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第7讲 一元二次方程的实际应用
一、知识回顾
知识点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；21教育网
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
知识点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
二、经典例题
考点一、数字问题
已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【答案与解析】
设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．
有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.
【答案】设个位数字为，则十位数字为.
由题意，得：
整理，得：
解方程，得：
∴
经检验，不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）
∴当时, =2
∴
答：这个两位数为24.
两个连续负奇数的积是143，求这两个数．
【答案与解析】
解：设这两个连续奇数为x，x+2，
根据题意x（x+2）=143，
解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13，
则当x=﹣13时，x+2=﹣11．
答：这两个数是﹣13，﹣11．
故答案为：﹣13，﹣11．
考点二、平均变化率问题
随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）www-2-1-cnjy-com
A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
【解析】
解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，
根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，
故选：A．
随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【答案与解析】
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2=98
解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.2-1-c-n-j-y
【答案】设平均每次降价率为，
则第一次降价为，降价后价格为：，
第二次降价为：，降价后价格为：
.
根据题意列方程，得：
∴，
不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）
∴
答：平均每次下降率为.
考点三、利润(销售)问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【出处：21教育名师】
【答案与解析】
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出
【答案与解析】
解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．
根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，
整理，得x2-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25．
答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．21教育名师原创作品
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．
【答案】
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，
由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.
考点四、形积问题
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【答案与解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，
由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2，8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
考点五、行程问题
一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹
车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
【答案与解析】
解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者
的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即，于是刹车到停车的时间为“行驶路程平均车速”， 即．
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度末速度）车速变化时间”，
即．
（3）设刹车后汽车行驶到15m用了 s，由（2）可知，这时车速为．这段路程内的
平均车速为，即．
由速度×时间=路程，得．
解方程，得．
根据问题可知，，即x＜5，又x＜2.5；所以．
刹车后汽车行驶到15m时约用了 0.9 s．
考点六、解高次方程
解方程组．
【解答】解：，由②得③，
把③代入①得：，
解得：，
当x1=0时，y1=1；
当时，，
所以方程组的解是．
阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x﹣5 ③
将③代入①得：x2+（2x﹣5）2=10
整理得：x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3
将x1=1，x2=3代入③得y1=1×2﹣5=﹣3，y2=2×3﹣5=1
∴原方程组的解为，．
（1）请你用代入消元法解二元二次方程组：；
（2）若关x，y的二元二次方程组有两组不同的实数解，求实数a的取信范围．
【解答】解：（1）由①得，y=2x﹣3③，
把③代入②得，（2x﹣3）2﹣4x2+6x﹣3=0，
整理的，6x=6，
解得x=1，
把x=1代入③得，y=﹣1，
故原方程组的解为；
（2）由①得，y=1﹣2x③，
把③代入②得，ax2+（1﹣2x）2+2x+1=0，
整理得，（a+4）x2﹣2x+2=0，
由题意得，4﹣4×2×（a+4）＞0，
解得a＜﹣，
∵a+4≠0，
∴a≠﹣4，
∴a＜﹣且a≠﹣4．
考点七、解无理方程
3．如果关于x的方程的一个根为3，那么a= ．
【解答】解：∵关于x的方程的一个根为3，
∴x=3一定满足关于x的方程，
=3，
方程的两边同时平方，得
6+a=9，
解得a=3；
检验：
将a=3代入原方程得，
左边==3，
右边=3，
所以，左边=右边．
所以，a=3符合题意；
故答案为：3．
方程=x﹣1的解为 ．
【解答】解：两边平方得：
x+2+2+x﹣2=（x﹣1）2，
化简得：2x+2|x﹣2|=x2﹣2x+1，
当x﹣2≥0即x≥2时，得到x2﹣6x+5=0即（x﹣1）（x﹣5）=0，
解得x=1（舍去）或x=5；
当x﹣2＜0即x＜2，得到x2﹣2x﹣3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，
解得x=3（舍去）或x=﹣1，又x﹣1≥0即x≥1，所以x=﹣1也舍去，
综上，经检验，x=5是原无理方程的解．
故答案为：5
解方程：2x2﹣4x﹣3=10．
【解答】解：解方程2x2﹣4x﹣3=10．
化得：2（x2﹣2x﹣4）+8﹣3=10．
设=a，得2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2或a=﹣（舍去），
