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第4讲 一元二次方程的概念及解法1
一、知识回顾
知识点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：【来源：21cnj*y.co*m】
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.21*cnjy*com
知识点二、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
2.因式分解法解一元二次方程
(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
(2)常用的因式分解法:提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
①能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
②用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
③用分解因式法解一元二次方程的注意点：a.必须将方程的右边化为0；b.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
二、经典例题
考点一、一元二次方程的概念
下列方程中，是关于x的一元二次方程的有 ．
（1）2y2+y﹣1=0；（2）x（2x﹣1）=2x2；
（3）﹣2x=1；（4）ax2+bx+c=0；（5）x2=0．
【解答】解：
（1）2y2+y﹣1=0是关于y的一元二次方程，故错误；
（2）x（2x﹣1）=2x2化成一般式后不含二次项，故错误；
（3）﹣2x=1不是整式方程，故错误；
（4）ax2+bx+c=0二次项系数可能为0，故错误；
（5）x2=0符合一元二次方程的定义．
故是关于x的一元二次方程的有（5）．
当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4=0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时，是一元一次方程；
（3）x=﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，
解得，m1=，m2=﹣1．
若xa﹣3xa﹣b+1=0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．
下面是两位同学的解法：
甲生：根据题意得解方程组得
乙生：依题意，得或，解方程组得或
你认为上述两位同学的解答是否正确？为什么？如果不对，请给出正确的答案．
【解答】解：上述两位同学的解法都不正确，
∵xa﹣3xa﹣b+1=0是关于x的一元二次方程，
∴①，解得；②，解得；
③，解得；④，解得；
⑤，解得．
综上所述，；；；；．
考点二、一元二次方程的解
已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
【解答】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根是﹣1，
∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，
∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，
解得m=﹣4；
又由韦达定理知﹣1×x2=﹣5，
解得x2=5．
即方程的另一根是5．
若a是方程x2﹣5x+1=0的一个根，求a2+的值．
【解答】解：依题意得，
a2﹣5a+1=0，则a≠0，方程两边同时除以a，得a﹣5+=0，
∴a+=5，两边同时平方，得：
（a+）2=25，a2++2=25，
∴a2+=23．
考点三、一元二次方程的一般形式
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）3x2+1=6x；
（2）4x2+5x=81；
（3）x（x+5）=0；
（4）（2x﹣2）（x﹣1）=0；
（5）x（x+5）=5x﹣10；
（6）（3x﹣2）（x+1）=x（2x﹣1）
【解答】解：（1）移项，得3x2﹣6x+1=0，二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1；
（2）移项，得4x2+5x﹣81=0，二次项系数是4，一次项系数是5，常数项是﹣81；
（3）去括号，得x2+5x=0，二次项系数是1，一次项系数是5，常数项是0；
（4）去括号，得2x2﹣4x+2=0，二次项系数是2，一次项系数是﹣4，常数项是2；
（5）去括号，得x2+5x=5x﹣10，
移项，得x2+10=0，二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是10；
（6）去括号，得3x2+x﹣2=2x2﹣x，
移项、合并同类项，得
x2+2x﹣2=0，
二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣2．
(1)若关于x的方程x2﹣x﹣1=mx2（2x﹣m+1）是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．21教育网
（2）已知关于x的一元二次方程为2xm﹣4xn+（m+n）=0，试直接写出满足要求的所有m、n的值．21·cn·jy·com
【解答】解：（1）方程化简得：2mx3﹣（m2﹣m+1）x2+x﹣1=0，
又∵这个式子是一元二次方程，
∴2m=0即m=0，∴方程是：x2﹣x﹣1=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣1．
（2）这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2．
∴或或或或
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．www.21-cn-jy.com
【解答】解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，2·1·c·n·j·y
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
，解得．
考点四、直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程
（1）2y2=8． （2）2（x+3）2﹣4=0．
（3）（x+1）2=25 （4）（2x+1）2=（x﹣1）2．
【解答】解：（1）2y2=8 y2=4 y=±2
解得：y1=2，y2=﹣2．
（2）2（x+3）2﹣4=0
（x+3）2=2
x+3=±
解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣；
（3）（x+1）2=25
（x+1）2=100
x+1=±10
解得：x1=﹣11，x2=9．
（4）（2x+1）2=（x﹣1）2
2x+1=x﹣1，2x+1=﹣（x﹣1）
解得：x1=0，x2=﹣2．
一元二次方程（2x﹣1）2=（3﹣x）2的解是x1= ，x2= ．
【解答】解：开方得2x﹣1=±（3﹣x）即：
当2x﹣1=3﹣x时，x1=；
当2x﹣1=﹣（3﹣x）时，x2=﹣2．
已知关于x的方程a（x+m）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是 ．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x1=﹣3，x2=2（a，m，c均为常数，a≠0），【出处：21教育名师】
