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第3讲 二次根式的综合应用
二、经典例题
考点一、二次根式的双重非负性的应用
例1. 已知实数x、y、z满足 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，求长度分别为x、y、z的三条线段组成三角形的面积．
【解答】解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则x+z=18，
∴0= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
则y﹣x﹣7=0，2x+y+z﹣35=0，
解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则z2=x2+y2，
即长度是x、y、z的三条线段组成的三角形是直角三角形，
故三角形的面积是： ( http: / / www.21cnjy.com )×5×12=30．
例2. 已知：线段a、b、c且满足|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+（b﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0．求：
（1）a、b、c的值；
（2）以线段a、b、c能否围成直角三角形．
【解答】解：（1）∵|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+（b﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∴a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，b﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )=0，c﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
即a=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，b=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，c=5 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）∵a2+b2=（3 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（4 ( http: / / www.21cnjy.com )）2=50，
c2=（5 ( http: / / www.21cnjy.com )）2=50，
∴a2+b2=c2，
∴线段a、b、c能围成直角三角形．
考点二、二次根式在几何图形中有应用
例3. 已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
求（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）Rt△ABC的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )AC×BC= ( http: / / www.21cnjy.com )×（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）斜边AB的长= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：斜边AB的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例4. 一个三角形的三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【解答】解：（1）周长= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（2）当x=20时，周长= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（或当x= ( http: / / www.21cnjy.com )时，周长= ( http: / / www.21cnjy.com )等）
例5. 请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )，求①△ABC的面积；②求出最长边上高．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：①如图∵AC=2，BD=2
∴S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC×BD=2，
②∵最长边AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，设最长边上的高为h，则S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB×h=2，
∴h= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即最长边上高为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
例6. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=60°，∠BCD=30°，以AD，AB，BC向形外作正方形，它们面积分别为S1，S2，S3，若DC=2AB，S2=27，求 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图所示，作辅助线AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，
∵S2=27，DC=2AB，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
而A′D+B′C=3 ( http: / / www.21cnjy.com )=AB．
AD= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BB′= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴B′C= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
即 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )①
又∵AA′=BB′，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )②
解①②得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
例7. 阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则这个三角形的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积．
（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
在△ABC中，过A作高AD交BC于D，
设BD=x，那么DC=a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2=c2﹣x2=b2﹣（a﹣x）2，解出x得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，于是h= ( http: / / www.21cnjy.com )，
△ABC的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com )ah= ( http: / / www.21cnjy.com )a ( http: / / www.21cnjy.com )
即S= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
令p= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b+c），
对被开方数分解因式，并整理得到 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）由题意，得：a=4，b=5，c=6；
∴p= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
S= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
故△ABC的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF=IH=IG，
∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )×6 IF+ ( http: / / www.21cnjy.com )×5 IG+ ( http: / / www.21cnjy.com )×4 IH，
∴3 IF+ ( http: / / www.21cnjy.com ) IF+2 IF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得IF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故I到AB的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点三、二次根式与方程及方程组
例8. 小明在解方程 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2时采用了下面的方法：由
（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（24﹣x）﹣（8﹣x）=16，
又有 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=8，将这两式相加可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，将 ( http: / / www.21cnjy.com )=5两边平方可解得x=﹣1，经检验x=﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解是 ；
（2）解方程 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4x．
【解答】解：（1）（ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
=（x2+42）﹣（x2+10）
=32
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=32÷16=2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=92=81，
∴x=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
经检验x=± ( http: / / www.21cnjy.com )都是原方程的解，
∴方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解是：x=± ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
=（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）
=8x
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4x，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=8x÷4x=2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1，
∴2x=6，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