∴=2，化简得，x2﹣2x﹣8=0，解得x=﹣2或4
三、堂课变式
A组 夯实基础
如图，在宽为20m长为30m的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m2．若设路宽为xm，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，矩形的长和宽各是多少？
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的矩形？
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
我们用一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就可以做成一个没有盖的长方体盒子，如图①所示．用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图②所示的底面积为1 500cm2的没有盖的长方体盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？
探索：若设小正方形的边长为x cm，那么这个盒子底部的长及宽分别为 cm和 （ ） cm，根据题意，可得一元二次方程为 （ ，整理成一般形式是 ．
根据题意，列出方程：
（1）已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数；
（2）一桌面的长为6米，宽为3米，铺在桌子上的台布的面积是桌面面积的三倍，并且各边垂下的长度相同，求台布垂下的长度；
（3）某校办工厂今年元月份生产桌椅1000套，2月份因春节放假，减产10%，3月份，4月份产量逐月上升，4月份产量达到1296套，求3，4月份的平均增长率．
从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽m，竖着比城门高m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式．
某校要在校园内墙边空地上修建一个平面图为矩形的存车处，要求存车处的一面靠墙，另外三面用90m的铁栅栏围起来，并在与墙垂直的一边上开一道2m宽的门．如果矩形存车处的面积为480m2，请以矩形一边长为未知数列方程．21*cnjy*com
根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
（1）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息；
（2）两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．
B组 能力提高
根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式：
（1）某班有x名同学，毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片．
（2）一矩形面积为35cm2，长比宽多2cm，求这个矩形的长与宽．
（3）把一块面积为54cm2的长方形纸片的一边剪下5cm，另一边剪下2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．
（4）一个直角三角形的斜边长是17cm，两直角边之差为7cm，求较短直角边长．
某人在一家银行存款5万元，两年后连本带利共得6.05万元，问这家银行的年利率为多少？小明是这样列式的：5×2x=6.05﹣5；小颖是这样列式的：5（1+x）2=6.05．你认为谁的想法是正确的？为什么？【来源：21·世纪·教育·网】
已知a是自然数，关于x的方程2x﹣a﹣a+4=0至少有一个整数根，则a可取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
若（4x2+y2﹣4）2+||=0，求x，y．
已知方程组有一组解为且m、n为整数，求m、n的值．
已知方程x3﹣（1+2 3m）x2+（5n+2 3m）x﹣5n=0．
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数；
（3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．
C组 培优精英
解方程组．
四、课后巩固
A组 夯实基础
某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．21*cnjy*com
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图l，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为 ．
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：【来源：21cnj*y.co*m】
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利 元，平均每天可售出 件（用含x的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出x的值．
根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．
百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十 一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【版权所有：21教育】
请先填空后再列方程求解：设每件童装降价 元，那么平均每天就可多售出 件，
现在一天可售出 件，每件盈利 元．
B组 能力提高
如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
（2）请列出关于x的方程．
如图，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，动点P从A出发沿AB向B移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．
为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
如果x＜0，y＜0，且3x﹣2y=，则的值为（ ）
A．﹣ B．1 C． D．1或
解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
阅读材料，解答问题：
材料：利用二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组，如：
由②得y=x﹣1，代入①得到关于x的方程：x2+（x﹣1）2=5，
化简得：x2﹣x﹣2=0，
解得：x1=﹣1，x2=2．
将x1=﹣1，x2=2分别代入y=x﹣1中，得y1=2，y2=1．
∴方程组的解为，．
问题：请你利用代入消元法解方程组：．
C组 培优精英
阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如的二元二次方程组，实质是二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x﹣5，
③，将③代入①得：x2+（2x﹣5）2=10
整理得：x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
再将x1=1，x2=3代入③得y1=1×2﹣5=﹣3，y2=2×3﹣5=1
∴原方程组的解为，．
请你根据材料代入消元法解二元二次方程组：．
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组
①求x2+9y2的值；
②求x+3y的值．[参考公式（a+b）2=a2+2ab+b2]．
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第7讲 一元二次方程的实际应用
一、知识回顾
知识点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量 ( http: / / www.21cnjy.com )关系.