∴方程a（x+m﹣1）2+c=0变形为a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2，
解得x=﹣2或x=3．
故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解为x1=﹣2，x2=3．
故答案是：x1=﹣2，x2=3．
考点五、因式分解法
用因式分解法解下列方程：
（1）3x2+2x=0
（2）x2=3x
（3）x（3x+2）=6（3x+2）
（4）（3x﹣1）2=（2﹣x）2
（5）3x2+12x=﹣12
（6）x2﹣4x+3=0．
【解答】（1）3x2+2x=0
解：x（3x+2）=0
x=0，3x+2=0
x1=0，x2=﹣；
（2）x2=3x
解：x2﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x=0，x﹣3=0
x1=0，x2=3；
（3）x（3x+2）=6（3x+2）
解：x（3x+2）﹣6（3x+2）=0
（x﹣6）（3x+2）=0
x﹣6=0，3x+2=0
x1=6，x2=﹣；
（4）（3x﹣1）2=（2﹣x）2
解：（3x﹣1）2﹣（2﹣x）2=0
[（3x﹣1）+（2﹣x）][（3x﹣1）﹣（2﹣x）]=0
（2x+1）（4x﹣3）=0
2x+1=0，4x﹣3=0
x1=﹣，x2=；
（5）3x2+12x=﹣12
解：3x2+12x+12=0
3（x+2）2=0
x+2=0
x1=x2=﹣2；
（6）x2﹣4x+3=0
解：（x﹣1）（x﹣3）=0
x﹣1=0，x﹣3=0
x1=1，x2=3．
观察下面方程的解法
x4﹣13x2+36=0
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0
∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0
∴x1=2，x2=﹣2，x3=3，x4=﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2=0的解？
【解答】解：原方程可化为
|x|2﹣3|x|+2=0
∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）=0
∴|x|=1或|x|=2
∴x=1，x=﹣1，x=2，x=﹣2
小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；此题的正确结果是 ．
（2）用因式分解法解方程：x（2x﹣1）=3（2x﹣1）
【解答】解：（1）小明的解法是从第二步出现错误，方程两边不应该同时除以x，
3x2﹣8x（x﹣2）=0，
x（3x﹣8x+16）=0，
x（5x﹣16）=0，
x1=0，x2=；
（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1），
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
2x﹣1=0或x﹣3=0，
x1=，x2=3．
若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
【解答】解：（1）∵a※b=4ab，
∴3※5=4×3×5=60，
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，
4x2+8x﹣32=0，
即x2+2x﹣8=0，
∴x1=2，x2=﹣4，
（3）由a*x=x得，
4ax=x，
无论x为何值总有4ax=x，
∴a=．
三、堂课变式
A组 夯实基础
如果方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④+x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
已知x3-a+3x﹣10=0和x3b-4+6x+8=0都是一元二次方程，求的值．
已知关于x的一元二次方程（b+5）﹣x﹣3=0，试求代数式20x2﹣2x+b的值．
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）x（x﹣2）=4x2_3x；
（2）﹣=；
（3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2=q﹣p（m+n≠0）．
已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7=0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．21*cnjy*com
求下列各式中x的值．
（1）x2=5
（2）x2﹣5=
（3）（x﹣2）2=125
（4）（y+3）3+64=0．
用合适的方法解方程
（1）x2﹣3x=0
（2）（2x﹣1）2=9
（3）（x﹣5）（3x﹣2）=10
（4）x2+6x=1
（5）（2x﹣3）（x+1）=x+1
（6）6x2﹣x﹣12=0．
B组 能力提高
已知关于x的方程（m+）+2（m+3）x﹣5=0．
（1）当方程是一元二次方程时，求m的值；
（2）当方程是一元一次方程时，求m的值．
x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
关于x的一元二次方程x（x﹣2）=﹣x﹣2①与一元一次方程2x+1=2a﹣x②．
（1）若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；
（2）若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．
先化简，再求值：，其中a是方程的解．
若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．
C组 培优精英
试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．【来源：21·世纪·教育·网】
阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，
（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则= ，= ，= ；
（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值．
19．设方程x2+kx﹣2=0和方程2x2+7kx+3=0有一个根互为倒数，求k的值及两个方程的根．
四、课后巩固
A组 夯实基础
若方程mx2+3x﹣4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠3 B．m≠1 C．m≠0 D．m≠2
已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x﹣3）（x﹣4） D．（x+3）（x+4）
若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
若方程（m﹣1）+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
当m为何值时，关于x的方程3mx2+6mx=3﹣x2是一元二次方程？
当m为何值时，方程（m+1）x|4m|﹣2+27mx+5=0关于x的一元二次方程．
若关于x的方程（a﹣3）+（a﹣2）x+5=0是一元二次方程，试求a的值和方程的解．
用直接开平方法解下列方程
（1）（3x﹣2）（3x+2）=8． （2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．
（3）﹣6=0 （4）（x﹣m）2=n．（n为正数）
