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第6讲 一元二次方程根与系数的关系
一、知识回顾
知识点一、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.www.21-cn-jy.com
注意:利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程中，
（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.2·1·c·n·j·y
注意:（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.2-1-c-n-j-y
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.
注意:它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；21*cnjy*com
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：【出处：21教育名师】
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦；
⑧；⑨；
⑩．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则
①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．
②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．
二、经典例题
考点一、一元二次方程根的判别式的应用
下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【解析】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
不解方程，判别方程根的情况： .
【答案】无实根.
关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．www-2-1-cnjy-com
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，【版权所有：21教育】
∴关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【答案与解析】
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3
【答案】A.
已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________
【解析】因为方程有实数根，所以，解得，
同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，
∴ m的取值范围是且m≠1．
已知：关于x的方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【答案】.
考点二、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值．
【答案与解析】
方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得，，从而解得：，k＝-7．
方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．
设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得，从而，
故方程的另一根为，k的值为-7．
已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值．
【答案】另一根为-1；的值为-3．
已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案与解析】
解：（1）△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1
关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【答案与解析】
解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1 x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1 x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
不解方程，求方程的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
【答案】（1）； （2）3．
求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数．
【答案与解析】
设方程的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系，
得，．
设所求方程为，它的两根为y1、y2，由一元二次方程根与系数的关系得，，从而，
．
故所求作的方程为，即．
三、堂课变式
A组 夯实基础
乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项，得两根2和7，乙看错了常数项，得两根1和﹣10，求原一元二次方程．
已知：α、β是关于x的二次方程：（m﹣2）x2+2（m﹣4）x+m﹣4=0的两个不等实根．
（1）若m为符合条件的最小正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
（2）若α2+β2=6时，求m的值．
阅读材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1x2=．根据上述材料解决下列问题：21·cn·jy·com
已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2；有两个实数根：x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
由方程x2+4x+4=0的根为x1=x2=﹣2，可得x1+x2=﹣4，x1．x2=4，则
（1）方程x2﹣5x+6=0的根为x1= ，x2= ，x1+x2= ，x1．x2= ；
（2）x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2= ，x1．x2= ；
（3）已知x1，x2（其中x1＞x2）是方程2x2+5x﹣2=0的两个根，由（2）的结论，不解方程求①x12+x22，②x1﹣x2的值．【来源：21cnj*y.co*m】
B组 能力提高
已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是________．
关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是__ ___．
一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个）．
在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程的两根，那么AB边上的中线长是 .
设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2= ，m= ．
已知：关于x的方程①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程②有实数根且k为正整数，则代数式的值为 .
关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0
（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？
（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
C组 培优精英
已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．
（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值．
已知：关于x的两个方程x2+（m+1）x+m﹣5=0…①与mx2+（n﹣1）x+m﹣4=0…②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．21·世纪*教育网
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：3，且n为整数，求m的最小整数值．
已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
四、课后巩固
A组 夯实基础
已知 x1，x2是方程2x2+3x﹣1=0的两根，不解方程求：
（1）x13x2+x1x23；
（2）2x12+x1x2﹣2x22．
有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为系数且为常数）的两个根，则x1+x2=、x1 x2=，这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x﹣1=0的两个根，则x1+x2=﹣2、x1 x2=﹣1．
若x1、x2是方程2x2+mx﹣2m+1=0的两个根．试求：
（1）x1+x2与x1 x2的值（用含有m的代数式表示）．
（2）x12+x22的值（用含有m的代数式表示）．
（3）若（x1﹣x2）2=2，试求m的值．
B组 能力提高
已知关于x的方程的两根的平方和等于，求m的值．
已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
已知关于x的方程x2﹣kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15=0．
（1）求证：n＜0；
（2）试用k的代数式表示x1；
（3）当n=﹣3时，求k的值．
已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣2m﹣3=0…①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0…②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
C组 培优精英
若a＜b＜c，求证方程：=0，一定有两个实数根，且一个在a与b之间，一个在b与c之间．
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第6讲 一元二次方程根与系数的关系
一、知识回顾
知识点一、一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )叫做一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的根的判别式，通常用“ ( http: / / www.21cnjy.com )”来表示，即 ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相 ( http: / / www.21cnjy.com )等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.www.21-cn-jy.com
注意:利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；③计算 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；④根据 ( http: / / www.21cnjy.com )的符号判定方程根的情况.