2.解决应用题的一般步骤：
审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；21教育网
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答(写出答案，切忌答非所问).
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1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：
平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×(1+利率×期数)=本息和
本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
利润(销售)问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价(成本)
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
2·1·c·n·j·y
二、经典例题
考点一、数字问题
例1. 已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
【答案与解析】
设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．
例2. 有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.
【答案】设个位数字为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则十位数字为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
由题意，得： ( http: / / www.21cnjy.com )
整理，得： ( http: / / www.21cnjy.com )
解方程，得： ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
经检验， ( http: / / www.21cnjy.com )不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ( http: / / www.21cnjy.com )
∴当 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com )=2
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
答：这个两位数为24.
例3. 两个连续负奇数的积是143，求这两个数．
【答案与解析】
解：设这两个连续奇数为x，x+2，
根据题意x（x+2）=143，
解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13，
则当x=﹣13时，x+2=﹣11．
答：这两个数是﹣13，﹣11．
故答案为：﹣13，﹣11．
考点二、平均变化率问题
例4. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速 ( http: / / www.21cnjy.com )发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）www-2-1-cnjy-com
A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9
【解析】
解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，
根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，
故选：A．
例5. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让 ( http: / / www.21cnjy.com )老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．
【答案与解析】
解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2=98
解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．
答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．
例6. 某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.2-1-c-n-j-y
【答案】设平均每次降价率为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
则第一次降价为 ( http: / / www.21cnjy.com )，降价后价格为： ( http: / / www.21cnjy.com )，
第二次降价为： ( http: / / www.21cnjy.com )，降价后价格为：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ).
根据题意列方程，得： ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )
答：平均每次下降率为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
考点三、利润(销售)问题
例7. 某商品现在的售价为每件60 ( http: / / www.21cnjy.com )元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【出处：21教育名师】
【答案与解析】
解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
例8. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能 ( http: / / www.21cnjy.com )存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出
【答案与解析】
解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．
根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，
整理，得x2-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25． 答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．21教育名师原创作品
例9. 商场某种商品平均每天可销售30件， ( http: / / www.21cnjy.com )每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．
【答案】
解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，
由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，
化简得：x2﹣35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.