B组 能力提高
已知关于x的方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1=0．
（1）当m取何值时，它是一元二次方程？
（2）当m取何值时，它是一元一次方程？
若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（a﹣2）2+|b﹣3|+=0，试写出这个一元二次方程．21·世纪*教育网
一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．www-2-1-cnjy-com
在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x= ．【版权所有：21教育】
已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．
C组 培优精英
若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．21教育名师原创作品
若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式a3﹣2a+3的值．
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第4讲 一元二次方程的概念及解法1
一、知识回顾
知识点一、一元二次方程的有关概念
1．一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：【来源：21cnj*y.co*m】
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ( http: / / www.21cnjy.com )，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ( http: / / www.21cnjy.com )是二次项， ( http: / / www.21cnjy.com )是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
(1)只有当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，方程 ( http: / / www.21cnjy.com )才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.21*cnjy*com
知识点二、一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
(1)直接开方法解一元二次方程：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.
(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
①形如关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，可直接开平方求解. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )；表示为 ( http: / / www.21cnjy.com )，有两个不等实数根；若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则x=O；表示为 ( http: / / www.21cnjy.com )，有两个相等的实数根；若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则方程无实数根．
②形如关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，可直接开平方求解，两根是 ( http: / / www.21cnjy.com ).
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平 ( http: / / www.21cnjy.com )方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
2.因式分解法解一元二次方程
(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤
① ( http: / / www.21cnjy.com )将方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次式的积；
③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
(2)常用的因式分解法:提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
①能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
②用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
③用分解因式法解一元二次方程的注意点：a.必须将方程的右边化为0；b.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
二、经典例题
考点一、一元二次方程的概念
例1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的有 ．
（1）2y2+y﹣1=0；（2）x（2x﹣1）=2x2；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2x=1；（4）ax2+bx+c=0；（5） ( http: / / www.21cnjy.com )x2=0．
【解答】解：
（1）2y2+y﹣1=0是关于y的一元二次方程，故错误；
（2）x（2x﹣1）=2x2化成一般式后不含二次项，故错误；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2x=1不是整式方程，故错误；
（4）ax2+bx+c=0二次项系数可能为0，故错误；
（5） ( http: / / www.21cnjy.com )x2=0符合一元二次方程的定义．
故是关于x的一元二次方程的有（5）．
例2. 当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4=0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时，是一元一次方程；
（3）x=﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，
解得，m1= ( http: / / www.21cnjy.com )，m2=﹣1．
例3. 若xa﹣3xa﹣b+1=0是关于x的一元二次方程，求a，b的值．
下面是两位同学的解法：
甲生：根据题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )解方程组得 ( http: / / www.21cnjy.com )
乙生：依题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )，解方程组得 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )
你认为上述两位同学的解答是否正确？为什么？如果不对，请给出正确的答案．
【解答】解：上述两位同学的解法都不正确，
∵xa﹣3xa﹣b+1=0是关于x的一元二次方程，
∴① ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；
③ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；④ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
综上所述， ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com )； ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点二、一元二次方程的解
例4. 已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．
【解答】解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根是﹣1，
∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，
∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，
解得m=﹣4；
又由韦达定理知﹣1×x2=﹣5，
解得x2=5．
即方程的另一根是5．
例5. 若a是方程x2﹣5x+1=0的一个根，求a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：依题意得，
a2﹣5a+1=0，则a≠0，方程两边同时除以a，得a﹣5+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∴a+ ( http: / / www.21cnjy.com )=5，两边同时平方，得：
（a+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=25，a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2=25，
∴a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=23．
考点三、一元二次方程的一般形式
例6. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）3x2+1=6x；
（2）4x2+5x=81；
（3）x（x+5）=0；
（4）（2x﹣2）（x﹣1）=0；
（5）x（x+5）=5x﹣10；
（6）（3x﹣2）（x+1）=x（2x﹣1）
【解答】解：（1）移项，得3x2﹣6x+1=0，二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1；
（2）移项，得4x2+5x﹣81=0，二次项系数是4，一次项系数是5，常数项是﹣81；
（3）去括号，得x2+5x=0，二次项系数是1，一次项系数是5，常数项是0；
（4）去括号，得2x2﹣4x+2=0，二次项系数是2，一次项系数是﹣4，常数项是2；
（5）去括号，得x2+5x=5x﹣10，
移项，得x2+10=0，二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是10；
（6）去括号，得3x2+x﹣2=2x2﹣x，
移项、合并同类项，得
x2+2x﹣2=0，
二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣2．
例7. (1)若关于x的方程x2﹣x﹣1=mx2（2x﹣m+1）是一元二次方程，求出它的二次项系数，一次项系数，常数项．21教育网
（2）已知关于x的一元二次方程为2xm﹣4xn+（m+n）=0，试直接写出满足要求的所有m、n的值．21·cn·jy·com
【解答】解：（1）方程化简得：2mx3﹣（m2﹣m+1）x2+x﹣1=0，
又∵这个式子是一元二次方程，
∴2m=0即m=0，∴方程是：x2﹣x﹣1=0，
∴二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣1．
（2）这个方程是一元二次方程，则m和n都是非负整数，其中最大的是2，且其中至少有一个是2．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )
例8. 一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，试求a，b，c的值．www.21-cn-jy.com
【解答】解：一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为ax2﹣（2a﹣b）x﹣（b﹣a﹣c）=0，2·1·c·n·j·y
一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0化为一般形式后为2x2﹣3x﹣1=0，得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点四、直接开平方法
例9. 用直接开平方法解一元二次方程
（1）2y2=8． （2）2（x+3）2﹣4=0．
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )（x+1）2=25 （4）（2x+1）2=（x﹣1）2．
【解答】解：（1）2y2=8 y2=4 y=±2
解得：y1=2，y2=﹣2．
（2）2（x+3）2﹣4=0
（x+3）2=2
x+3=± ( http: / / www.21cnjy.com )
解得：x1=﹣3+ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣3﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )（x+1）2=25
（x+1）2=100
x+1=±10
解得：x1=﹣11，x2=9．
（4）（2x+1）2=（x﹣1）2
2x+1=x﹣1，2x+1=﹣（x﹣1）
解得：x1=0，x2=﹣2．
例10. 一元二次方程（2x﹣1）2=（3﹣x）2的解是x1= ，x2= ．
【解答】解：开方得2x﹣1=±（3﹣x）即：
当2x﹣1=3﹣x时，x1= ( http: / / www.21cnjy.com )；
当2x﹣1=﹣（3﹣x）时，x2=﹣2．
例11. 已知关于x的方程a（x+m ( http: / / www.21cnjy.com )）2+c=0（a，m，c均为常数，a≠0）的根是x1=﹣3，x2=2，则方程a（x+m﹣1）2+c=0的根是 ．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+c=0的解是x1=﹣3，x2=2（a，m，c均为常数，a≠0），【出处：21教育名师】
∴方程a（x+m﹣1）2+c=0变形为a[（x﹣1）+m]2+c=0，即此方程中x﹣1=﹣3或x﹣1=2，
解得x=﹣2或x=3．
故方程a（x+m﹣1）2+c=0的解为x1=﹣2，x2=3．
故答案是：x1=﹣2，x2=3．
考点五、因式分解法
例12. 用因式分解法解下列方程：
（1）3x2+2x=0
（2）x2=3x
（3）x（3x+2）=6（3x+2）
（4）（3x﹣1）2=（2﹣x）2
（5）3x2+12x=﹣12
（6）x2﹣4x+3=0．
【解答】（1）3x2+2x=0
解：x（3x+2）=0
x=0，3x+2=0
x1=0，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）x2=3x
解：x2﹣3x=0
x（x﹣3）=0
x=0，x﹣3=0
x1=0，x2=3；
（3）x（3x+2）=6（3x+2）
解：x（3x+2）﹣6（3x+2）=0
（x﹣6）（3x+2）=0
x﹣6=0，3x+2=0
