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第8讲 多边形
一、经典例题
考点一、四边形的内角和度数
在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶4∶1∶5.
(1)求四边形ABCD的四个内角的度数；
(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请指出来；若没有，请说明理由．
解：(1)设∠A＝2x，∠B＝4x，∠C＝x，∠D＝5x.
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∴2x＋4x＋x＋5x＝360°，∴x＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝120°，∠C＝30°，∠D＝150°.
(2)∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC.
考点二、多边形的有关概念
下列说法正确的是( )
A．若干条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做多边形
B．连结多边形两个顶点的线段叫做多边形的对角线
C．从n边形的一个顶点可以引(n－2)条对角线
D．n边形共有条对角线
答案:D
考点三、利用多边形的内角和或外角和定理求边数
已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形答案:B
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为_____6___．
解:设多边形的边数为n，由题意得(n－2)·180°＝360°×2.所以n＝6.
已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2，求这两个多边形的边数．
解：设这两个多边形的边数分别是n，2n.根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＋(2n－2)·180°＝900°，解得n＝3.所以2n＝6.
所以，这两个多边形的边数分别是3，6.
考点四、利用多边形的内角和或外角和定理求角的度数
在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于( C )
A．60° B．75° C．90° D．120°
如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝_____360°___．
(第7题)
如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．
(第8题)
解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，
∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.
∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.
又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°.
∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF.∴∠BAF＝150°.
∵∠CDE＝∠BAF，∴∠CDE＝150°.
∴在六边形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.
(第8题)
考点五、用不等式思想解有关多边形的边数及角的问题
一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：(1)这个多边形的边数；
(2)除去的那个内角的度数．
解：(1)设这个多边形的边数为n，则其内角和为(n－2)·180°.依题意，得2 570°＜(n－2)·180°＜2 570°＋180°.解得16＜n＜17.因为n≥3，且n是整数，所以n＝17，即这个多边形的边数为17.
(2)除去的那个内角的度数为(17－2)×180°－2 570°＝130°.
点拨：由于除去一个内角后，其余内角之和为2 570°，因此该多边形的内角和比2 570°大，比2 570°＋180°小．可列出关于边数的不等式，先确定边数的范围，再求边数．[
考点六、求不规则图形的内角和
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
(第9题)
(第9题)
解：如图，连结CD.
∵∠1＋∠3＋∠4＝180°，
∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠A＋∠ACF＋∠ADB.
∵∠1＝∠2，∠2＋∠B＋∠E＋∠F＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠ACF＋∠ADB＋∠E＋∠F＝360°.
因此，所求的度数为360°.
考点七、多边形中的截角问题
一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形，新多边形的内角和是其外角和的6倍，那么原多边形的边数是多少？
解：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＝6×360°.解得n＝14.一个多边形截去一个角后，所得新多边形的边数可能不变，也可能减少1，还可能增加1，
所以原多边形的边数是13或14或15.
考点八、多边形中的面积问题
一块四边形纸片，∠A与∠C都是直角，且AB=AD，如果CB+CD=10cm，这块纸片的面积是 ．（∠B+∠D=180°）
【解答】解：如图，连接BD，
设AB=AD=xcm，CD=ycm，BC=zcm．
因为∠A与∠C都是直角，
所以S△ABD=x2，
S△BCD=yz，
所以S四边形=S△ABD+S△BCD=x2+yz=（x2+yz）①
又因为AB2+AD2=BD2，
BC2+CD2=BD2，
所以AB2+AD2=BC2+CD2，
即2x2=z2+y2，
x2=②，
把②代入①得，S四边形=（+yz）=（y2+2yz+z2）=（z+y）2=×102=25cm2．
故答案为25cm2．
提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
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探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP=AD时（如图②）：
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
（2）当AP=AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ；
（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP=AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ．
【解答】解：（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC
（3）S△PBC=S△DBC+S△ABC；
（4）S△PBC=S△DBC+S△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD﹣AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
=S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
=S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC
问题解决：S△PBC=S△DBC+S△ABC．
已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1= ，S2= ，S3= ；2-1-c-n-j-y
（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．
【解答】解：（1）S1=×6×3+×6×5=9+15=24，
S2=×6×4+×6×4=12+12=24，