考点四、形积问题
例10. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍 ( http: / / www.21cnjy.com )的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案与解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，
由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2，8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
考点五、行程问题
例11. 一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹
车后又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？
【答案与解析】
解：（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者
的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，于是刹车到停车的时间为“行驶路程 ( http: / / www.21cnjy.com )平均车速”， 即 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度 ( http: / / www.21cnjy.com )末速度） ( http: / / www.21cnjy.com )车速变化时间”，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（3）设刹车后汽车行驶到15m用了 ( http: / / www.21cnjy.com ) s，由（2）可知，这时车速为 ( http: / / www.21cnjy.com )．这段路程内的
平均车速为 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )．
由速度×时间=路程，得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
解方程，得 ( http: / / www.21cnjy.com )．
根据问题可知， ( http: / / www.21cnjy.com )，即x＜5，又x＜2.5；所以 ( http: / / www.21cnjy.com )．
刹车后汽车行驶到15m时约用了 0.9 s．
考点六、解高次方程
例12. 解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )，由②得 ( http: / / www.21cnjy.com )③，
把③代入①得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
当x1=0时，y1=1；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以方程组的解是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
例13. 阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 ( http: / / www.21cnjy.com )的二元二次方程组，实质是将二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x﹣5 ③
将③代入①得：x2+（2x﹣5）2=10
整理得：x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3
将x1=1，x2=3代入③得y1=1×2﹣5=﹣3，y2=2×3﹣5=1
∴原方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）请你用代入消元法解二元二次方程组： ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）若关x，y的二元二次方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )有两组不同的实数解，求实数a的取信范围．
【解答】解：（1）由①得，y=2x﹣3③，
把③代入②得，（2x﹣3）2﹣4x2+6x﹣3=0，
整理的，6x=6，
解得x=1，
把x=1代入③得，y=﹣1，
故原方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）由①得，y=1﹣2x③，
把③代入②得，ax2+（1﹣2x）2+2x+1=0，
整理得，（a+4）x2﹣2x+2=0，
由题意得，4﹣4×2×（a+4）＞0，
解得a＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵a+4≠0，
∴a≠﹣4，
∴a＜﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )且a≠﹣4．
考点七、解无理方程
例14. 3．如果关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个根为3，那么a= ．
【解答】解：∵关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个根为3，
∴x=3一定满足关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )=3，
方程的两边同时平方，得
6+a=9，
解得a=3；
检验：
将a=3代入原方程得，
左边= ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
右边=3，
所以，左边=右边．
所以，a=3符合题意；
故答案为：3．
例15. 方程 ( http: / / www.21cnjy.com )=x﹣1的解为 ．
【解答】解：两边平方得：
x+2 ( http: / / www.21cnjy.com )+2 ( http: / / www.21cnjy.com )+x﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )=（x﹣1）2，
化简得：2x+2|x﹣2|=x2﹣2x+1，
当x﹣2≥0即x≥2时，得到x2﹣6x+5=0即（x﹣1）（x﹣5）=0，
解得x=1（舍去）或x=5；
当x﹣2＜0即x＜2，得到x2﹣2x﹣3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，
解得x=3（舍去）或x=﹣1，又x﹣1≥0即x≥1，所以x=﹣1也舍去，
综上，经检验，x=5是原无理方程的解．
故答案为：5
例16. 解方程：2x2﹣4x﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )=10．
【解答】解：解方程2x2﹣4x﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )=10．