∴方程 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4x的解是：x=3．
故答案为：x=± ( http: / / www.21cnjy.com )．
例9. 解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
①× ( http: / / www.21cnjy.com )+②，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得，x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
将x= ( http: / / www.21cnjy.com )代入①，得
y=1，
∴原方程组的解是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点四、二次根式的实际应用
例10. 某号台风的中心位于O地，台风中心以25千 ( http: / / www.21cnjy.com )米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处，试问A市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：如图，OA=320，∠AON=45°，
过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，
在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160 ( http: / / www.21cnjy.com )＜240，故A市会受影响，
在Rt△AHM中，MH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=80
∴MN=160，受影响的时间为：160÷25=6.4小时．
答：A市受影响，受影响时间为6.4小时．
( http: / / www.21cnjy.com )
例11. 如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据： ( http: / / www.21cnjy.com )≈1.7）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，
∵AB=3.2m，CA=0.7m，BF=2.5m，
∴CF=AB﹣BF+CA=1.4m，
∵∠ECA=60°，
∴tan60°= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴GF=CAtan60°=1.4 ( http: / / www.21cnjy.com )≈2.38m，
∵2.38＜3
∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．
考点五、二次根式中的规律性问题
例12. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA22=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+1=2，s1= ( http: / / www.21cnjy.com )；OA32=12+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=3，S2= ( http: / / www.21cnjy.com )；…
OA42=12+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=4，S3= ( http: / / www.21cnjy.com )；…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2= n ，Sn= ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
（2）若一个三角形的面积是2 ( http: / / www.21cnjy.com )，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出S12+S22+S32+…+S92的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1= ( http: / / www.21cnjy.com )，OA2= ( http: / / www.21cnjy.com )，OA3= ( http: / / www.21cnjy.com )…OAn= ( http: / / www.21cnjy.com )，所以OAn2=n．Sn= ( http: / / www.21cnjy.com ) 1 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )故：答案为n 与 ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）当Sn=2 ( http: / / www.21cnjy.com )时，有：2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，解之得：n=32
即：说明它是第32个三角形．
（3）S12+S22+S32+…+S92
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=11.25
即：S12+S22+S32+…+S92的值为11.25．
考点六、二次根式中几何动点问题
例13. 如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点 ( http: / / www.21cnjy.com )P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，
则有PB=x，BQ=2x，
依题意，得： ( http: / / www.21cnjy.com )x 2x=35，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（负数舍去），
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
( http: / / www.21cnjy.com )．
答： ( http: / / www.21cnjy.com )秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )厘米．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 计算：（ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，求Rt△ABC的面积和斜边AB的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）（ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )
=（ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）∵AC= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BC= ( http: / / www.21cnjy.com )×（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com )；
∵AB2=AC2+BC2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=10，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )．
2. 已知△ABC中，AB=1，BC=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，CA= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）分别化简4 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（2）并在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；
（3）求△ABC最长边上的高．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）4 ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）∵△ABD的面积为1，BC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BC边上的高为1×2÷2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
3. 现有一组有规律的数：1，﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，1，﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )…其中1，﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )这六个数按此规律重复出现．
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？
【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴50÷6=8…2，
∴第50个数是﹣1．
（2）∵2017÷6=336…1，且1+（﹣1）+ ( http: / / www.21cnjy.com )+（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）+ ( http: / / www.21cnjy.com )+（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）=0，
∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1=1．
（3）∵12+（﹣1）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=12，
520÷12=43…4，而且12+（﹣1）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=4，
∴43×6+3=261，
即共有261个数的平方相加．
4. 已知在Rt△OAB中，∠B=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )，BA=2．把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上．求点B的坐标．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：过点B作BC⊥x轴交x轴于点C，如图，
由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=2，
∵∠B=90°，
∴OB2=OA2﹣AB2=12﹣4=8，解得OB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )BC OA= ( http: / / www.21cnjy.com )OB OC，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△OBC中，OC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴B点坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
( http: / / www.21cnjy.com )
