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第5讲 一元二次方程的解法2
一、知识回顾
知识点一、一元二次方程的解法---配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.21·cn·jy·com
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤(一除二移三配四开方)：
①把原方程化为的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.www-2-1-cnjy-com
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．【版权所有：21教育】
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
知识点三、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式 :一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式:一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.
理解：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.
② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
二、经典例题
考点一、用配方法解方程
用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．
【解答】解：2x2+3x﹣1=0
x2+
x2+
x+
x1=
解方程（配方法）：2x2+3x﹣2=0．
【解答】解：由原方程，得
2x2+3x=2，
化二次项系数为1，得
x2+x=1，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+x+=1+，
即（x+）2=，
∴x+=±，
∴x1=，x2=﹣2．
关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=（x+m）2+n
（1）则m= ，n= ；
（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7？
【解答】解：（1）x2+4x+9
=x2+4x+4+5
=（x+2）2+5，
∵x2+4x+9=（x+m）2+n，
∴m=2，n=5，
故答案为：2，5；
（2）根据题意得：x2+4x+9=7，
（x+2）2=7﹣5，
x+2=，
x=﹣2±
即当x=﹣2，此二次三项式的值为7．
考点二、配方法的应用
已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
【解答】解：由题意，知：Q﹣P=m2﹣m﹣m+1=m2﹣m+1=m2﹣m++=（m﹣）2+；
由于（m﹣）2≥0，所以（m﹣）2+＞0；
因此Q﹣P＞0，即Q＞P．
故选：C．
把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h，k是常数）的形式是 ．
【解答】解：原式=x2﹣4x+4﹣3=（x﹣2）2﹣3．
如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为（）m．正五边形的边长为（2b﹣5）m，则这段铁丝的总长是 m．2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据题意得：
4（）=5（2b﹣5），
4a2﹣4ab+2b2=10b﹣25，
4a2﹣4ab+2b2﹣10b+25=0，
4a2﹣4ab+b2+b2﹣10b+25=0，
（2a﹣b）2+（b﹣5）2=0，
∵（2a﹣b）2≥0，（b﹣5）2≥0，
∴2a﹣b=0，b﹣5=0，
∴b=5，a=，
∴这段铁丝的总长是5（2b﹣5）=5×（2×5﹣5）=25（m）．
故答案为：25．
考点三、用公式法解一元二次方程
按要求解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4=0；
（2）用公式法解方程：3x2﹣1=4x．
【解答】解：移项，得
2x2+7x=4，
二次项系数化为1，得
x2+x=2，
配方，得
（x+）2=2+，
开方，得
x+=，
x1=，x2=﹣4；
（2）化成一般式，得
3x2﹣4x﹣1=0，
a=3，b=﹣4，c=﹣1，
b2﹣4ac=28，
x1===，
x2===．
考点四、一元二次方程根的判别式
已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，
则（k﹣3）2=0，
解得k=3，
方程为x2﹣6x+9=0，
解得x1=x2=3，
故△ABC的周长为：2+3+3=8；
当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，
方程为x2﹣5x+6=0，
解得，x1=2，x2=3，
故△ABC的周长为：2+2+3=7．
已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根，求m的值及这个方程的另一根．21·世纪*教育网
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围是k≤1；
（2）当k≤1时的最大整数值是1，
则关于x的方程x2﹣2x+k=0是x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∵方程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根，
∴当x=﹣1时，（m﹣1）+3m﹣7=0，
解得：m=2．
则原方程为x2﹣6x﹣7=0，
解得x1=7，x2=﹣1，方程的另一根是7．
答：m的值是2．方程的另一根是7．
关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．
【解答】解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，
解得a≤且a≠6，
所以a的最大整数值为7；
（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，
△=64﹣4×9=28，
∴x=，
∴x1=4+，x2=4﹣；
②∵x2﹣8x+9=0，
∴x2﹣8x=﹣9，
所以原式=2x2﹣，
=2x2﹣16x+，
=2（x2﹣8x）+，
=2×（﹣9）+，
=﹣．
三、堂课变式
A组 夯实基础(大概10题左右)
将一元二次方程x2+8x+3=0化成（x+a）2=b的形式，则a+b的值为 ．
用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上 ．
用配方法解方程：2x2+1=3x．
小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．
阅读下面的例题：分解因式x2+2x﹣1；
解：令x2+2x﹣1=0，得到一个关于x的一元二次方程．
∵a=1，b=2，c=﹣1
∴
解得：，
∴x2+2x﹣1=（x﹣x1）（x﹣x2）
=
=
这种分解因式的方法叫做求根法，请你利用这种方法分解因式：x2﹣3x+1
解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）
定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．