化得：2（x2﹣2x﹣4）+8﹣3 ( http: / / www.21cnjy.com )=10．
设 ( http: / / www.21cnjy.com )=a，得2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2或a=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（舍去），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=2，化简得，x2﹣2x﹣8=0，解得x=﹣2或4
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 如图，在宽为20m长为30m的矩形场地上，修 ( http: / / www.21cnjy.com )筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m2．若设路宽为xm，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．21世纪教育网版权所有
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【解答】解：设路宽为xm，
则耕地的长应该为（30﹣x）m，宽应该为（20﹣x）m；
根据面积公式可得：（30﹣x）（20﹣x）=500．
整理得出：x2﹣50x+100=0．
2. 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm2，矩形的长和宽各是多少？
（2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为0.06m2的矩形？
（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？
【解答】解：（1）设宽为xcm，依题意得，x（x+1）=132，
化为一元二次方程的一般形式得，x2+x﹣132=0．
（2）设宽为xm，依题意得，x（0.5﹣x）=0.06，
化为一元二次方程的一般形式得，x2﹣0.5x+0.06=0．
（3）设有x人参加聚会，依题意得， ( http: / / www.21cnjy.com )x（x﹣1）=10，
化为一元二次方程的一般形式得，x2﹣x﹣20=0．
3. 我们用一块长方形的薄钢片， ( http: / / www.21cnjy.com )在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就可以做成一个没有盖的长方体盒子，如图①所示．用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图②所示的底面积为1 500cm2的没有盖的长方体盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？
( http: / / www.21cnjy.com )
探索：若设小正方形的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为x cm，那么这个盒子底部的长及宽分别为 cm和 （ ） cm，根据题意，可得一元二次方程为 （ ，整理成一般形式是 ．
【解答】解：小正方形的边长为xcm，那么这个盒子底部的长及宽分别为（80﹣2x）m和（60﹣2x）cm，21cnjy.com
根据题意，可得一元二次方程为（60﹣2x）（80﹣2x）=1500，
整理成一般形式是x2﹣70x+825=0．
故答案为：（80﹣2x），（60﹣2x），x（60﹣2x）（80﹣2x）=1500，2﹣70x+825=0．
4. 根据题意，列出方程：
（1）已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数；
（2）一桌面的长为6米，宽为3米，铺在桌子上的台布的面积是桌面面积的三倍，并且各边垂下的长度相同，求台布垂下的长度；
（3）某校办工厂今年元月份生产桌椅10 ( http: / / www.21cnjy.com )00套，2月份因春节放假，减产10%，3月份，4月份产量逐月上升，4月份产量达到1296套，求3，4月份的平均增长率．
【解答】解：（1）设个位数字为x，则十位数字为12﹣x，由题意得
x（12﹣x）=32；
（2）设垂下的长度为x，由题意得
（6+2x）×（3+2x）=3×6×3；
（3）设三、四月份产量的平均增长率是x．根据题意得
1000（1﹣10%）（1+x）2=1296．
5. 从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 ( http: / / www.21cnjy.com )m，竖着比城门高 ( http: / / www.21cnjy.com )m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式．
【解答】解：设竹竿的长为x尺．
由题意得：（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=x2．
即：x2﹣4x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0．
6. 某校要在校园内墙边空地上修建一个平面图 ( http: / / www.21cnjy.com )为矩形的存车处，要求存车处的一面靠墙，另外三面用90m的铁栅栏围起来，并在与墙垂直的一边上开一道2m宽的门．如果矩形存车处的面积为480m2，请以矩形一边长为未知数列方程．21*cnjy*com
【解答】解：设与墙平行的一边长为x米，那么与墙垂直的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )（90﹣x+2）米，根据题意得
x ( http: / / www.21cnjy.com )（90﹣x+2）=480．
7. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．
（1）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息；
（2）两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数．
【解答】解：（1）设有x个好友，依题意得
x（x﹣1）=756；
（2）设这两个连续奇数为x，x+2，根据题意得
x2+（x+2）2=130．
B组 能力提高
8. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式：
（1）某班有x名同学，毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1980张照片．
（2）一矩形面积为35cm2，长比宽多2cm，求这个矩形的长与宽．
（3）把一块面积为54cm2的长方形纸片的一边剪下5cm，另一边剪下2cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长．
（4）一个直角三角形的斜边长是17cm，两直角边之差为7cm，求较短直角边长．