x1=6，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）（3x﹣1）2=（2﹣x）2
解：（3x﹣1）2﹣（2﹣x）2=0
[（3x﹣1）+（2﹣x）][（3x﹣1）﹣（2﹣x）]=0
（2x+1）（4x﹣3）=0
2x+1=0，4x﹣3=0
x1=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（5）3x2+12x=﹣12
解：3x2+12x+12=0
3（x+2）2=0
x+2=0
x1=x2=﹣2；
（6）x2﹣4x+3=0
解：（x﹣1）（x﹣3）=0
x﹣1=0，x﹣3=0
x1=1，x2=3．
例13. 观察下面方程的解法
x4﹣13x2+36=0
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）=0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）=0
∴x+2=0或x﹣2=0或x+3=0或x﹣3=0
∴x1=2，x2=﹣2，x3=3，x4=﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2=0的解？
【解答】解：原方程可化为
|x|2﹣3|x|+2=0
∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）=0
∴|x|=1或|x|=2
∴x=1，x=﹣1，x=2，x=﹣2
例14. 小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；此题的正确结果是 ．
（2）用因式分解法解方程：x（2x﹣1）=3（2x﹣1）
【解答】解：（1）小明的解法是从第二步出现错误，方程两边不应该同时除以x，
3x2﹣8x（x﹣2）=0，
x（3x﹣8x+16）=0，
x（5x﹣16）=0，
x1=0，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1），
（2x﹣1）（x﹣3）=0，
2x﹣1=0或x﹣3=0，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=3．
例15. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
【解答】解：（1）∵a※b=4ab，
∴3※5=4×3×5=60，
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，
4x2+8x﹣32=0，
即x2+2x﹣8=0，
∴x1=2，x2=﹣4，
（3）由a*x=x得，
4ax=x，
无论x为何值总有4ax=x，
∴a= ( http: / / www.21cnjy.com )．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 如果方程（m﹣3） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
【解答】解：由一元二次方程的定义可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得m=﹣3．
故选C．
2. 有下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0，②3x（x﹣4）=0，③x2+y﹣3=0，④ ( http: / / www.21cnjy.com )+x=2，⑤x3﹣3x+8=0，⑥ ( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣5x+7=0，⑦（x﹣2）（x+5）=x2﹣1．其中是一元二次方程的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：一元二次方程有②⑥，共2个，
故选A．
3. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
【解答】解：解方程x2﹣12x+35=0得：x=5或x=7．
当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；
当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【解答】解：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
5. 已知x3﹣a+3x﹣10=0和x3b﹣4+6x+8=0都是一元二次方程，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：3﹣a=2．即：a=1；
3b﹣4=2，即b=2
( http: / / www.21cnjy.com )，
=[ ( http: / / www.21cnjy.com )]2002 ( http: / / www.21cnjy.com )2
=（a﹣b）2002 ( http: / / www.21cnjy.com )2，
把a=1，b=2代入，
原式=（1﹣2）2002（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=（1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=3+2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
6. 已知关于x的一元二次方程（b+5） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣x﹣3=0，试求代数式20x2﹣2x+b的值．
【解答】解：依题意得，
b+5≠0，b2﹣23=2，
∴b=5（b=﹣5不符合题意，舍去），
∴10x2﹣x﹣3=0，
则10x2﹣x=3，
∴20x2﹣2x+b=2（10x2﹣x）+5=2×3+5=11．
7. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）x（x﹣2）=4x2_3x；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）关于x的方程mx2﹣nx+mx+nx2=q﹣p（m+n≠0）．
【解答】解：（1）一元二次方程的一般形式3x2﹣x=0，二次项系数是3、一次项系数是﹣1，常数项是0；21cnjy.com
（2）一元二次方程的一般形式 ( http: / / www.21cnjy.com )=0，二次项系数 ( http: / / www.21cnjy.com )、一次项系数是0，常数项是0；
（3）一元二次方程的一般形式（m+n）x2+（m﹣n）x+p﹣q=0，二次项系数（m+n），一次项系数（m﹣n），常数项（q﹣p）．2-1-c-n-j-y
8. 已知关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7=0是一元二次方程，求m的值及其相应的二次项系数，一次项系数，常数项．21*cnjy*com
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+4x2+2x+7=0是一元二次方程，
∴|m+1|=1或2，
当|m+1|=1时，解得：m=0，
故原方程可化简为：4x2+x+7=0，
二次项系数为：4，一次项系数为：1，常数项为：7；
当|m+1|=2时，解得：m=1或﹣3（不合题意舍去），
故原方程可化简为：4x2+2x+7=0
二次项系数为：4，一次项系数为：2，常数项为：7．
9. 求下列各式中x的值．
（1）x2=5
（2）x2﹣5= ( http: / / www.21cnjy.com )
