( http: / / www.21cnjy.com )，求x2﹣x+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
10. 计算
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
11. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )=a， ( http: / / www.21cnjy.com )=b，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值用a、b可以表示为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
12. 已知x、y为正数，且 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）=3 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )+5 ( http: / / www.21cnjy.com )），求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
13. 已知最简二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )能够合并，求ab．
14. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
C组 培优精英
15. 如果正数a、b、c满足a+c=2b，求证： ( http: / / www.21cnjy.com )．
16. 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，求x6+x5+2x4﹣4x3+3x2+4x﹣4的整数部分．
17. 已知实数a、b满足条件|a﹣b|= ( http: / / www.21cnjy.com )＜1，化简代数式（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )） ( http: / / www.21cnjy.com )，将结果表示成只含有字母a的形式．
( http: / / www.21cnjy.com )
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第2讲 二次根式的运算
一、知识回顾
知识点一：二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0，b>0）
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )（a≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实 ( http: / / www.21cnjy.com )际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
知识点二:最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。21cnjy.com
知识点三：二次根式计算——分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：21·cn·jy·com
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
知识点四：根式比较大小
1、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。
2、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )
8、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：① ( http: / / www.21cnjy.com )； ② ( http: / / www.21cnjy.com )
二、经典例题
考点一、二次根式的乘除
例1. 小东在学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )后，认为 ( http: / / www.21cnjy.com )也成立，因此他认为一个化简过程： ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )是正确的．
①你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；
②说明 ( http: / / www.21cnjy.com )成立的条件．
【解答】解：①化简不对，正确过程 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2；
②∵0作除数无意义，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )成立的条件：a≥0，b＞0．
例2. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )×（﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com )）
（2）5x ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )5 （﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )）÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )×（﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )×（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）5x ( http: / / www.21cnjy.com )÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
=5x ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )
=5x ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )5 （﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )）÷3 ( http: / / www.21cnjy.com )
=2b2 ( http: / / www.21cnjy.com ) （﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )a ( http: / / www.21cnjy.com )） ( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣3a2b2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例3. 已知x为奇数，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得6≤x＜9；
又∵x为奇数，
∴x=7，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=8+2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例4. （1）计算： ( http: / / www.21cnjy.com ) （ ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com )）；
（2）已知实数x、y满足： ( http: / / www.21cnjy.com )+（y﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （ ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）由 ( http: / / www.21cnjy.com )+（y﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0，
可知， ( http: / / www.21cnjy.com )=0且（y﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点二、分母有理化
例5. 把下列各式分母有理化：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （2） ( http: / / www.21cnjy.com ) （3） ( http: / / www.21cnjy.com )（x＞1）
【解答】解：（1）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x；
（3）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例6. 先化简，再求值，已知x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y= ( http: / / www.21cnjy.com )，求2x2﹣3xy﹢2y2 的值．
【解答】解：∵x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，y=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x+y=4，xy=1，
∴原式=2×16﹣7=25．
例7. 设M= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )，N=1﹣2+3﹣4+…+2015﹣2016，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：M= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，
N=1﹣2+3﹣4+…+2015﹣2016
=﹣1×1008
=﹣1008，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点三、二次根式的加减
例8. 计算
（1）| ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2|﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )（2） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）原式=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）原式= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×5+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
例9. 化简：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则
原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）设 ( http: / / www.21cnjy.com )
原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，
原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∵x≥0，∴x+3＞0，x+1＞0，
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例10. 计算 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：设a=n+2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，b=n+2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a+b=2（n+2），ab=（n+2）2﹣（n2﹣4）=4（n+2），
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
=n．
考点四、最简二次根式
例11. 把下列二次根式化简最简二次根式：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；（4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
例12. 判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )；（5） ( http: / / www.21cnjy.com )；（6） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )=|a| ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )是最简二次根式；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=|a+b| ( http: / / www.21cnjy.com )，不是最简二次根式；
（6） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )是最简二次根式．
例13. 已知A=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，B= ( http: / / www.21cnjy.com )，C= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )其中A，B都是最简二次根式，且A+B=C，分别求出a和x的值．
【解答】解：∵A=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，B= ( http: / / www.21cnjy.com )，A，B都是最简二次根式，C= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，A+B=C，
∴a+3=3a﹣1，
解得：a=2，
∴A=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，B= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴A+B=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵A+B=C，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴20（x+1）=180，
∴x=8．
考点五、同类二次根式
例14. 若最简二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式，求m、n的值．
【解答】解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴m=±2 ( http: / / www.21cnjy.com )，n=± ( http: / / www.21cnjy.com )．
例15. 如果 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )都是最简二次根式，又是同类二次根式，且 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，求x、y的值．
【解答】解：由题意，得3a﹣11=19﹣2a，
解得，a=6，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )≥0， ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
∴24﹣3x=0，y﹣6=0，
解得，x=8，y=6．