S3=×6×6+×6×2=18+6=24；
（2）猜想四边形ABCD面积为24，
理由如下：S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
=BD AO+BD CO，
=BD（AO+CO），
=BD AC，
=×8×6，
=24．
二、堂课变式
A组 夯实基础
在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B为( )
A．70° B．80°
C．120° D．130°
在四边形的四个内角中，直角最多可以有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝85°，则∠D＝__ __．
已知四边形各内角的度数的比为1∶2∶3∶4，则各内角的度数分别为____．
一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为 ( )
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
如图4－1－4，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于( )www-2-1-cnjy-com
图4－1－4
A．90° B．180°
C．210° D．270°
一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__ _．
（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形．
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 个三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形．
若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 ．
B组 能力提高
在四边形ABCD中，∠ A，∠B，∠C，∠D的外角度数的比为4∶7∶5∶8，求四边形各内角的度数．
在一个多边形的内角中，锐角不能多于 ( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
凸n边形的对角线的条数记作an(n≥4)，例如：a4＝2，那么：①a5＝_ _；②a6－a5＝__ _；③an＋1－an＝__ __(n≥4，用含n的代数式表示)．
已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC S△OAD=S△OAB S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．
C组 培优精英
如图4－1－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，若将△ABC沿∠BAC的角平分线剪开，就成了两个小三角形，用这两个小三角形可以拼成多少种不同形状的四边形？画出示意图，并写出所拼四边形的四个内角的度数．
图4－1－3
如图4－1－5，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．
图4－1－5
如图，四边形ABCD面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使A1B=AB，B1C=BC，C1D=CD，D1A=DA，顺次连接A1，B1，C1，D1得到四边形A1B1C1D1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1D1，D1A1至点A2，B2，C2，D2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2D1=C1D1，D2A1=D1A1，顺次连接A2，B2，C2，D2，得到四边形A2B2C2D2，…按此规律，要使得到的四边形的面积超过20092，最少经过 次操作．
三、课后巩固
A组 夯实基础
下列图中不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
如图，下列图形是多边形的有 （填序号）．
如下图，多边形任意相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为 ．
已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D＝70°，则∠C的度数为( )
A．70° B．90° C．110° D．140°
一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
如图4－1－1所示，已知四边形ABCD中，∠A＝95°，∠D＝100°，外角∠ABE＝70°，则∠ABC＝__ __，∠C＝__ __．
图4－1－1 图4－1－2
如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．
如图，已知五边形ABCDE中，AB∥ED，∠A=∠B=90°，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有 条．
如图4－1－2所示，在四边形ABCD中，∠A－∠C＝∠D－∠B，求证：AD∥BC.
已知一个多边形的每个外角都相等，且每个外角比与它相邻的内角小100°，求这个多边形的边数．
B组 能力提高
如图，你能数出多少个不同的四边形？
用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．
凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法．21·世纪*教育网
已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1= ，S2= ，S3= ；【版权所有：21教育】
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．2·1·c·n·j·y
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a=7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
C组 培优精英
如图4－1－6(1)，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
(2)如图4－1－6(2)，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数．
(1) (2)
图4－1－6
如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
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第8讲 多边形
一、经典例题
考点一、四边形的内角和度数
例1. 在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶4∶1∶5.
(1)求四边形ABCD的四个内角的度数；
(2)四边形ABCD中是否有互相平行的边？若有，请指出来；若没有，请说明理由．
解：(1)设∠A＝2x，∠B＝4x，∠C＝x，∠D＝5x.
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∴2x＋4x＋x＋5x＝360°，∴x＝30°，
∴∠A＝60°，∠B＝120°，∠C＝30°，∠D＝150°.
(2)∵∠A＋∠B＝180°，∴AD∥BC.
考点二、多边形的有关概念
例2. 下列说法正确的是( )
A．若干条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做多边形
B．连结多边形两个顶点的线段叫做多边形的对角线
C．从n边形的一个顶点可以引(n－2)条对角线
D．n边形共有条对角线
答案:D
考点三、利用多边形的内角和或外角和定理求边数
例3. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形答案:B
例4. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为_____6___．
解:设多边形的边数为n，由题意得(n－2)·180°＝360°×2.所以n＝6.