5. 已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，△BCD为等边三角形，且AD= ( http: / / www.21cnjy.com )，求梯形ABCD的周长．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如右图，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠2=60°，BC=CD=BD，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠ABC=90°，
∴∠1=90°﹣60°=30°，
在Rt△ABD中，∵∠1=30°，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BD=2AD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=tan60° AD= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+5 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
B组 能力提高
6. 如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，求AB的长．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：连接AD，由题意可得：AB=AC，
S△ABC=S△ABD+S△ADC= ( http: / / www.21cnjy.com )×DE×AB+ ( http: / / www.21cnjy.com )×DF×AC
= ( http: / / www.21cnjy.com )AB（DE+DF）= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故 ( http: / / www.21cnjy.com )×2 ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
7. 如果一个三角形的三边的长分别为a、b、c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式S= ( http: / / www.21cnjy.com )（其中p= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b+c））或其它方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形的面积．2-1-c-n-j-y
【解答】解：∵三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴p= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b+c）= ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )+3+2 ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )
∴S2= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=9
∴S=3．
8. 著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为 ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为 ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）8﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）8]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．
【解答】解：（1）第1个数，当n=1时，
( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=1；
（2）第2个数，当n=2时，
( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2]
= ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com )×1× ( http: / / www.21cnjy.com )=1．
9. 如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点得到△ABC，解答下列问题：
（1）△ABC的周长是多少？
（2）BC边上高是多少？（结果用最简二次根式表示）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图所示，AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，AC=BC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，则△ABC的周长是：AB+AC+BC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )；21*cnjy*com
（2）设BC边上高是h，则
( http: / / www.21cnjy.com )BCh=32﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×2﹣2× ( http: / / www.21cnjy.com )×1×3=4，
即： ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )h=4，
解得h= ( http: / / www.21cnjy.com )．
10. 已知a、b、c满足|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+ ( http: / / www.21cnjy.com )+（c﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0
（1）求a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，b﹣5=0，c﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
解得a=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，b=5，c=3 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）∵2 ( http: / / www.21cnjy.com )+3 ( http: / / www.21cnjy.com )=5 ( http: / / www.21cnjy.com )＞5，
∴以a、b、c为边能构成三角形，
周长=2 ( http: / / www.21cnjy.com )+3 ( http: / / www.21cnjy.com )+5=5 ( http: / / www.21cnjy.com )+5．
11. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：21教育名师原创作品
（1）请在网格图1中画出一个三边长分别为3， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形，并求出它的面积．
（2）请在网格图2中画出一个三边长均为无理数，且面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )的钝角三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图所示，△ABC中，AB=3，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
面积= ( http: / / www.21cnjy.com )×3×2=3；
（2）如图所示，△ABC中，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
点C到AB的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
面积= ( http: / / www.21cnjy.com )×3 ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以，△ABC即为所求作的三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
12. 如图，若图中小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ．
（2）反思（1）的解题过程，解决下面问题：
若2 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )（其中a，b均为正数） 是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）S△ABC=3×3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×1×2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2×3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×1×3= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）构造如图的矩形，
设每个单位矩形的长为b，宽为a，则：
AD= ( http: / / www.21cnjy.com )，AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )．
则△ABC的面积等于大矩形面积与三个直角三角形面积之差，
故S△ABC=5a×2b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×3a×b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×5a×b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )×2a×2b=4ab．
( http: / / www.21cnjy.com )
C组 培优精英
13. 已知：a、b、c为正实数，且a+b+c=1．
（1）比较大小：a2 a；
（2）试判断 ( http: / / www.21cnjy.com )与4的大小关系，并说明理由．
【解答】解：（1）∵a、b、c为正实数，且a+b+c=1，
∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，
∴a2＜a，
故答案为：＜；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )＞4，
理由：方法一：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )
=3a+1+3b+1+2 ( http: / / www.21cnjy.com )
=3（a+b）+2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2
＞[3（a+b）+1]+2 ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
同理可证， ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵a+b+c=1，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )＞4．
方法二：由（1）知a2＜a，则b2＜b，c2＜c，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )=a+1+b+1+c+1=a+b+c+3，
∵a+b+c=1，
∴a+b+c+3=4，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )＞4．