【解答】解：（1）∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=1980，
化为一般形式为x2﹣x﹣1980=0；
（2）设矩形的宽为xcm，则长为（x+2）cm，
根据题意得：x（x+2）=35，
化为一般形式为：x2+2x﹣35=0；
（3）设正方形的边长是 xcm，则原长方形的长为（x+5）cm，原长方形的宽为（x+2）cm，根据题意列方程得，
（x+5）（x+2）=54，
化为一般形式为：x2+7x﹣44=0；
（4）设较短直角边长为xcm，则较长直角长为（x+7）cm，
根据题意得：x2+（x+7）2=172，
化为一般形式为：x2+7x﹣120=0．
9. 某人在一家银行存款5万元，两年后连 ( http: / / www.21cnjy.com )本带利共得6.05万元，问这家银行的年利率为多少？小明是这样列式的：5×2x=6.05﹣5；小颖是这样列式的：5（1+x）2=6.05．你认为谁的想法是正确的？为什么？【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：小颖的列式正确．理由如下：
设这家银行的年利率为x，则
存款5万元，一年后，连本带利为5（1+x）．
两年后，连本带利为5（1+x）（1+x）=6.05，即5（1+x）2=6.05．
故小颖的列式正确．
10. 已知a是自然数，关于x的方程2x﹣a ( http: / / www.21cnjy.com )﹣a+4=0至少有一个整数根，则a可取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：2x﹣a ( http: / / www.21cnjy.com )﹣a+4=0，
显然满足条件的x，必使得 ( http: / / www.21cnjy.com )为整数，否则a= ( http: / / www.21cnjy.com )不可能为整数，
设 ( http: / / www.21cnjy.com )（y为非负整数），
则原式变为2（1﹣y2）﹣ay﹣a+4=0，
a= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵y为非负整数 （又4能整除1+y），
∴要使a为整数，则y=0，1，3，
此时a=6，2，﹣3．
又知a为非负整数，a=6，2，
当a=0时，方程也有一个整数根，
a=6，2，0，
故答案为：C．
11. 若（4x2+y2﹣4）2+| ( http: / / www.21cnjy.com )|=0，求x，y．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
由②得：y=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )x ③，
把③代入①得：
( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )；
12. 已知方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )有一组解为 ( http: / / www.21cnjy.com )且m、n为整数，求m、n的值．
【解答】解：将 ( http: / / www.21cnjy.com )代入方程组得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
整理得： ( http: / / www.21cnjy.com )，
由①得：n=24﹣16m，代入②得
4m2﹣（24﹣16m）2=﹣48，
即（16m﹣24）2﹣（2m）2=48，
∴（16m﹣24+2m）（16m﹣24﹣2m）=48，
整理得（3m﹣4）（7m﹣12）=4．
∵m是整数，
∴3m﹣4和7m﹣12都是整数，且都是4的约数，
∴﹣4≤3m﹣4≤4，且﹣4≤7m﹣12≤4，
∴0≤m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，且 ( http: / / www.21cnjy.com )≤m≤ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴m=2．此时（3m﹣4）（7m﹣12）=4，
n=24﹣16×2=﹣8．
∴m的值为2，n的值为﹣8．
13. 已知方程x3﹣（1+2 3m）x2+（5n+2 3m）x﹣5n=0．
（1）若n=m=0，求方程的根；
（2）找出一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数；
（3）证明：只有一组正整数n，m，使得方程的三个根均为整数．
【解答】解：（1）若n=m=0，则方程化为x3﹣3x2+3x﹣1=0，即（x﹣1）3=0．
所以x1=x2=x3=1．
（2）方程化为（x﹣1）（x2﹣2 3mx+5n）=0
设方程x2﹣2 3mx+5n=0的两个解为x1，x2．
则 ( http: / / www.21cnjy.com )．
当m=n=1时，方程的三个根均为整数；
（3）设9m﹣5n=k2（其中k为整数）
所以9m﹣k2=5n，即（3m﹣k）（3m+k）=5n，
不妨设 ( http: / / www.21cnjy.com )（其中i+j=n，i，j为非负整数），
因此：2 3m=5j（5j﹣i+1），
又∵5不能整除2 3m，
∴i=0，因此有2 3m=5n+1，
要使三根均为整数，则只有一组正整数m=n=1，此时x1=x2=1，x3=5．
C组 培优精英
14. 解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )，由①﹣②得：x2﹣y2+2z（y﹣x）=x﹣z（4），由①﹣③得：x2﹣z2+2y（z﹣x）=x﹣y（5），21·cn·jy·com
（4）﹣（5）：2x﹣y﹣z=1，2x﹣1=y+z，∵y2=﹣z（y+z），z2=﹣y（y+z），∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴y3=z3，∴y=z，代入①x2+2y2=x（5），代入②y2+2xy=y（6），由（5）（6）得：y=0，x=1或y= ( http: / / www.21cnjy.com )，x=1+ ( http: / / www.21cnjy.com )或y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，x=1﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，21·世纪*教育网
∴原方程组的为： ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 某学校为美化校园，准备在长35米，宽20 ( http: / / www.21cnjy.com )米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图l，设计草坪的总面积为600平方米．
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．
【解答】解：①设道路的宽为x米．依题意得：