（3）（x﹣2）2=125
（4）（y+3）3+64=0．
【解答】解：（1）x2=5，
解得x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）x2﹣5= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
（3）（x﹣2）2=125
x﹣2=±5 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得x1=2+5 ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=2﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（4）（y+3）3+64=0，
（y+3）3=﹣64，
y+3=﹣4，
y=﹣7．
10. 用合适的方法解方程
（1）x2﹣3x=0
（2）（2x﹣1）2=9
（3）（x﹣5）（3x﹣2）=10
（4）x2+6x=1
（5）（2x﹣3）（x+1）=x+1
（6）6x2﹣x﹣12=0．
【解答】解：（1）∵x（x﹣3）=0，
∴x=0或x﹣3=0，
解得：x=0或x=3；
（2）∵2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3，
解得：x=2或x=﹣1；
（3）整理得3x2﹣17x=0，
∵x（3x﹣17）=0，
∴x=0或3x﹣17=0，
解得：x=0或x= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（4）∵x2+6x=1，
∴x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10，
则x+3= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x=﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（5）∵（x+1）（2x﹣3﹣1）=0，即2（x+1）（x﹣2）=0，
∴x+1=0或x﹣2=0，
解得：x=﹣1或x=2；
（6）∵（2x﹣3）（3x+4）=0，
∴2x﹣3=0或3x+4=0，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com )或x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
11. 已知关于x的方程（m+ ( http: / / www.21cnjy.com )） ( http: / / www.21cnjy.com )+2（m+3）x﹣5=0．
（1）当方程是一元二次方程时，求m的值；
（2）当方程是一元一次方程时，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m+ ( http: / / www.21cnjy.com )） ( http: / / www.21cnjy.com )+2（m+3）x﹣5=0，是一元二次方程，
∴m2﹣1=2且m+ ( http: / / www.21cnjy.com )≠0，
解得m= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）∵关于x的方程（m+ ( http: / / www.21cnjy.com )） ( http: / / www.21cnjy.com )+2（m+3）x﹣5=0是一元一次方程，
∴①m+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0且2（m+3）≠0，
解得m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
②m2﹣1=1且m+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2（m+3）≠0，
解得m=± ( http: / / www.21cnjy.com )；
③m2﹣1=0且2（m+3）≠0，
解得m=±1．
12. x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
【解答】解：∵x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，
∴① ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；
③ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；④ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )；
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
综上所述 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
13. 关于x的一元二次方程x（x﹣2）=﹣x﹣2①与一元一次方程2x+1=2a﹣x②．
（1）若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；
（2）若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．
【解答】解：解方程①，得x1=1，x2=2，
解方程②，得x= ( http: / / www.21cnjy.com )．
当 ( http: / / www.21cnjy.com )=1时，a=2；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )=2时，a= ( http: / / www.21cnjy.com )．
综上所述，a的值是2或 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）由题可知，1≤ ( http: / / www.21cnjy.com )≤2，解得2≤a≤ ( http: / / www.21cnjy.com )．
14. 先化简，再求值： ( http: / / www.21cnjy.com )，其中a是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解．
【解答】解：∵a是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解，
∴a2﹣a﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
∴a﹣a2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
={ ( http: / / www.21cnjy.com )}÷ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣a2
= ( http: / / www.21cnjy.com )÷ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣a2
= ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )﹣a2
=a﹣a2，
∴代数式的值为﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
15. 若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．
【解答】解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0，
∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0，
解得：m=4或m=﹣1，
当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；
则m的值为4．
C组 培优精英
16. 试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
【解答】证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，
∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
17. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+5m=mx+5与x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x+m﹣1=0互为“友好方程”，求m的值．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：x2﹣4x+5m=mx+5，
整理得x2﹣（4+m）x+5（m﹣1）=0，
分解因式得（x﹣5）[x﹣（m﹣1）]=0，
解得x1=5，x2=m﹣1．
当x=5时，25+5 ( http: / / www.21cnjy.com )+m﹣1=0，解得m=﹣24﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com )；
当x=m﹣1时，（m﹣1）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )（m﹣1）+m﹣1=0，解得m=1或m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以m的值为﹣24﹣5 ( http: / / www.21cnjy.com )或1或﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
18. 阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以 ( http: / / www.21cnjy.com )得： ( http: / / www.21cnjy.com )即 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则 ( http: / / www.21cnjy.com )= ， ( http: / / www.21cnjy.com )= ， ( http: / / www.21cnjy.com )= ；
（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1=0，
∴x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4，∴（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=16，∴x2+2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=16，
∴x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )=14，∴（x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=196，
∴x4+ ( http: / / www.21cnjy.com )+2=196，∴x4+ ( http: / / www.21cnjy.com )=194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x2﹣7x+2=0，
∴x+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）（x2﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )）= ( http: / / www.21cnjy.com )×（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）= ( http: / / www.21cnjy.com )．
4．设方程x2+kx﹣2=0和方程2x2+7kx+3=0有一个根互为倒数，求k的值及两个方程的根．
【解答】解：设a是方程x2+kx﹣2=0的根，则 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程2x2+7kx+3=0的根，
∴①a2+ka﹣2=0，② ( http: / / www.21cnjy.com )+3=0，
由②，得3a2+7ka+2=0，③
由①，得ka=2﹣a2，代入③，得
3a2+7（2﹣a2）+2=0，
∴4a2=16，∴a=±2．
代入①，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，方程①变为x2﹣x﹣2=0，根为2和﹣1，方程②变为2x2﹣7x+3=0，根为 ( http: / / www.21cnjy.com )和3；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，方程①变为x2+x﹣2=0，根为﹣2和1，方程②变为2x2+7x+3=0，根为﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )和﹣3．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 若方程mx2+3x﹣4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠3 B．m≠1 C．m≠0 D．m≠2
【解答】解：把方程mx2+3x﹣4=3x2转化为一般形式为（m﹣3）x2+3x﹣4=0，
由一元二次方程的特点得m﹣3≠0，即m≠3．
故选A．
2. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
【解答】解：x2﹣6x+8=0
（x﹣4）（x﹣2）=0
∴x1=4，x2=2，
由三角形的三边关系可得：
腰长是4，底边是2，
所以周长是：4+4+2=10．
故选：B．
3. 一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，那么二次三项式x2+px+q可分解为（ ）
A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．（x﹣3）（x﹣4） D．（x+3）（x+4）
【解答】解：若一元二次方程x2+px+q=0的两根为3、4，
那么倒数第二步为：（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x2+px+q=（x﹣3）（x﹣4），故选C．
4. 若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
【解答】解：∵（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0，|m|=2，
解得：m=2，
故答案为：2．
5. 若方程（m﹣1） ( http: / / www.21cnjy.com )+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