14. 已知p、q是△ABC中∠A和∠B两角所对的两条边，且∠A＞∠B，又p= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，q= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，n为大于2的正整数，试判断p是A、B中哪个角的对边．
【解答】解：∵p= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，q= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
又∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴p＜q，又∠A＞∠B，
则p是∠B的对边．
15. 设△ABC的三边分别为a，b，c，p= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b+c），则S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )（海伦公式）或S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )（秦九韶公式）．21世纪教育网版权所有
（1）请根据所学的知识对上述面积公式进行证明．
（2）若△ABC的三边长为5，6，7，△DEF的三边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，请利用上面的两个公式分别求出△ABC和△DEF的面积．2·1·c·n·j·y
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，垂足为D，设AD=h，BD=x，CD=y，
由题意可知：AB=c，BC=a，AC=b，
由勾股定理得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴h= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AD BC，
= ( http: / / www.21cnjy.com )a×h，
= ( http: / / www.21cnjy.com )a× ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
= ( http: / / www.21cnjy.com )．
由上得：S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )ah= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )（秦九韶公式）；
（2）若△ABC的三边长为5，6，7时，p= ( http: / / www.21cnjy.com )（5+6+7）=9，
S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，
△DEF的三边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )时，
S△DEF= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 已知m= ( http: / / www.21cnjy.com )，n= ( http: / / www.21cnjy.com )，p= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）当x=﹣1时，求（p+m）（p﹣m）+n的值；
（2）若m，n，p为Rt△ABC的三边长，求x的值．
【解答】解：（1）（p+m）（p﹣m）+n=p2﹣m2+n，
∵m= ( http: / / www.21cnjy.com )，n= ( http: / / www.21cnjy.com )，p= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴原式=15﹣9+x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=5+6 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）当n为斜边时，（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，
解得：x=﹣48，
当m为斜边时，（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2，
解得：x=﹣78．
2. 如图，是张老师买的经济适用房平面结构示意图，图中标明了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：m），房主计划把卧室以外的地面都铺上地砖，21·世纪*教育网
（1）求出该经济适用房的面积．（用含 x，y的代数式表示）．
（2）当x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，求该经济适用房的所需地砖面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）该经济适用房的面积为4x 4y﹣xy=15xy；
（2）该经济适用房的所需地砖面积为15xy﹣4xy=11xxy，
当x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )时，11xy=66，
即当x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )时该经济适用房的所需地砖面积为66平方米．
3. 已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△ABC的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
即Rt△ABC的面积是4；
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即AB的长是2 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AB边上的高是： ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即AB边上的高是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
4. 已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+（b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值．
【解答】解：（1）因为线段a，b满足|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+（b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0．
所以a=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，b= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）因为a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，
所以c= ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDA=∠BDC=90°，
在Rt△ABD中，BD=2m，AD=4m，
根据勾股定理得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )（m），
在Rt△BDC中，BD=2m，CD=1m，
根据勾股定理得：BC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )（m），
则钢架所需的长度为AB+AC+BC+BD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )+5+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2=3 ( http: / / www.21cnjy.com )+7≈13.7（m）
B组 能力提高
6. 在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题．
一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了 ( http: / / www.21cnjy.com )cm（提示：圆柱的体积=πr2h，其中，r为底面的半径，h为高，π取3）
（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；
（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径．
【解答】解：（1）由题意可得：
( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=448 ( http: / / www.21cnjy.com )（cm3）．
答：从塑料容器中倒出的水的体积为448 ( http: / / www.21cnjy.com )cm3；
（2）设圆柱形玻璃容器的底面的半径为r，根据题意可得：
π×r2× ( http: / / www.21cnjy.com )=448 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：r= ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )cm．
7. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S= ( http: / / www.21cnjy.com )，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p= ( http: / / www.21cnjy.com )．21·cn·jy·com
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
【解答】解：（1）∵AB=5，BC=6，CA=7，
∴a=6，b=7，c=5，p= ( http: / / www.21cnjy.com )=9，
∴△ABC的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com )=6 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）设BC边上的高为h，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )×6×h=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得h=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
8. 设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，底边上的高为h．
（1）如果a=6+ ( http: / / www.21cnjy.com )，b=6+4 ( http: / / www.21cnjy.com )，求h；
（2）如果b=2（2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1），h=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，求a．
【解答】解：（1）在等腰△ABC中，由勾股定理知，
∵a2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )b）2+h2
∴（6+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )（6+4 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+h2