B组 能力提高(大概7题左右)
解下列方程或不等式组
（1）用配方法解方程：x2﹣x=3x+5
（2）解不等式组：，并判断﹣1，这两个数是否为该不等式组的解．
已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
请阅读下列材料：
我们规定一种运算：=ad﹣bc，例如：=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果；2-1-c-n-j-y
（2）当x取何值时，=0；
（3）若==﹣7，直接写出x和y的值．
在正数范围内定义某种运算“ ”，作如下规定：a b=a2+ab﹣b2，求方程x （x+1）=0的解．21cnjy.com
已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【来源：21cnj*y.co*m】
关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
C组 培优精英
小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．www.21-cn-jy.com
（1）据此可知：i3=i2 i=﹣i，i4= ，i42= ；
（2）解方程：x2﹣2x+2=0（根用i表示）．
一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 ．21*cnjy*com
关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
整数a使得关于x，y的方程组对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．
四、课后巩固
A组 夯实基础
用配方法解方程时，将方程x2+8x+9=0配方为（x+ ）2= ．
将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n= ．
把x2﹣3x+4配成（x+h）2+k的形式，则x2﹣3x+4= ．
用配方法解方程：2x2+5x+3=0．
解方程
（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）
（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）
已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
B组 能力提高
小明同学解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的过程如图所示
解：x2﹣4x=1…①
x2﹣4x+4=1 …②
（x﹣2）2=1…③
x﹣2=±1…④
x1=3，x2=1…⑤
（1）小明解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误，这一步的运算依据应该是 ；21教育网
（2）解这个方程．
已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，求b的值．
已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
k取什么值时，方程组：有一个实数解并求出这时方程组的解．
C组 培优精英
到高中时，我们将学习虚数i，（i叫虚数单位）．规定i2=﹣1，如﹣2=2×（﹣1）=（±）2 i2=（±i）2，那么x2=﹣2的根就是：x1=i，x2=﹣i．试求方程x2+2x+3=0的根．
求函数的最小值，较合适的数学方法应该是配方法，请写出解决过程.
已知a，b，c为△ABC的三边，且a为最大边，解方程：a（1+x2）+2bx+c（1﹣x2）=0．
设a、b、c为非零实数，且ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0，试问：a、b、c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．
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第5讲 一元二次方程的解法2
一、知识回顾
知识点一、一元二次方程的解法---配方法
1．配方法解一元二次方程：
(1)配方法解一元二次方程：
将一元二次方程配成 ( http: / / www.21cnjy.com )的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.21·cn·jy·com
(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： ( http: / / www.21cnjy.com ).
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤(一除二移三配四开方)：
①把原方程化为 ( http: / / www.21cnjy.com )的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.www-2-1-cnjy-com
知识点二、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．【版权所有：21教育】
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
知识点三、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式 :一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com ).
2.一元二次方程根的判别式:一元二次方程根的判别式： ( http: / / www.21cnjy.com )．
①当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，原方程有两个不等的实数根 ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，原方程有两个相等的实数根 ( http: / / www.21cnjy.com )；
③当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤:①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；④若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则利用公式 ( http: / / www.21cnjy.com )求出原方程的解；若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则原方程无实根.
理解：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，用配方法将其变形为： ( http: / / www.21cnjy.com ).
①当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根： ( http: / / www.21cnjy.com ).
② 当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： ( http: / / www.21cnjy.com ).
③ 当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，右端是负数．因此，方程没有实根.