例5. 已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2，求这两个多边形的边数．
解：设这两个多边形的边数分别是n，2n. ( http: / / www.21cnjy.com )根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＋(2n－2)·180°＝900°，解得n＝3.所以2n＝6.
所以，这两个多边形的边数分别是3，6.
考点四、利用多边形的内角和或外角和定理求角的度数
例6. 在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于( C )
A．60° B．75° C．90° D．120°
例7. 如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝_____360°___．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\X110.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/X110.tif" \* MERGEFORMAT (第7题)
例8. 如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\C2.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/C2.tif" \* MERGEFORMAT
(第8题)
解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，
∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.
∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.
又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°.
∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF.∴∠BAF＝150°.
∵∠CDE＝∠BAF，∴∠CDE＝150°.
∴在六边形ABCDEF中，∠F＝720°－ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.
(第8题)
考点五、用不等式思想解有关多边形的边数及角的问题
例9. 一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：(1)这个多边形的边数；
(2)除去的那个内角的度数．
解：(1)设这个多边形的边数为n，则其内角 ( http: / / www.21cnjy.com )和为(n－2)·180°.依题意，得2 570°＜(n－2)·180°＜2 570°＋180°.解得16＜n＜17.因为n≥3，且n是整数，所以n＝17，即这个多边形的边数为17.
(2)除去的那个内角的度数为(17－2)×180°－2 570°＝130°.
点拨：由于除去一个内角后， ( http: / / www.21cnjy.com )其余内角之和为2 570°，因此该多边形的内角和比2 570°大，比2 570°＋180°小．可列出关于边数的不等式，先确定边数的范围，再求边数．[
考点六、求不规则图形的内角和
例10. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\c3a.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/c3a.tif" \* MERGEFORMAT (第9题)
(第9题)
解：如图，连结CD.
∵∠1＋∠3＋∠4＝180°，
∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠A＋∠ACF＋∠ADB.
∵∠1＝∠2，∠2＋∠B＋∠E＋∠F＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠ACF＋∠ADB＋∠E＋∠F＝360°.
因此，所求的度数为360°.
考点七、多边形中的截角问题
例11. 一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形，新多边形的内角和是其外角和的6倍，那么原多边形的边数是多少？
解：设新多边形的边数是n，根据多边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和定理，得(n－2)·180°＝6×360°.解得n＝14.一个多边形截去一个角后，所得新多边形的边数可能不变，也可能减少1，还可能增加1，
所以原多边形的边数是13或14或15.
考点八、多边形中的面积问题
例12. 一块四边形纸片，∠A与∠C都是直角，且AB=AD，如果CB+CD=10cm，这块纸片的面积是 ．（∠B+∠D=180°）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图，连接BD，
设AB=AD=xcm，CD=ycm，BC=zcm．
因为∠A与∠C都是直角，
所以S△ABD= ( http: / / www.21cnjy.com )x2，
S△BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )yz，
所以S四边形=S△ABD+S△BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )yz= ( http: / / www.21cnjy.com )（x2+yz）①
又因为AB2+AD2=BD2，
BC2+CD2=BD2，
所以AB2+AD2=BC2+CD2，
即2x2=z2+y2，
x2= ( http: / / www.21cnjy.com )②，
把②代入①得，S四边形= ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )+yz）= ( http: / / www.21cnjy.com )（y2+2yz+z2）= ( http: / / www.21cnjy.com )（z+y）2= ( http: / / www.21cnjy.com )×102=25cm2．
故答案为25cm2．
( http: / / www.21cnjy.com )
例13. 提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？ ( http: / / www.21cnjy.com )21*cnjy*com
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD时（如图②）：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP= ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABD．
∵PD=AD﹣AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP= ( http: / / www.21cnjy.com )S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
=S四边形ABCD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )S△CDA
=S四边形ABCD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（S四边形ABCD﹣S△ABC）
= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC．
（2）当AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ；
（4）一般地，当AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD（0≤ ( http: / / www.21cnjy.com )≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为： ．
【解答】解：（2）∵AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP= ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABD．
又∵PD=AD﹣AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP= ( http: / / www.21cnjy.com )S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