考点六、二次根式的化简求值
例16. 请先化简 ( http: / / www.21cnjy.com )，再选取两个你喜欢的数代入化简后的式子中分别求值．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )有意义且x﹣1≠0
∴x﹣1＞0，
即x＞1，
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
当x=4时，原式=2．
当x=9时，原式=3．
例17. 已知x=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）﹣1，y=（ ( http: / / www.21cnjy.com )+1）﹣1，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：由题意知：x= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，y= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故x+y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，xy=1；x﹣y=2＞0，2y﹣x= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3＜0；
∴原式= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
=（x﹣y）× ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )×（x﹣2y）
=x+y+ ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1．
例18. 先阅读然后解答问题：化简 ( http: / / www.21cnjy.com )
解：原式= ( http: / / www.21cnjy.com )
根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：
（1）化简： ( http: / / www.21cnjy.com )（2）化简： ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2；
（2）∵（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，
=4+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )+4﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=8+2，
=10，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点七、二次根式的大小比较
例19. 利用作差法比较两个根式大小
（1）7 ( http: / / www.21cnjy.com )与6 ( http: / / www.21cnjy.com )；（2） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1）因为7 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣6 ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0
所以7 ( http: / / www.21cnjy.com )＞6 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）因为 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )＜0，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )＜ ( http: / / www.21cnjy.com )．
例20. 用求商法比较下列根式大小：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；（2）8 ( http: / / www.21cnjy.com )与14 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以8 ( http: / / www.21cnjy.com )＞14 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例21. 先阅读，后解答：
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
像上述解题过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) 的有理化因式是 ； ( http: / / www.21cnjy.com )的有理化因式是 ．
（2）将下列式子进行分母有理化：
① ( http: / / www.21cnjy.com )= ； ② ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
③已知 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，比较a与b的大小关系．
【解答】解：（1）根据 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，
( http: / / www.21cnjy.com ) 的有理化因式是： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的有理化因式是： ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2；
（2）① ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
② ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
③∵a= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，b=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a=b．
考点八、二次根式的混合运算
2．计算：
（1）（x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷x2y2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）4 ( http: / / www.21cnjy.com )（x＞y＞0）．
【解答】解：（1）解法一：
原式=x2 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
解法二：
原式=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）原式=（4× ( http: / / www.21cnjy.com )×3） ( http: / / www.21cnjy.com )
=6 ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 如果a= ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )+1，那么（ ）
A．a＞b B．a=b C．a= ( http: / / www.21cnjy.com ) D．以上都不对
2. 下列给出的二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
3. 若4 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )可以合并，则m的值不可以是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4. 当x 时， ( http: / / www.21cnjy.com )成立．
5. 计算：
（1）2 ( http: / / www.21cnjy.com )×3 ( http: / / www.21cnjy.com )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )÷（ ( http: / / www.21cnjy.com )）×（4 ( http: / / www.21cnjy.com )）
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )（a、b＞0）
6. 先化简再求值：a= ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )时，求 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）的值．
7. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )．
8. 计算：
( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
9. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )都是最简二次根式，则m= ，n= ．
10. 化简： ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) （﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）已知x= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，求x2+3x﹣1的值．
11. 观察下列等式，然后解决问题：
① ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，② ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，③ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，…．
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述规律： ；
（2）利用上述规律，求下列式子的值：
( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
12. 化简（1） ( http: / / www.21cnjy.com ) （2） ( http: / / www.21cnjy.com )
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )
13. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
C组 培优精英
14. 设
( http: / / www.21cnjy.com )
则与s最接近的整数是（ ）
A．2009 B．2006 C．2007 D．2008
15. 已知： ( http: / / www.21cnjy.com )（0＜a＜1），求代数式 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
16. 若a= ( http: / / www.21cnjy.com )，计算共有2000层 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 化简 ( http: / / www.21cnjy.com )的结果为（ ）
A．2+ ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) C．﹣2+ ( http: / / www.21cnjy.com ) D．﹣2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
3. 下列二次根式中，与 ( http: / / www.21cnjy.com )是同类二次根式的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
4. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )成立，则x的取值范围是 ．
5. ( http: / / www.21cnjy.com )= ．
6. 计算下面各组算式．
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )
观察每组之间有什么关系？并把这个规律用式子总结出来．
7. 已知a= ( http: / / www.21cnjy.com )，求a3﹣4a2﹣2a的值．
8. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )+（π﹣1）0﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
（3）|2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3|﹣（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）﹣2+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
9. 求值：
（1）已知a= ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
（2）已知x= ( http: / / www.21cnjy.com )，求x2﹣x+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
10. 计算
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
11. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )=a， ( http: / / www.21cnjy.com )=b，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值用a、b可以表示为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
12. 已知x、y为正数，且 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）=3 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )+5 ( http: / / www.21cnjy.com )），求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
13. 已知最简二次根式 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )能够合并，求ab．
14. 计算：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4） ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
C组 培优精英
15. 如果正数a、b、c满足a+c=2b，求证： ( http: / / www.21cnjy.com )．
16. 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，求x6+x5+2x4﹣4x3+3x2+4x﹣4的整数部分．
17. 已知实数a、b满足条件|a﹣b|= ( http: / / www.21cnjy.com )＜1，化简代数式（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )） ( http: / / www.21cnjy.com )，将结果表示成只含有字母a的形式．
( http: / / www.21cnjy.com )
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