二、经典例题
考点一、用配方法解方程
例1. 用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．
【解答】解：2x2+3x﹣1=0
x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )
x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
x+ ( http: / / www.21cnjy.com )
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )
例2. 解方程（配方法）：2x2+3x﹣2=0．
【解答】解：由原方程，得
2x2+3x=2，
化二次项系数为1，得
x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x=1，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方 ( http: / / www.21cnjy.com )，得
x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
即（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣2．
例3. 关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得x2+4x+9=（x+m）2+n
（1）则m= ，n= ；
（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7？
【解答】解：（1）x2+4x+9
=x2+4x+4+5
=（x+2）2+5，
∵x2+4x+9=（x+m）2+n，
∴m=2，n=5，
故答案为：2，5；
（2）根据题意得：x2+4x+9=7，
（x+2）2=7﹣5，
x+2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x=﹣2± ( http: / / www.21cnjy.com )
即当x=﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，此二次三项式的值为7．
考点二、配方法的应用
例4. 已知 ( http: / / www.21cnjy.com )（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
【解答】解：由题意，知：Q﹣P=m2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )m﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )m+1=m2﹣m+1=m2﹣m+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=（m﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )；
由于（m﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2≥0，所以（m﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0；
因此Q﹣P＞0，即Q＞P．
故选：C．
例5. 把x2﹣4x+1化为（x+h）2+k（其中h，k是常数）的形式是 ．
【解答】解：原式=x2﹣4x+4﹣3=（x﹣2）2﹣3．
例6. 如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为（ ( http: / / www.21cnjy.com )）m．正五边形的边长为（2b﹣5）m，则这段铁丝的总长是 m．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：根据题意得：
4（ ( http: / / www.21cnjy.com )）=5（2b﹣5），
4a2﹣4ab+2b2=10b﹣25，
4a2﹣4ab+2b2﹣10b+25=0，
4a2﹣4ab+b2+b2﹣10b+25=0，
（2a﹣b）2+（b﹣5）2=0，
∵（2a﹣b）2≥0，（b﹣5）2≥0，
∴2a﹣b=0，b﹣5=0，
∴b=5，a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴这段铁丝的总长是5（2b﹣5）=5×（2×5﹣5）=25（m）．
故答案为：25．
考点三、用公式法解一元二次方程
例7. 按要求解下列方程
（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4=0；
（2）用公式法解方程：3x2﹣1=4x．
【解答】解：移项，得
2x2+7x=4，
二次项系数化为1，得
x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x=2，
配方，得
（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
开方，得
x+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣4；
（2）化成一般式，得
3x2﹣4x﹣1=0，
a=3，b=﹣4，c=﹣1，
b2﹣4ac=28，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x2= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
考点四、一元二次方程根的判别式
例8. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．
（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．
（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，
故不论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，
则（k﹣3）2=0，
解得k=3，
方程为x2﹣6x+9=0，
解得x1=x2=3，
故△ABC的周长为：2+3+3=8；
当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，
方程为x2﹣5x+6=0，
解得，x1=2，x2=3，
故△ABC的周长为：2+2+3=7．
例9. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方 ( http: / / www.21cnjy.com )程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根，求m的值及这个方程的另一根．21·世纪*教育网
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围是k≤1；
（2）当k≤1时的最大整数值是1，
则关于x的方程x2﹣2x+k=0是x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∵方程x2﹣2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m﹣1）x2﹣3mx﹣7=0的一个根，
∴当x=﹣1时，（m﹣1）+3m﹣7=0，
解得：m=2．
则原方程为x2﹣6x﹣7=0，
解得x1=7，x2=﹣1，方程的另一根是7．
答：m的值是2．方程的另一根是7．
例10. 关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．
（1）求a的最大整数值；
（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【解答】解：（1）根据题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，