=S四边形ABCD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )S△CDA
=S四边形ABCD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（S四边形ABCD﹣S△ABC）
= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC．
∴S△PBC= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC
（3）S△PBC= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC；
（4）S△PBC= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC；
∵AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP= ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABD．
又∵PD=AD﹣AP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP= ( http: / / www.21cnjy.com )S△CDA
∴S△PBC=S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
=S四边形ABCD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )S△CDA
=S四边形ABCD﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（S四边形ABCD﹣S△ABC）
= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC．
∴S△PBC= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC
问题解决：S△PBC= ( http: / / www.21cnjy.com )S△DBC+ ( http: / / www.21cnjy.com )S△ABC．
例14. 已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD． ( http: / / www.21cnjy.com )设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1，S2和S3，则S1= ，S2= ，S3= ；2-1-c-n-j-y
（2）如图（4），对于线段AC与线 ( http: / / www.21cnjy.com )段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）S1= ( http: / / www.21cnjy.com )×6×3+ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×5=9+15=24，
S2= ( http: / / www.21cnjy.com )×6×4+ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×4=12+12=24，
S3= ( http: / / www.21cnjy.com )×6×6+ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×2=18+6=24；
（2）猜想四边形ABCD面积为24，
理由如下：S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
= ( http: / / www.21cnjy.com )BD AO+ ( http: / / www.21cnjy.com )BD CO，
= ( http: / / www.21cnjy.com )BD（AO+CO），
= ( http: / / www.21cnjy.com )BD AC，
= ( http: / / www.21cnjy.com )×8×6，
=24．
二、堂课变式
A组 夯实基础
1. 在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B为 ( D )
A．70° B．80°
C．120° D．130°
2. 在四边形的四个内角中，直角最多可以有 ( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3. 在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝85°，则∠D＝__95°__．
【解析】 ∵∠A＋∠C＝180°，∠B＝85°，∴∠D＝360°－∠A－∠C－∠B＝360°－180°－85°＝95°.21·cn·jy·com
4. 已知四边形各内角的度数的比为1∶2∶3∶4，则各内角的度数分别为__36°，72°，108°，144°__．【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】 设四个角分别为x，2x，3x，4x，
则x＋2x＋3x＋4x＝360°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，3x＝108°，4x＝144°.
5. 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为 ( D )
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
【解析】 设内角和为720°的多边形的边数是n，则(n－2)·180＝720，解得n＝6，则原多边形的边数为5或6或7.21教育网
6. 如图4－1－4，五边形ABCDE中，AB∥C ( http: / / www.21cnjy.com )D，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于 ( B )www-2-1-cnjy-com
图4－1－4
A．90° B．180°
C．210° D．270°
【解析】 ∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠B的邻补角＋∠C的邻补角＝180°.
根据多边形的外角和定理，∠1＋∠2＋∠3＋∠B的邻补角＋∠C的邻补角＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°.
7. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__6__．
8. （1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 n 个三角形．
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成 n﹣1 个三角形．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：（1）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成n个三角形；
（2）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成n﹣1个三角形．
9. 如图所示，将多边形分割成三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 （n﹣1） 个三角形．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
10. 若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 5，6，7 ．
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
( http: / / www.21cnjy.com )
B组 能力提高
11. 在四边形ABCD中，∠ A，∠B，∠C，∠D的外角度数的比为4∶7∶5∶8，求四边形各内角的度数．
解：∵四边形的外角和是360°，
设∠A，∠B，∠C，∠D的外角度数分别为4x，7x，5x，8x，则4x＋7x＋5x＋8x＝360°，
∴x＝15°，∴4x＝60°，7x＝105°，5x＝75°，8x＝120°，
故四边形各内角的度数分别为120°，75°，105°，60°.
12. 在一个多边形的内角中，锐角不能多于 ( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
【解析】 内角是锐角，则外角是钝角，而外角和为360°，故外角是钝角的最多有3个，则内角是锐角的最多有3个．选B.