（35﹣2x）（20﹣2x）=600；
②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）=600；
③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）=540．
2. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售 ( http: / / www.21cnjy.com )出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，
根据题意，商场降价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数，
则有w=（20+2x）（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x﹣15）2+1250
即当x=15时，w有最大值，为1250，
答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．
3. 某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个 ( http: / / www.21cnjy.com )队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为 ．
【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，
∴共7×4=28场比赛．
设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为： ( http: / / www.21cnjy.com )=28．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )=28．
4. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每 ( http: / / www.21cnjy.com )天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：【来源：21cnj*y.co*m】
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利 元，平均每天可售出 件（用含x的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出x的值．
【解答】解：（1）20×45=900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）=2100，
解得：x1=10，x2=30．
因尽快减少库存，故x=30．
答：每件衬衫应降价30元．
5. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．
【解答】解：（1）设十位数字为x，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，
根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x2+（x+2）2]=20，
化简为27x2+79x﹣66=0；
（2）设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），根据题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )x（14﹣x）=24，
整理得：x2﹣14x+48=0．
6. 百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童 ( http: / / www.21cnjy.com )装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十 一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【版权所有：21教育】
请先填空后再列方程求解：设每件童装降价 元，那么平均每天就可多售出 件，
现在一天可售出 件，每件盈利 元．
【解答】解：设每件童装降价x元，则
（40﹣x）（20+2x）=1200
即：x2﹣30x+200=0
解得：x1=10，x2=20
∵要扩大销售量，减少库存
∴舍去x1=10
答：每件童装应降价20元．
B组 能力提高
7. 如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将 ( http: / / www.21cnjy.com )此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，求该长方体的底面宽，若该长方体的底面宽为x米：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）用含x的代数式分别表示出该长方体的底面长和容积．
（2）请列出关于x的方程．
【解答】解：（1）长方体运输箱底面的宽为x m，则长为（x+2）m．
容积为x（x+2）×1=x2+2x；
（2）x2+2x=15．
8. 如图，等腰直角三角形ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠B=90°，AB=BC=8cm，动点P从A出发沿AB向B移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：设AP的长为xcm时， PQCR的面积等于16cm2，依题意有
x（8﹣x）=16．
9. 为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学 ( http: / / www.21cnjy.com )生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
【解答】解：由题意得：初二时植树数为：400（1+x），
那么这些学生在初三时的植树数为：400（1+x）2；由题意得：
95%[400+400（1+x）+400（1+x）2]=2000．
10. 如果x＜0，y＜0，且3x﹣2y= ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A．﹣ ( http: / / www.21cnjy.com ) B．1 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1或 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：将方程3x﹣2y= ( http: / / www.21cnjy.com )两边同时平方，并整理得，
9x2﹣13xy+4y2=0，（其中3x﹣2y＞0）
即（9x﹣4y）（x﹣y）=0，
解得y= ( http: / / www.21cnjy.com )x，或y=x．
当y= ( http: / / www.21cnjy.com )x时，3x﹣2y=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x．