解得a≤ ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠6，
所以a的最大整数值为7；
（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，
△=64﹣4×9=28，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1=4+ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=4﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
②∵x2﹣8x+9=0，
∴x2﹣8x=﹣9，
所以原式=2x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=2x2﹣16x+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=2（x2﹣8x）+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=2×（﹣9）+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
三、堂课变式
A组 夯实基础(大概10题左右)
1. 将一元二次方程x2+8x+3=0化成（x+a）2=b的形式，则a+b的值为 ．
【解答】解：方程x2+8x+3=0，
移项得：x2+8x=﹣3，
配方得：x2+8x+16=13，即（x+4）2=13，
可得a=4，b=13，
则a+b=13+4=17．
故答案为：17．
2. 用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上 ．
【解答】解：用配方法解一元二次方程x2+6x=1时，应该在等式两边都加上32，即9，
故答案为：9．
3. 用配方法解方程：2x2+1=3x．
【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，
二次项系数化为1，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
配方 ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
由此可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1=1， ( http: / / www.21cnjy.com )．
4. 小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ( http: / / www.21cnjy.com )．请你举出反例说明小红的结论是错误的．21世纪教育网版权所有
【解答】解：如方程x2+5x+6=0，
（x+2）（x+3）=0，
∴x1=﹣2，x2=﹣3，
小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
则x= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x=2和x=3，
这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，
故小红的结论是错误的．
5. 阅读下面的例题：分解因式x2+2x﹣1；
解：令x2+2x﹣1=0，得到一个关于x的一元二次方程．
∵a=1，b=2，c=﹣1
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
∴x2+2x﹣1=（x﹣x1）（x﹣x2）
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
这种分解因式的方法叫做求根法，请你利用这种方法分解因式：x2﹣3x+1
【解答】解：令x2﹣3x+1=0，得到一个关于x的一元二次方程．
∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )．
所以x2﹣3x+1=（x﹣x1）（x﹣x2）=（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）．
6. 解下列方程：
（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）
（2）2x2﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣5=0（公式法）
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，
配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，
开方得：x﹣2=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：x1=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）这里a=2，b=﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )，c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
7. 定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n= ( http: / / www.21cnjy.com )m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：∵2☆a的值小于0，
∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．
在方程2x2﹣bx+a=0中，
△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，
∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根
B组 能力提高(大概7题左右)
8. 解下列方程或不等式组
（1）用配方法解方程：x2﹣x=3x+5
（2）解不等式组： ( http: / / www.21cnjy.com )，并判断﹣1， ( http: / / www.21cnjy.com )这两个数是否为该不等式组的解．
【解答】解：（1）原方程整理得：x2﹣4x=5，
∴x2﹣4x+4=5+4，即（x﹣2）2=9，
∴x﹣2=3或x﹣2=﹣3，
解得：x=5或x=﹣1；
（2）解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式3（x﹣1）+2≥2x，得：x≥1，
∴不等式组的解集为x≥1，
∵﹣1＜1， ( http: / / www.21cnjy.com )＞1，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是该不等式组的解．
9. 已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
【解答】解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，
∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．
故答案为：4．
10. 请阅读下列材料：
我们规定一种运算： ( http: / / www.21cnjy.com )=ad﹣bc，例如： ( http: / / www.21cnjy.com )=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出 ( http: / / www.21cnjy.com )的计算结果；2-1-c-n-j-y