2. 一元二次方程根的判别式的逆用
在方程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，
（1）方程有两个不相等的实数根 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹥0；（2）方程有两个相等的实数根 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )=0；（3）方程没有实数根 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )﹤0.2·1·c·n·j·y
注意:（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ( http: / / www.21cnjy.com )≥0.2-1-c-n-j-y
知识点二、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个实数根是 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).
注意:它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；21*cnjy*com
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：【出处：21教育名师】
① ( http: / / www.21cnjy.com )；② ( http: / / www.21cnjy.com )；③ ( http: / / www.21cnjy.com )；④ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )；
⑤ ( http: / / www.21cnjy.com )；⑥ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )；⑦ ( http: / / www.21cnjy.com )；
⑧ ( http: / / www.21cnjy.com )；⑨ ( http: / / www.21cnjy.com )；
⑩ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数 ( http: / / www.21cnjy.com )为根的一元二次方程是 ( http: / / www.21cnjy.com ).(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两根为 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )，则
①当△≥0且 ( http: / / www.21cnjy.com )时，两根同号．当△≥0且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )时，两根同为正数；当△≥0且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )时，两根同为负数．
②当△＞0且 ( http: / / www.21cnjy.com )时，两根异号．当△＞0且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )时，两根异号且负根的绝对值较大．
二、经典例题
考点一、一元二次方程根的判别式的应用
例1. 下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
【解析】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
例2. 不解方程，判别方程根的情况： ( http: / / www.21cnjy.com ) .
【答案】无实根.
例3. 关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．www-2-1-cnjy-com
【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
例4. m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2+12＞0，【版权所有：21教育】
∴关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
例5. 已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【答案与解析】
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
例6. 若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3
【答案】A.
例7. 已知关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )有实数根，则m的取值范围是________
【解析】因为方程 ( http: / / www.21cnjy.com )有实数根，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ m的取值范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )且m≠1．
例8. 已知：关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com ).
考点二、一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
例9. 已知方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个根是2，求另一个根及k的值．
【答案与解析】
方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，从而解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，k＝-7．
方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．
设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得 ( http: / / www.21cnjy.com )，从而 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故方程的另一根为 ( http: / / www.21cnjy.com )，k的值为-7．
例10. 已知方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个根是3，求它的另一根及 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
【答案】另一根为-1； ( http: / / www.21cnjy.com )的值为-3．
例11. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案与解析】
解：（1）△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1
例12. 关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【答案与解析】
解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴m的取值范围为m＜ ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1 x2=2m，
∴x12+x22= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2x1 x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
例13. 不解方程，求方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
【答案】（1） ( http: / / www.21cnjy.com )； （2）3．
例14. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 ( http: / / www.21cnjy.com )各根的负倒数．
【答案与解析】
设方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两根分别为x1、x2，由一元二次方程根与系数的关系，
得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
设所求方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，它的两根为y1、y2，由一元二次方程根与系数的关系得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，从而 ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )．
故所求作的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 乙两同学解方程x2+px+q=0，甲看错了一次项，得两根2和7，乙看错了常数项，得两根1和﹣10，求原一元二次方程．21cnjy.com
【解答】解：∵x2+px+q=0，甲看错了一次项，得两根2和7，
∴q=2×7=14，
∵x2+px+q=0，乙看错了常数项，得两根1和﹣10，