∴36+12 ( http: / / www.21cnjy.com )+3= ( http: / / www.21cnjy.com )（36+48 ( http: / / www.21cnjy.com )+48）+h2
∴39+12 ( http: / / www.21cnjy.com )=9+12 ( http: / / www.21cnjy.com )+12+h2
∴h2=18，
∴h= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）同理在等腰△ABC中，由勾股定理知，
∵a2=（ ( http: / / www.21cnjy.com )b2）+h2
∴a2=[ ( http: / / www.21cnjy.com )×2（2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1）]2+（2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）2
∴a2=（2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1）2+（2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）2
∴a2=58
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )．
9. 2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )m、宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示： ( http: / / www.21cnjy.com )≈2.45）【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：（1）由题意可得，
该长方形土地的周长是：（ ( http: / / www.21cnjy.com )）×2= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )m，
即该长方形土地的周长是 ( http: / / www.21cnjy.com )m；
（2）由题意可得，
在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是： ( http: / / www.21cnjy.com )=9 ( http: / / www.21cnjy.com )=144 ( http: / / www.21cnjy.com )≈352.8（元），
即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．
10. 如图，正方形的边长为2（ ( http: / / www.21cnjy.com )+1），剪去4个角后成为一个正八边形（图中阴影部分），求这个正八边形的边长和面积．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )x，即正八边形的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )x，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )x+2x=2（ ( http: / / www.21cnjy.com )+1），
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴正八边形的边长等于 ( http: / / www.21cnjy.com )x=2，
∴正八边形的面积=（2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2）2﹣4× ( http: / / www.21cnjy.com )×（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=8+8 ( http: / / www.21cnjy.com )．
11. 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，求这个三角形的周长．
【解答】解：（1）∵a2﹣12a+36+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∴（a﹣6）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，
则a=6，b=8，
∴8﹣6＜c＜8+6，
即2＜c＜14，
∵c是三角形的最大边，
∴8＜c＜14．
（2）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴b+c=8，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴这个三角形的周长为3+4+5=12．
C组 培优精英
12. 斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为 ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n]．
（1）计算第一个数a1；
（2）计算第二个数a2；
（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an=an﹣1（n≥2）；
（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
【解答】解：（1）a1= ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）]= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=1；
（2）a2= ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2]= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=1；
（3）证明：an+1﹣an= ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n+1﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n+1]﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n]
= ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n+1﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n]﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n+1﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n]
= ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）]﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）]
= ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n（ ( http: / / www.21cnjy.com )）]﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）]
= ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n﹣1﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n﹣1]；
（4）斐波那契数列中的前8个数是1，1，2，3，5，8，13，21．
13. 观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）当a=2，b=2时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 = ．
（2）当a=3，b=3时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 = ．
（3）当a=4，b=4时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 = ．
（4）当a=4，b=1时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 ＞ ．
（5）当a=5，b=3时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 ＞ ．
（6）当a=7，b=6时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 ＞ ．
…
写出关于 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )之间数量关系的猜想： ．
探究证明：（提示： ( http: / / www.21cnjy.com )≥0）
实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
【解答】解：（1）当a=2，b=2时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）当a=3，b=3时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）当a=4，b=4时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）当a=4，b=1时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（5）当a=5，b=3时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（6）当a=7，b=6时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=6.5， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )＜6.5，
( http: / / www.21cnjy.com )＞ ( http: / / www.21cnjy.com )；
…
猜想： ( http: / / www.21cnjy.com )≥ ( http: / / www.21cnjy.com )；
探究证明：根据非负数的性质（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2≥0，
∴a﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )+b≥0，
整理得， ( http: / / www.21cnjy.com )≥ ( http: / / www.21cnjy.com )；
实践应用：面积为1平方米的长方形镜框长与宽相等，即为正方形时，周长最小，
所以，边长为1，
周长为1×4=4．
14. 设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，求此三角形的面积；www.21-cn-jy.com
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U= ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值．
【解答】解：如图1，作长方形ABCD，使AB=b﹣a，AD=c，
延长DA至E，使DE=d，延长DC至F，使DF=b，连接EF、FB，
则BF= ( http: / / www.21cnjy.com )，EF= ( http: / / www.21cnjy.com )，BE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S△BEF=S长方形ABCD+S△BCF+S△ABE﹣S△DEF
=（b﹣a）c+ ( http: / / www.21cnjy.com )ac+ ( http: / / www.21cnjy.com )（d﹣c）（b﹣a）﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )bd