（2）当x取何值时， ( http: / / www.21cnjy.com )=0；
（3）若 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣7，直接写出x和y的值．
【解答】解：（1）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=ad﹣bc，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1×0.5﹣（﹣2）×2=﹣0.5+4=3.5；
（2）由题意，得2x2﹣1×（0.5﹣x）=0，
整理，得4x2+2x﹣1=0，
解之，得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴当 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )=0；
（3）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=ad﹣bc，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=3（0.5x﹣1）﹣8y， ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣x+0.5y，
由题意，得组 ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故x=8，y=2．
11. 在正数范围内定义某种运算“ ”，作如下规定：a b=a2+ab﹣b2，求方程x （x+1）=0的解．21cnjy.com
【解答】解：x （x+1）=0，
x2+x（x+1）﹣（x+1）2=0，
x2+x2+x﹣（x2+2x+1）=0，
x2+x2+x﹣x2﹣2x﹣1=0，
x2﹣x﹣1=0，
x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )．
12. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】（1）证明：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解为x= ( http: / / www.21cnjy.com )，即x1=k，x2=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，
综合上述，k的值为5或4．
13. 关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数．
【解答】解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由求根公式，得x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )=1；
∵m为整数，且方程的两个根均为正整数，
∴x1= ( http: / / www.21cnjy.com )=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，必为正整数，
∴m﹣1=1或2，
∴m=2或m=3．
C组 培优精英
14. 小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同 ( http: / / www.21cnjy.com )学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么x2=i2，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．www.21-cn-jy.com
（1）据此可知：i3=i2 i=﹣i，i4= ，i42= ；
（2）解方程：x2﹣2x+2=0（根用i表示）．
【解答】解：（1）1，﹣1
（2）x2﹣2x+1=﹣1，（x﹣1）2=﹣1
x﹣1=±i
x=1±i，∴x1=1+i，x2=1﹣i．
15. 一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两个数字乘积的2倍，请写出符合上述条件的一个三位数 ．21*cnjy*com
【解答】解：设此三位数为：100x+10y+z，
根据题意得：x2+y2+z2=2xy或x2+y2+z2=2xz或x2+y2+z2=2yz，
即x2+y2﹣2xy=﹣z2或x2﹣2xz+z2=﹣y2或y2+z2﹣2yz=﹣x2，
则（x﹣y）2=﹣z2或（x﹣z）2=﹣y2或（y﹣z）2=﹣x2，
故x﹣y=z或x﹣z=y或y﹣z=x，
故此题答案不唯一，如101，110，202，220等，只要是两个相同的数学和0构成的三位数就行．
故答案为：此题答案不唯一，如101，110，202，220等．
16. 关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．
（1）求出方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
【解答】解：（1）根据题意，得m≠1．
∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，
则x1= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x2=1；
（2）由（1）知，x1= ( http: / / www.21cnjy.com )=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵方程的两个根都为正整数，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )是正整数，
∴m﹣1=1或m﹣1=2，
解得m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．
17. 整数a使得关于x，y的方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．
【解答】解：由第一个方程得 ( http: / / www.21cnjy.com )：x=2y+3a﹣b，然后把x代入第二个方程得关于y的方程：2y2+（3a﹣b）y﹣（b2﹣2a2+3b+4）=0，【出处：21教育名师】
则根据题意得△≥0，即△=（3a﹣b）2+4×2（b2﹣2a2+3b+4）≥0，
∴9b2+6b（4﹣a）+（32﹣7a ( http: / / www.21cnjy.com )2）≥0，由于b取每一个实数都成立，把它理解为函数z=9b2+6b（4﹣a）+（32﹣7a2）的图象不在横轴的下方，而开口向上，所以满足△≤0，即△=36（4﹣a）2﹣4×9（32﹣7a2）≤0，整理得a2﹣a﹣2≤0，21教育名师原创作品
∴（a﹣2）（a+1）≤0，
所以﹣1≤a≤2，
则整数a的值为﹣1，0，1，2．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 用配方法解方程时，将方程x2+8x+9=0配方为（x+ ）2= ．
【解答】解：方程x2+8x+9=0，
移项得：x2+8x=﹣9，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7．
故答案为：4；7．
2. 将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n= ．
【解答】解：x2﹣4x﹣1=0，
移项得：x2﹣4x=1，
配方得：x2﹣4x+4=1+4，
（x﹣2）2=5，
∴m=2，n=5，
∴m+n=5+2=7，
故答案为：7．
3. 把x2﹣3x+4配成（x+h）2+k的形式，则x2﹣3x+4= ．
【解答】解：x2﹣3x+4
=x2﹣3x+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+4
=（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为：（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