∴p=﹣（1﹣10）=9，
∴原一元二次方程为：x2+9x+14=0．
2. 已知：α、β是关于x的二次方程：（m﹣2）x2+2（m﹣4）x+m﹣4=0的两个不等实根．
（1）若m为符合条件的最小正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；
（2）若α2+β2=6时，求m的值．
【解答】解：（1）∵关于x的二次方程：（m﹣2）x2+2（m﹣4）x+m﹣4=0的两个不等实根，
∴△=4（m﹣4）2﹣4（m﹣2）（m﹣4）=﹣8m+32＞0
解得：m＜4
∴满足条件的最小整数为1．
∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=4（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣2× ( http: / / www.21cnjy.com )=36﹣6=30；
（2）∵α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=4（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2﹣2× ( http: / / www.21cnjy.com )=6
解得：m=﹣2或m=3
3. 阅读材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1x2= ( http: / / www.21cnjy.com )．根据上述材料解决下列问题：21·cn·jy·com
已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2；有两个实数根：x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
【解答】解：（1）∵x2=2（1﹣m）x﹣m2，
∴x2﹣2（1﹣m）x+m2=0，
∵关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2有两个实数根，
∴△=[﹣2（1﹣m）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，
解得：m≤0.5．
∴m的取值范围：m≤0.5；
（2）∵y=x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2﹣2m，
∴当m=0.5时，y有最小值，最小值为1．
4. 由方程x2+4x+4=0的根为x1=x2=﹣2，可得x1+x2=﹣4，x1．x2=4，则
（1）方程x2﹣5x+6=0的根为x1= ，x2= ，x1+x2= ，x1．x2= ；
（2）x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，则x1+x2= ，x1．x2= ；
（3）已知x1，x2（其中x1＞x2）是方程2x2+5x﹣2=0的两个根，由（2）的结论，不解方程求①x12+x22，②x1﹣x2的值．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：（1）∵方程x2﹣5x+6=0可化为（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x1=2，x2=3，
∴x1+x2=5，x1．x2=6，
故答案为：2，3，5，6．
（2）∵x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1．x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）∵ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1．x2=﹣1，
∴x12+x22= ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )
B组 能力提高
5. 已知关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是________．
【答案】1；
【解析】由题意知△＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，因此m的最大整数值是1．
6. 关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )无实数根，则m的取值范围是__ ___．
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )；
【解析】因为关于x的一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )无实数根，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
7. 一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个）．21教育名师原创作品
【解析】∵一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣5）2﹣4c＞0，解得c＜ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵x1+x2=5，x1x2=c＞0，c是整数，
∴c=4．
故答案为：4．
8. 在Rt△ABC中，∠C=900，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两根，那么AB边上的中线长是 .
【解析】因直角三角形两直角边a、b是方程的二根，
∴有a+b=7①a·b=c+7②，由勾股定理知c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得c=5，
∴斜边上的中线为斜边的一半，故答案为 ( http: / / www.21cnjy.com )
9. 设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2= ，m= ．
【解析】∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=4，x1x2= ( http: / / www.21cnjy.com )=m．∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1，
∴m=3．
10. 已知：关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )①的两个实数根的倒数和等于3，关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )②有实数根且k为正整数，则代数式 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为 .
【解析】先根据根与系数的关系求得a值，a=-1,再将a=-1代入到第二个方程.
因第二个方程一定有实根，由△≥0得 ( http: / / www.21cnjy.com )，因为k为正整数， ( http: / / www.21cnjy.com )
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，分母为0，故舍去，所以k=1,
当k=1时. ( http: / / www.21cnjy.com ).
11. 关于x的一元二次方程4x2+4（m﹣1）x+m2=0
（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x1，x2，问m为何值时，x12+x22=17？
（3）若方程有两个实数根x1，x2，问x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．
【解答】解：（1）∵当△=[4（m﹣1）]2﹣4×4m2=﹣8m+4≥0时，方程有两个实数根，
即m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴当m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )时，方程有两个实数根；
（2）根据根与系数关系得：x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=1﹣m，x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵x12+x22=17，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=17，
∴（1﹣m）2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=17＜
解得：m1=8，m2=﹣4，
∵当m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )时，方程有两个实数根，
∴m=﹣4；
（3）∵由（1）知当m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )时，方程有两个实数根，由（2）知，x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
∴当m≠0，且m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )时，x1和x2能同号，
即m的取值范围是：m≠0，且m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )．
12. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