= ( http: / / www.21cnjy.com )（bc﹣ad）；
（2）将b=2﹣a代入U= ( http: / / www.21cnjy.com )中，得U= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
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第3讲 二次根式的综合应用
二、经典例题
考点一、二次根式的双重非负性的应用
例1. 已知实数x、y、z满足 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，求长度分别为x、y、z的三条线段组成三角形的面积．
【解答】解：根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则x+z=18，
∴0= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
则y﹣x﹣7=0，2x+y+z﹣35=0，
解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则z2=x2+y2，
即长度是x、y、z的三条线段组成的三角形是直角三角形，
故三角形的面积是： ( http: / / www.21cnjy.com )×5×12=30．
例2. 已知：线段a、b、c且满足|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+（b﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0．求：
（1）a、b、c的值；
（2）以线段a、b、c能否围成直角三角形．
【解答】解：（1）∵|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+（b﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∴a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，b﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )=0，c﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
即a=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，b=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，c=5 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）∵a2+b2=（3 ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（4 ( http: / / www.21cnjy.com )）2=50，
c2=（5 ( http: / / www.21cnjy.com )）2=50，
∴a2+b2=c2，
∴线段a、b、c能围成直角三角形．
考点二、二次根式在几何图形中有应用
例3. 已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
求（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）Rt△ABC的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )AC×BC= ( http: / / www.21cnjy.com )×（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）斜边AB的长= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
答：斜边AB的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例4. 一个三角形的三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【解答】解：（1）周长= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（2）当x=20时，周长= ( http: / / www.21cnjy.com )，
（或当x= ( http: / / www.21cnjy.com )时，周长= ( http: / / www.21cnjy.com )等）
例5. 请在方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且三边长分别为2，2 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )，求①△ABC的面积；②求出最长边上高．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：①如图∵AC=2，BD=2
∴S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC×BD=2，
②∵最长边AB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，设最长边上的高为h，则S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )AB×h=2，
∴h= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即最长边上高为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
例6. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=60°，∠BCD=30°，以AD，AB，BC向形外作正方形，它们面积分别为S1，S2，S3，若DC=2AB，S2=27，求 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图所示，作辅助线AA′⊥CD于A′，BB′⊥CD于B′，
∵S2=27，DC=2AB，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
而A′D+B′C=3 ( http: / / www.21cnjy.com )=AB．
AD= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BB′= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴B′C= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
即 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )①
又∵AA′=BB′，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )②
解①②得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
例7. 阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则这个三角形的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积．
（3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
在△ABC中，过A作高AD交BC于D，
设BD=x，那么DC=a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2=c2﹣x2=b2﹣（a﹣x）2，解出x得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，于是h= ( http: / / www.21cnjy.com )，
△ABC的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com )ah= ( http: / / www.21cnjy.com )a ( http: / / www.21cnjy.com )
即S= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
令p= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b+c），
对被开方数分解因式，并整理得到 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）由题意，得：a=4，b=5，c=6；
∴p= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
S= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
故△ABC的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AD、BE分别为△ABC的角平分线，
∴IF=IH=IG，
∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )×6 IF+ ( http: / / www.21cnjy.com )×5 IG+ ( http: / / www.21cnjy.com )×4 IH，
∴3 IF+ ( http: / / www.21cnjy.com ) IF+2 IF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得IF= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故I到AB的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点三、二次根式与方程及方程组
例8. 小明在解方程 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2时采用了下面的方法：由
（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（24﹣x）﹣（8﹣x）=16，
又有 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=8，将这两式相加可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，将 ( http: / / www.21cnjy.com )=5两边平方可解得x=﹣1，经检验x=﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下面的方程：
（1）方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解是 ；
（2）解方程 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4x．
【解答】解：（1）（ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
=（x2+42）﹣（x2+10）
=32
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=32÷16=2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=92=81，
∴x=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
经检验x=± ( http: / / www.21cnjy.com )都是原方程的解，
∴方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解是：x=± ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）（ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）
= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
=（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）
=8x
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4x，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=8x÷4x=2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1，
∴2x=6，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
∴方程 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4x的解是：x=3．
故答案为：x=± ( http: / / www.21cnjy.com )．
例9. 解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
①× ( http: / / www.21cnjy.com )+②，得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得，x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
将x= ( http: / / www.21cnjy.com )代入①，得
y=1，
∴原方程组的解是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点四、二次根式的实际应用
例10. 某号台风的中心位于O地，台风中心以25千 ( http: / / www.21cnjy.com )米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A在O地正西方向与O地相距320千米处，试问A市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：如图，OA=320，∠AON=45°，
过A点作ON的垂线，垂足为H，以A为圆心，240为半径画弧交直线OH于M、N，
在Rt△OAH中，AH=OAsin45°=160 ( http: / / www.21cnjy.com )＜240，故A市会受影响，
在Rt△AHM中，MH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=80
∴MN=160，受影响的时间为：160÷25=6.4小时．
答：A市受影响，受影响时间为6.4小时．
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例11. 如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据： ( http: / / www.21cnjy.com )≈1.7）【出处：21教育名师】
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【解答】解：如图，
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在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，
∵AB=3.2m，CA=0.7m，BF=2.5m，
∴CF=AB﹣BF+CA=1.4m，
∵∠ECA=60°，
∴tan60°= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴GF=CAtan60°=1.4 ( http: / / www.21cnjy.com )≈2.38m，
∵2.38＜3
∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过．
考点五、二次根式中的规律性问题
例12. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA22=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+1=2，s1= ( http: / / www.21cnjy.com )；OA32=12+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=3，S2= ( http: / / www.21cnjy.com )；…
OA42=12+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=4，S3= ( http: / / www.21cnjy.com )；…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OAn2= n ，Sn= ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
（2）若一个三角形的面积是2 ( http: / / www.21cnjy.com )，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出S12+S22+S32+…+S92的值．
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【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1= ( http: / / www.21cnjy.com )，OA2= ( http: / / www.21cnjy.com )，OA3= ( http: / / www.21cnjy.com )…OAn= ( http: / / www.21cnjy.com )，所以OAn2=n．Sn= ( http: / / www.21cnjy.com ) 1 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )故：答案为n 与 ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）当Sn=2 ( http: / / www.21cnjy.com )时，有：2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，解之得：n=32
即：说明它是第32个三角形．
（3）S12+S22+S32+…+S92
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+…+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=11.25
即：S12+S22+S32+…+S92的值为11.25．
考点六、二次根式中几何动点问题
例13. 如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点 ( http: / / www.21cnjy.com )P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）
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【解答】解：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，
则有PB=x，BQ=2x，
依题意，得： ( http: / / www.21cnjy.com )x 2x=35，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（负数舍去），
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
( http: / / www.21cnjy.com )．
答： ( http: / / www.21cnjy.com )秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )厘米．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 计算：（ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）÷ ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，求Rt△ABC的面积和斜边AB的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
2. 已知△ABC中，AB=1，BC=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，CA= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）分别化简4 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（2）并在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；
（3）求△ABC最长边上的高．
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 现有一组有规律的数：1，﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，1，﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )…其中1，﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )这六个数按此规律重复出现．
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？
4. 已知在Rt△OAB中，∠B=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )，BA=2．把△OAB按如图方式放置在直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上．求点B的坐标．
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5. 已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，△BCD为等边三角形，且AD= ( http: / / www.21cnjy.com )，求梯形ABCD的周长．21教育网
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B组 能力提高
6. 如图，在等腰三角形ABC中，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DE⊥AC，点E、F分别是垂足，若DE+DF=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，△ABC的面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )，求AB的长．www-2-1-cnjy-com
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7. 如果一个三角形的三边的长分别为a、b、c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式S= ( http: / / www.21cnjy.com )（其中p= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b+c））或其它方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形的面积．2-1-c-n-j-y