4. 用配方法解方程：2x2+5x+3=0．
【解答】解：∵2x2+5x=﹣3，
∴x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，即（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1=﹣1，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
5. 解方程
（l）2x2﹣3x+1=0（公式法）
（2）3x2﹣6x+4=0（配方法）
【解答】解：（1）这里a=2，b=﹣3，c=1，
∵△=9﹣8=1，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：x1=1，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）方程整理得：x2﹣2x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
配方得：x2﹣2x+1=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，即（x﹣1）2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
则此方程无解．
6. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1=﹣a，x 1=a﹣2，
解得：x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即a= ( http: / / www.21cnjy.com )，方程的另一个根为﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
B组 能力提高
7. 小明同学解一元二次方程x2﹣4x﹣1=0的过程如图所示
解：x2﹣4x=1…①
x2﹣4x+4=1 …②
（x﹣2）2=1…③
x﹣2=±1…④
x1=3，x2=1…⑤
（1）小明解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误，这一步的运算依据应该是 ；21教育网
（2）解这个方程．
【解答】解：（1）小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质；21*cnjy*com
故答案为：配方法，②，等式的基本性质；
（2）x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=1+4，
（x﹣2）2=5，
x﹣2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x=2± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1=2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
8. 已知实数a，b同时满足a2+b2﹣11=0，a2﹣5b﹣5=0，求b的值．
【解答】解：由a2﹣5b﹣5=0得：a2=5b+5
把a2=5b+5代入a2+b2﹣11=0，得：b2+5b﹣6=0
解得b1=﹣6；b2=1
把b1=﹣6代入a2﹣5b﹣5=0得：a2+25=0，此方程无解．
把b=1代入a2﹣5b﹣5=0得：a2=10，方程有解是± ( http: / / www.21cnjy.com )
所以b的值为1．
9. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
△=（m+2）2﹣4m×2
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
10. k取什么值时，方程组： ( http: / / www.21cnjy.com )有一个实数解并求出这时方程组的解．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )
由①得y=x﹣k，③
把③代入②得
x2﹣8x+8k=0，
∵方程组只有一个实数解，
∴△=（﹣8）2﹣4×8k=64﹣32k=0，
∴k=2．
∴原方程化为x2﹣8x+8×2=0，
即x2﹣8x+16=0，
（x﹣4）2=0，
∴x=4．
把x=4，k=2代入①，
得y=2．
∴方程组的实数解是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
C组 培优精英
11. 到高中时，我们将学习虚数i，（i叫虚数单位）．规定i2=﹣1，如﹣2=2×（﹣1）=（± ( http: / / www.21cnjy.com )）2 i2=（± ( http: / / www.21cnjy.com )i）2，那么x2=﹣2的根就是：x1= ( http: / / www.21cnjy.com )i，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )i．试求方程x2+2x+3=0的根．
【解答】解：∵x2+2x+3=0，
∴x2+2x+1=﹣2，
∴（x+1）2=﹣2，
x+1=± ( http: / / www.21cnjy.com )i，
解得x=﹣1± ( http: / / www.21cnjy.com )i，
所以x1=﹣1+ ( http: / / www.21cnjy.com )i，x2=﹣1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )i．
12. 求函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值，较合适的数学方法应该是配方法，请写出解决过程.
【解答】解：要求该函数的最小值，可以运用配方法：即y=（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+2≥2，则当x=±1时，有最小值是2；
13. 已知a，b，c为△ABC的三边，且a为最大边，解方程：a（1+x2）+2bx+c（1﹣x2）=0．
【解答】解：原方程可化为：（a﹣c）x2+2bx+（a+c）=0，
当三角形是锐角三角形时，
∵a为最大边，
∴a﹣c≠0，
∵△=4b2﹣4a2+4c2，
∵a，b，c为△ABC的三边，
∴△＞0，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当三角形是直角三角形时，
∵△=4b2﹣4a2+4c2=0，
∴x1=x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
当三角形是钝角三角形时，△＜0，方程无实数根．
14. 设a、b、c为非零实数，且ax2+ ( http: / / www.21cnjy.com )2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0，试问：a、b、c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．
【解答】解：设三个二次方程都没有不等的实数根，则△1=4b2﹣4ac≤0；△2=4c2﹣4ab≤0；△3=4a2﹣4bc≤0；
三式相加得，a2+b2+c2﹣ab=ac﹣bc≤0，
∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≤0，
∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0．
∴a=b=c．
即a=b=c，三个二次方程都没有不等的实数根．
所以当a，b，c为不全相等的非零实数时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．
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