【解答】解：∵（m﹣1） ( http: / / www.21cnjy.com )+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，
∴m2+1=2，m﹣1≠0，
解得m=±1，m≠1，
∴m=﹣1，
故答案为﹣1．
6. 当m为何值时，关于x的方程3mx2+6mx=3﹣x2是一元二次方程？
【解答】解：∵关于x的方程3mx2+6mx=3﹣x2是一元二次方程，
∴（3m+1）x2+6mx﹣3=0，
当3m+1≠0时，即m≠﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，关于x的方程3mx2+6mx=3﹣x2是一元二次方程．
7. 当m为何值时，方程（m+1）x|4m|﹣2+27mx+5=0关于x的一元二次方程．
【解答】解：∵方程（m+1）x|4m|﹣2+27mx+5=0关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，|4m|﹣2=2．
解得：m=1．
8. 若关于x的方程（a﹣3） ( http: / / www.21cnjy.com )+（a﹣2）x+5=0是一元二次方程，试求a的值和方程的解．
【解答】解：由题意得：a2﹣5a+8=2且a﹣3≠0，
解得：a=2，
则关于x的方程为﹣x2+5=0，
解得x=± ( http: / / www.21cnjy.com )．
故a的值为2，方程的解为± ( http: / / www.21cnjy.com )．
9. 用直接开平方法解下列方程
（1）（3x﹣2）（3x+2）=8． （2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣6=0 （4）（x﹣m）2=n．（n为正数）
【解答】解：（1）（3x﹣2）（3x+2）=8
9x2﹣4=8 x2= ( http: / / www.21cnjy.com ) x=± ( http: / / www.21cnjy.com )
解得：x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2
5﹣2x=3（x+3），5﹣2x=﹣3（x+3）
解得：x1=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣14；
（3） ( http: / / www.21cnjy.com )﹣6=0
（x﹣4）2=9x﹣4=±3
解得：x1=1，x2=7；
（4）（x﹣m）2=n
x﹣m=± ( http: / / www.21cnjy.com ) 解得：x1=m+ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=m﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
10. 已知关于x的方程（m+1）x ( http: / / www.21cnjy.com )+（m﹣3）x﹣1=0．
（1）当m取何值时，它是一元二次方程？
（2）当m取何值时，它是一元一次方程？
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m+1）x ( http: / / www.21cnjy.com )+（m﹣3）x﹣1=0是一元二次方程，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得m=±2，
∴m=±2时，原方程是一元二次方程．
（2）∵关于x的方程（m+1）x ( http: / / www.21cnjy.com )+（m﹣3）x﹣1=0是一元一次方程，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )或m2﹣2=0，
解得m=﹣1、m=± ( http: / / www.21cnjy.com )或m=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴m=﹣1、m=± ( http: / / www.21cnjy.com )或m=± ( http: / / www.21cnjy.com )时，原方程是一元一次方程．
11. 若关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足条件（ ( http: / / www.21cnjy.com )a﹣2）2+|b﹣3|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，试写出这个一元二次方程．21·世纪*教育网
【解答】解：由（ ( http: / / www.21cnjy.com )a﹣2）2+|b﹣3|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，得
( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
关于x的一元二次方程中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，得4x2+3x﹣7=0．
12. 一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x﹣1=0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c=0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）=0，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴a2+b2﹣c2=9+16=25，
∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．
13. 在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x= ．【版权所有：21教育】
【解答】解：其规则为：a☆b=a2﹣b2，
则方程（4☆3）☆x=13解的步骤为：
（42﹣32）☆x=13， 7☆x=13，
49﹣x2=13， x2=36， ∴x=±6．
14. 已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．
【解答】解：∵方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，
∴方程9+3（m﹣1）+m﹣10=0，
即4m﹣4=0，解得m=1；有方程x2﹣9=0，
解得x=±3，所以另一根为﹣3．
C组 培优精英
15. 若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．21教育名师原创作品
【解答】解：∵0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，
∴m2+2m﹣8=0，解得：m=2或﹣4，
①当m﹣2≠0，∴m=﹣4，
∴原方程为：﹣6x2+3x=0，
△=b2﹣4ac=9＞0，
∴此方程有两个不相等的根．
﹣6x2+3x=0，
﹣3x（2x﹣1）=0，
解得：x=0或0.5，
②当m=2，∴3x=0，∴x=0．
16. 若a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，求代数式a3﹣2a+3的值．
【解答】解：由a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根得：a2﹣a﹣1=0，即a2﹣a=1，
∴a3﹣2a+3=a3﹣a2+a2﹣a﹣a+3=a（a2﹣a）+（a2﹣a）﹣a+3=a+1﹣a+3=4
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