8. 著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为 ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为 ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）8﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）8]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．
9. 如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点得到△ABC，解答下列问题：
（1）△ABC的周长是多少？
（2）BC边上高是多少？（结果用最简二次根式表示）
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10. 已知a、b、c满足|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+ ( http: / / www.21cnjy.com )+（c﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0
（1）求a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
11. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形：21教育名师原创作品
（1）请在网格图1中画出一个三边长分别为3， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形，并求出它的面积．
（2）请在网格图2中画出一个三边长均为无理数，且面积为 ( http: / / www.21cnjy.com )的钝角三角形．
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12. 如图，若图中小正方形的边长为1，则△ABC的面积为 ．
（2）反思（1）的解题过程，解决下面问题：
若2 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )（其中a，b均为正数） 是一个三角形的三条边长，求此三角形的面积．
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C组 培优精英
13. 已知：a、b、c为正实数，且a+b+c=1．
（1）比较大小：a2 a；
（2）试判断 ( http: / / www.21cnjy.com )与4的大小关系，并说明理由．
14. 已知p、q是△ABC中∠A和∠B两角所对的两条边，且∠A＞∠B，又p= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，q= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，n为大于2的正整数，试判断p是A、B中哪个角的对边．
15. 设△ABC的三边分别为a，b，c，p= ( http: / / www.21cnjy.com )（a+b+c），则S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )（海伦公式）或S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com )（秦九韶公式）．21世纪教育网版权所有
（1）请根据所学的知识对上述面积公式进行证明．
（2）若△ABC的三边长为5，6，7，△DEF的三边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，请利用上面的两个公式分别求出△ABC和△DEF的面积．2·1·c·n·j·y
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 已知m= ( http: / / www.21cnjy.com )，n= ( http: / / www.21cnjy.com )，p= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）当x=﹣1时，求（p+m）（p﹣m）+n的值；
（2）若m，n，p为Rt△ABC的三边长，求x的值．
2. 如图，是张老师买的经济适用房平面结构示意图，图中标明了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：m），房主计划把卧室以外的地面都铺上地砖，21·世纪*教育网
（1）求出该经济适用房的面积．（用含 x，y的代数式表示）．
（2）当x= ( http: / / www.21cnjy.com )，y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，求该经济适用房的所需地砖面积．
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3. 已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，求
（1）Rt△ABC的面积．
（2）斜边AB的长．
（3）求AB边上的高．
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4. 已知线段a，b，c，且线段a，b满足|a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )|+（b﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若a，b，c是某直角三角形的三条边的长度，求c的值．
5. 要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
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B组 能力提高
6. 在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题．
一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为 ( http: / / www.21cnjy.com )cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了 ( http: / / www.21cnjy.com )cm（提示：圆柱的体积=πr2h，其中，r为底面的半径，h为高，π取3）
（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；
（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径．
7. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：S= ( http: / / www.21cnjy.com )，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即p= ( http: / / www.21cnjy.com )．21·cn·jy·com
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所有这个公式也叫“海伦﹣秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在△ABC中，已知AB=5，BC=6，CA=7，求△ABC的面积；
（2）计算（1）中△ABC的BC边上的高．
8. 设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，底边上的高为h．
（1）如果a=6+ ( http: / / www.21cnjy.com )，b=6+4 ( http: / / www.21cnjy.com )，求h；
（2）如果b=2（2 ( http: / / www.21cnjy.com )+1），h=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1，求a．
9. 2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为 ( http: / / www.21cnjy.com )m、宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示： ( http: / / www.21cnjy.com )≈2.45）【来源：21cnj*y.co*m】
10. 如图，正方形的边长为2（ ( http: / / www.21cnjy.com )+1），剪去4个角后成为一个正八边形（图中阴影部分），求这个正八边形的边长和面积．21*cnjy*com
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11. 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足a2﹣12a+36+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，求这个三角形的最大边c的取值范围．
（2）已知三角形三边为a、b、c，且 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，求这个三角形的周长．
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12. 斐波那契（约1170﹣1250，意大利数学家）数列是按某种规律排列的一列数，他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第n（n为正整数）个数an可表示为 ( http: / / www.21cnjy.com )[（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）n]．
（1）计算第一个数a1；
（2）计算第二个数a2；
（3）证明连续三个数之间an﹣1，an，an+1存在以下关系：an+1﹣an=an﹣1（n≥2）；
（4）写出斐波那契数列中的前8个数．
13. 观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，=）
（1）当a=2，b=2时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 = ．
（2）当a=3，b=3时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 = ．
（3）当a=4，b=4时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 = ．
（4）当a=4，b=1时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 ＞ ．
（5）当a=5，b=3时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 ＞ ．
（6）当a=7，b=6时， ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小关系是 ＞ ．
…
写出关于 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )之间数量关系的猜想： ．
探究证明：（提示： ( http: / / www.21cnjy.com )≥0）
实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
14. 设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，求此三角形的面积；www.21-cn-jy.com
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U= ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值．
( http: / / www.21cnjy.com )
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