【解答】证明：（1）∵△=（2k+1）2﹣16（k﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）=（2k﹣3）2≥0，
∴方程总有实根；
解：（2）∵两实数根互为相反数，
∴x1+x2=2k+1=0，
解得k=﹣0.5；
（3）①当b=c时，则△=0，
即（2k﹣3）2=0，
∴k= ( http: / / www.21cnjy.com )，
方程可化为x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不适合题意舍去；
②当b=a=4，则42﹣4（2k+1）+4（k﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）=0，
∴k= ( http: / / www.21cnjy.com )，
方程化为x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
∴c=2，
C△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10．
C组 培优精英
13. 已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．21*cnjy*com
（2）求使 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2的值为整数的实数k的整数值．
【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，
∴△=16k2﹣4×4k（k+2）=﹣32k≥0，且4k≠0，
解得k＜0；
∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22
=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
若 ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )成立，
解上述方程得，k= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵k＜0，则k= ( http: / / www.21cnjy.com )不成立，
∴不存在这样k的值．
（2）∵x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，且16k2﹣16k（k+2）≥0，即k＜0，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
由此式子的值为整数，得到k=﹣10，﹣6，﹣4，﹣3，﹣1，0，2，6．
∵k＜0，
∴k=﹣10，﹣6，﹣4，﹣3，﹣1．
14. 已知：关于x的两个方程x2+（m+1）x+ ( http: / / www.21cnjy.com )m﹣5=0…①与mx2+（n﹣1）x+m﹣4=0…②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．21·世纪*教育网
（1）求证方程②的两根符号相同；
（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：3，且n为整数，求m的最小整数值．
【解答】解：（1）∵x2+（m+1）x+m﹣5=0，
∴△＞0，即△=（m+2）2﹣4（m﹣5）=m2+2m+1﹣4m+20＞0，
( http: / / www.21cnjy.com )，
由②得m＞﹣1由③得m＞5，
∴m＞5，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0，
∴方程②有两个同号实数根；
（2）∵α、β分别为方程mx2+（n﹣1）x+m﹣4=0的两个根，且α：β=1：3，
∴α+β=4α= ( http: / / www.21cnjy.com )，α= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴α β= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
（n﹣1）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，4m2﹣16m≥0，
∴m≥4，
∵△=（n﹣1）2﹣4m（m﹣4）≥0，3α2= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴m的最小整数值为6．
15. 已知在关于x的分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com )①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根 ( http: / / www.21cnjy.com )x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【解答】解：（1）∵关于x的分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x= ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，且 ( http: / / www.21cnjy.com )≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )=1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣m，x1x2= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3× ( http: / / www.21cnjy.com )n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n= ( http: / / www.21cnjy.com )①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48× ( http: / / www.21cnjy.com )≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 已知 x1，x2是方程2x2+3x﹣1=0的两根，不解方程求：
（1）x13x2+x1x23；
（2）2x12+x1x2﹣2x22．
【解答】解：（1）∵x1，x2是方程2x2+3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1 x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x13x2+x1x23=x1x2（x12+x22）=x1x2[（x1+x2）2﹣2x1 x2]=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )× ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）∵x1，x2是方程2x2+3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1 x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )+2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴x1﹣x2=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴2x12+x1x2﹣2x22=2（x1+x2）（x1﹣x2）+x1 x2=2（x1+x2）（x1﹣x2）+x1 x2=2×（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）（x1﹣x2）﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣3（x1﹣x2）﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=± ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．【来源：21·世纪·教育·网】
∴2x12+x1x2﹣2x22= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
2. 有一个定理：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为系数且为常数）的两个根，则x1+x2= ( http: / / www.21cnjy.com )、x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，这个定理叫做韦达定理．如：x1、x2是方程x2+2x﹣1=0的两个根，则x1+x2=﹣2、x1 x2=﹣1．
若x1、x2是方程2x2+mx﹣2m+1=0的两个根．试求：
（1）x1+x2与x1 x2的值（用含有m的代数式表示）．
（2）x12+x22的值（用含有m的代数式表示）．
（3）若（x1﹣x2）2=2，试求m的值．
【解答】（1）解：∵x1、x2是方程2x2+mx﹣2m+1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）解：∵x1、x2是方程2x2+mx﹣2m+1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2x1 x2
= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2× ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )m2+2m﹣1；
（3）解：∵x1、x2是方程2x2+mx﹣2m+1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x1 x2= ( http: / / www.21cnjy.com )；
∵（x1﹣x2）2=2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣4x1 x2=2，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣4× ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
解得：m=﹣8+4 ( http: / / www.21cnjy.com )，m=﹣8﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵b2﹣4ac=m2﹣4×2×（﹣2m+1）≥0，
m2+16m﹣8≥0，
把m=﹣8+4 ( http: / / www.21cnjy.com )，m=﹣8﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，代入上式不等式都成立，
即m的值是﹣8+4 ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣8﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )．
B组 能力提高
3. 已知关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的两根的平方和等于 ( http: / / www.21cnjy.com )，求m的值．
【答案与解析】
解：设方程的两根为x1、x2，则由根与系数关系，
得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
由题意，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
整理，得 ( http: / / www.21cnjy.com )．解得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
当m＝3时，△＝ ( http: / / www.21cnjy.com )；
当m＝-11时，△＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，方程无实数根．
∴ m＝-11不合题意，应舍去．
∴ m的值为3．
4. 已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【答案与解析】
解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，
而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．
5. 已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2=2（1﹣x）有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．
【答案与解析】
解：（1）方程整理为x2﹣2（k﹣1）x+k2=0，
根据题意得△=4（k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤ ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）根据题意得x1+x2=2（k﹣1），x1 x2=k2，
∵|x1+x2|=x1x2﹣1，
∴|2（k﹣1）|=k2﹣1，
∵k≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1，
整理得k2+2k﹣3=0，解得k1=﹣3，k2=1（舍去），
∴k=﹣3．
6. 已知关于x的方程x2﹣kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15=0．21世纪教育网版权所有
（1）求证：n＜0；
（2）试用k的代数式表示x1；
（3）当n=﹣3时，求k的值．
【解答】证明：（1）∵关于x的方程x2﹣kx+k2+n=0有两个不相等的实数根，
∴△=k2﹣4（k2+n）=﹣3k2﹣4n＞0，
∴n＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )k2．
又﹣k2≤0，
∴n＜0．
解：（2）∵（2x1+x2）2﹣8（2x1+x2）+15=0，x1+x2=k，
∴（x1+x1+x2）2﹣8（x1+x1+x2）+15=0
∴（x1+k）2﹣8（x1+k）+15=0
∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]=0
∴x1+k=3或x1+k=5，
∴x1=3﹣k或x1=5﹣k．
（3）∵n＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )k2，n=﹣3，
∴k2＜4，即：﹣2＜k＜2．
原方程化为：x2﹣kx+k2﹣3=0，
把x1=3﹣k代入，得到k2﹣3k+2=0，
解得k1=1，k2=2（不合题意），
把x2=5﹣k代入，得到3k2﹣15k+22=0，△=﹣39＜0，所以此时k不存在．
∴k=1．
7. 已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+ ( http: / / www.21cnjy.com )m2﹣2m﹣3=0…①的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2﹣（k﹣m）x﹣k﹣m2+5m﹣2=0…②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：把x=0代入得m2﹣2m﹣3=0．
解得m=3或﹣1．
∵方程有两个不相等实数根．
∴[﹣2（m+1）]2﹣4×（m2﹣2m﹣3）＞0．
解得m＞﹣1．
∴m=3．
∵x1，x2之差的绝对值为1．
∴（x1﹣x2）2=1．
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1．
（k﹣3）2﹣4（﹣k+4）=1．
解得k1=﹣2，k2=4．
∵当k=﹣2时，△=[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+4）
=k2﹣2k﹣7
=（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣7
=1＞0
当k=4时，△=k2﹣2k﹣7=42﹣2×4﹣7=1＞0．
∴存在实数k=﹣2或4，使得方程②的两个实数根之差的绝对值为1．
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8. 若a＜b＜c，求证方程： ( http: / / www.21cnjy.com )=0，一定有两个实数根，且一个在a与b之间，一个在b与c之间．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
两边同时乘以（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）得，
（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣c）+（x﹣a）（x﹣b）=0，
整理得，3x2﹣（2a+2b+2c）x+bc+ac+ab=0，
△=（2a+2b+2c）2﹣4×3（bc+ac+ab）
=2（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
=2[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]
∵a＜b＜c，
∴a﹣c≠0，a﹣b≠0，b﹣c≠0，
∴△=2[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＞0．
∴方程一定有两个不相等的实数根．
当x=a时，ya=（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）=（a﹣b）（a﹣c），
而a＜b＜c，
∴a﹣b＜0，a﹣c＜0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＞0，
当x=b时，yb=（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）=（b﹣c）（b﹣a），
而a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴（b﹣c）（b﹣a）＜0，
当x=c时，yc=（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）=（c﹣a）（c﹣b），
而a＜b＜c，
∴c﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴（c﹣a）（c﹣b）＞0，
∴ya＞0，yb＜0，yc＞0，
∴二次方程（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）+（x﹣a）（x﹣b）=0的一个根在a，b之间，另一个根在b，c之间．21教育网
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