∵x＜0，
∴3x﹣2y＞0，符合要求，此时则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
当y=x时，3x﹣2y=x＜0，不符合要求，故舍去．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )的值为 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选C．
11. 解下列方程：
（1） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )；
（3）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120；
【解答】解：（1）原方程可变形为 ( http: / / www.21cnjy.com )+1+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
令y= ( http: / / www.21cnjy.com )，则原方程可变为y+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得y1= ( http: / / www.21cnjy.com )，y2= ( http: / / www.21cnjy.com )．
当y1= ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，解得x=1；
当y2= ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，解得x= ( http: / / www.21cnjy.com )．
经检验：x=1或 ( http: / / www.21cnjy.com )都是原方程的解．
故原方程的解为x1=1，x2= ( http: / / www.21cnjy.com )，x3= ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）设x2+2x﹣8=y，则原方程可化为： ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
方程的两边同乘y（y+9x）（y﹣15x），整理得y2﹣4xy﹣45x2=0，
解得y=9x或y=﹣5x．
当y=9x时，x2+2x﹣8=9x，x2﹣7x﹣8=0，解得x1=8，x2=﹣1；
当y=﹣5x时，x2+2x﹣8=﹣5x，x2+7x﹣8=0，解得x3=﹣8，x4=1．
经检验：x1=8，x2=﹣1，x3=﹣8，x4=1都是原方程的解．
故原方程的解为x1=8，x2=﹣1，x3=﹣8，x4=1．
（3）[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=120，
（x2+5x+4）（x2+5x+6）=120，
设x2+5x+4=y，则y（y+2）=120，
∴y2+2y﹣120=0，
解得y=10或y=﹣12．
当y=10时，x2+5x+4=10，x2+5x﹣6=0，解得x1=﹣6，x2=1；
当y=﹣12时，x2+5x+4=﹣12，x2+5x+16=0，△=25﹣64=﹣39＜0，故此方程无实根．
故原方程的解为x1=﹣6，x2=1．
12. 阅读材料，解答问题：
材料：利用二元一次方程组的代入消元法可解形如 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程组，如：
由②得y=x﹣1，代入①得到关于x的方程：x2+（x﹣1）2=5，
化简得：x2﹣x﹣2=0，
解得：x1=﹣1，x2=2．
将x1=﹣1，x2=2分别代入y=x﹣1中，得y1=2，y2=1．
∴方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
问题：请你利用代入消元法解方程组： ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：由①得y=2﹣x，
代入②得到关x的方程：2x2﹣（2﹣x）2=1，
化简得：x2+4x﹣5=0，
解得：x1=1，x2=﹣5．
将x1=1，x2=﹣5分别代入y=2﹣x中，得y1=1，y2=7
∴方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )
C组 培优精英
13. 阅读材料，解答问题：
我们可以利用解二元一次方程组的代入消元法解形如 ( http: / / www.21cnjy.com )的二元二次方程组，实质是二元二次方程组转化为一元一次方程或一元二次方程来求解．其解法如下：
解：由②得：y=2x﹣5，
③，将③代入①得：x2+（2x﹣5）2=10
整理得：x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
再将x1=1，x2=3代入③得y1=1×2﹣5=﹣3，y2=2×3﹣5=1
∴原方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
请你根据材料代入消元法解二元二次方程组： ( http: / / www.21cnjy.com )．
【解答】解：由①得，y=2x﹣3③，
将③代入②得：（2x﹣3）2﹣4x2+6x﹣3=0，
整理得：6x=6，
解得：x=1，
再将x=1，代入③得y=﹣1，
故原方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
14. 善于思考的小明在解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5，即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
请你解决以下问题：
（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）已知x，y满足方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )
①求x2+9y2的值；
②求x+3y的值．[参考公式（a+b）2=a2+2ab+b2]．
【解答】解：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )
由②得：6x﹣3y+y=6，
3（2x﹣y）+y=6③，
把①代入③得：3×1+y=6，
解得：y=3，
把y=3代入①得：2x﹣3=1，
解得：x=2，
所以原方程组的解为 ( http: / / www.21cnjy.com )；
（2）① ( http: / / www.21cnjy.com )
①×2+②，得7x2+63y2=126，
等式的两边都除以7，得x2+9y2=18．
②．①×3﹣②×2，得﹣7xy=﹣21，
∴xy=3，6xy=18
∵x2+9y2=18，
∴x2+6xy+9y2=18+18，
∴（x+3y）2=36，
∴x+3y=±6．
( http: / / www.21cnjy.com )
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