13. 凸n边形的对角线的条数记 ( http: / / www.21cnjy.com )作an(n≥4)，例如：a4＝2，那么：①a5＝__5__；②a6－a5＝__4__；③an＋1－an＝__n－1__(n≥4，用含n的代数式表示)．
14. 已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7 ( http: / / www.21cnjy.com )后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．21*cnjy*com
【解答】解：（1）a=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，
但可令a=b，得 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴60n+420=67n，
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．
15. 四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．
（1）四边形一条对角线上任意一点与另外 ( http: / / www.21cnjy.com )两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．
已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）
求证：S△OBC S△OAD=S△OAB S△OCD；
（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】 ( http: / / www.21cnjy.com )
证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，
则有：S△AOB= ( http: / / www.21cnjy.com )BO AE，
S△COD= ( http: / / www.21cnjy.com )DO CF，
S△AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )DO AE，
S△BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )BO CF，
∴S△AOB S△COD= ( http: / / www.21cnjy.com )BO DO AE CF，
S△AOD S△BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )BO DO CF AE，
∴S△AOB S△COD=S△AOD S△BOC．；
（2）能．
从三角形的一个顶点与对边上任意一点 ( http: / / www.21cnjy.com )的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．
或S△AOD S△BOC=S△AOB S△DOC，
已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，
求证：S△AOD S△BOC=S△AOB S△DOC．
证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，
则有：S△AOD= ( http: / / www.21cnjy.com )DO AE，S△BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )BO CF，
S△OAB= ( http: / / www.21cnjy.com )OB AE，S△DOC= ( http: / / www.21cnjy.com )OD CF，
∴S△AOD S△BOC= ( http: / / www.21cnjy.com )OB OD AE CF，
S△OAB S△DOC= ( http: / / www.21cnjy.com )BO OD AE CF，
∴S△AOD S△BOC=S△OAB S△DOC．
C组 培优精英
16. 如图4－1－3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，若将△ABC沿∠BAC的角平分线剪开，就成了两个小三角形，用这两个小三角形可以拼成多少种不同形状的四边形？画出示意图，并写出所拼四边形的四个内角的度数．
图4－1－3
17. 如图4－1－5，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．
图4－1－5
解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.
∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.
第17题答图
又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°.
∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF.
又∵∠CDE＝∠BAF，∴∠EDA＝∠BAD.
在四边形ADEF中，
∠DAF＋∠EDA＋∠F＋∠E＝360°，
∴∠F＋∠E＝360°(∠ADC＋∠BAD)＝210°.
又∵∠E＝80°，∴∠F＝130°.
18. 如图，四边形ABCD面积为1，第一次操作 ( http: / / www.21cnjy.com )：分别延长AB，BC，CD，DA至点A1，B1，C1，D1，使A1B=AB，B1C=BC，C1D=CD，D1A=DA，顺次连接A1，B1，C1，D1得到四边形A1B1C1D1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1D1，D1A1至点A2，B2，C2，D2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2D1=C1D1，D2A1=D1A1，顺次连接A2，B2，C2，D2，得到四边形A2B2C2D2，…按此规律，要使得到的四边形的面积超过20092，最少经过 10 次操作．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：连接AC，
∵C1D=DC，AD=AD1，
∴S△ADC= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，S△ABC= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
同理得出：S四边形ADCB= ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴每经过一次操作，都将面积扩大5倍，
如果lg5n＞lg20092，n＞9.45，
那么最少经过10次操作，四边形的面积超过20092．
故答案为：10
( http: / / www.21cnjy.com )
三、课后巩固
A组 夯实基础
1. 下列图中不是凸多边形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：选项B、C、D中，画出这 ( http: / / www.21cnjy.com )个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形．
故选A．
2. 在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解答】解：如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：D．
3. 从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）21世纪教育网版权所有
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【解答】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1=2004．
故选C．
4. 如图，下列图形是多边形的有 ③④ （填序号）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：下列图形是多边形的有③④，
故答案为：③④．
5. 如下图，多边形任意相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为 2m+2n ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：这个多边形的周长为2m+2n．
6. 已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D＝70°，则∠C的度数为 ( C )
A．70° B．90°C．110° D．140°
【解析】 ∠C＝360°－(∠A＋∠B＋∠D)＝360°－(180°＋70°)＝110°.选C.
7. 一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为( A )
A．5 B．6 C．7 D．8
8. 如图4－1－1所示，已知四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠A＝95°，∠D＝100°，外角∠ABE＝70°，则∠ABC＝__110°__，∠C＝__55°__．
图4－1－1 图4－1－2
【解析】 ∠ABC＝180°－ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABE＝180°－70°＝110°，∠C＝360°－∠A－∠ABC－∠D＝360°－95°－110°－100°＝55°.
9. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：第一个是1×3，
第二个是2×4，
第三个是3×5，
…
第 n个是nx（n+2）=n2+2n
故答案为：n2+2n．
10. 如图所示，①中多边形（边数为12）是由 ( http: / / www.21cnjy.com )正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 n（n+1） ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
故答案为：n（n+1）．
11. 如图，已知五边形ABCDE中，AB∥ED，∠A=∠B=90°，则可以将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有 无数 条．21cnjy.com
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【解答】解：将该五边形ABCDE分成面积相等的两部分的直线有无数条．
( http: / / www.21cnjy.com )
12. 如图4－1－2所示，在四边形ABCD中，∠A－∠C＝∠D－∠B，求证：AD∥BC.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
又∠A－∠C＝∠D－∠B，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D，
∴2∠A＋2∠B＝360°，∴∠A＋∠B＝180°，
∴AD∥BC.
13. 已知一个多边形的每个外角都相等，且每个外角比与它相邻的内角小100°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，则
＝－100°，解得n＝9.
答：这个多边形的边数为9.
B组 能力提高
14. 如图，你能数出多少个不同的四边形？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：单个的四边形：一共有9个，
由2个四边形组成的四边形有6个，
由3个四边形组成的四边形有4个，
由4个四边形组成的四边形有1个，
由5个四边形组成的四边形有4个，
由6个四边形组成的四边形有2个，
由7个四边形组成的四边形有1个，
故一共有27个四边形．
15. 用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
【解答】解：四个．如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
16. 如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )，
至少要定3根木条．
17. 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．
【解答】解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，
如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
18. A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法．21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：答案不唯一，如：
（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；
（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；
（3）含5点的最小圆半径；
（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；
（5）连接任意两点线段长度中的最小值．
19. 已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1， ( http: / / www.21cnjy.com )图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1= 24 ，S2= 24 ，S3= 24 ；【版权所有：21教育】
（2）如图4，对于线段AC与 ( http: / / www.21cnjy.com )线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）S1=24，S2=24，S3=24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S△BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC OB，S△DAC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC OD，
∴S四边形ABCD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC OB+ ( http: / / www.21cnjy.com )AC OD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC （OB+OD）= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BD=24．
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD= ( http: / / www.21cnjy.com )AO BD，S△BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )CO BD，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )AO BD+ ( http: / / www.21cnjy.com )CO BD= ( http: / / www.21cnjy.com )BD（AO+CO）= ( http: / / www.21cnjy.com )BD AC=24．
20. 一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．2·1·c·n·j·y
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a=7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
【解答】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5=4a﹣5，
则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）=56﹣8a．
答：第四条边长的式子是56﹣8a．
（2）当a=7cm时不是四边形，
因为此时第四边56﹣8a=0，只剩下三条边，
三边长为：a=7cm，3a﹣5=16cm，4a﹣5=23，
由于7+16=23，所以，图形是线段．
答：当a=7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．
21. 如图所示，要使一个六边形木架在同一平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
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【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；
要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n﹣3）根木条．
C组 培优精英
22. 如图4－1－6(1)，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
(2)如图4－1－6(2)，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数．
(1) (2)
图4－1－6
解：(1)在四边形BCDM中，∠C＋∠B＋∠D＋∠2＝360°，在四边形MEFN中，∠1＋∠3＋∠E＋∠F＝360°21教育名师原创作品
∵∠1＝∠A＋∠G，∠2＋∠3＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝360°＋360°－180°＝540°.
(2)∵∠7＝∠1＋∠5，∠8＝∠4＋∠6，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠3＋∠7＋∠8＝360°.
23. 如图，在五边形A1A2A3A4A5中， ( http: / / www.21cnjy.com )B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
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【解答】证明：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，
∵A3B1=B1A4，
∴S△A1A3B1=S△A1B1A4，
又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，
∴S△A1A2A3=S△A1A4A5，
同理S△A1A2A3=S△A3A4A5，
∴S△A1A4A5=S△A3A4A5，
∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，
∴A1A3∥A4A5，
同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．
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