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第9讲 平行四边形的性质
一、课堂笔记
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.2·1·c·n·j·y
诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.www.21-cn-jy.com
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.【来源：21cnj*y.co*m】
知识点三、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
二、经典例题
考点一、平行四边形的定义、表示及相关概念
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．
故选B．
考点二、平行四边形中的角与边的性质
如图，在平行四边形ABCD中，边AB在x轴上，顶点D在y轴上，AB=5，AD=4，点A的坐标为（﹣1，0），求B、C、D点的坐标．
解：∵在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=4，点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO=1，BO=5﹣1=4，DO==
故B（4，0），D（0，），
由平行四边形的性质得：AB=CD=5，故C（5，）．
在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．
证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，
可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，
∴OB=OD，
在△AOB和△EOD中，
，
∴△AOB≌△EOD（AAS），
∴OA=OE．
如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB=AF；
（2）若BC=2AB，∠BCD=110°，求∠ABE的度数．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠F，∠FBC+∠BCD=180°，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE．
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC=AF．
∴AB=AF；
（2）解：由（1）可知BF=2AB，EF=EC，
∵∠BCD=110°，
∴∠FBC=180°﹣110°=70°，
∵BC=2AB，
∴BF=BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE=∠FBC=×70°=35°．
已知：如图，在 ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AB∥CD，点F在AB的延长线上，且BF=AB，联结FD交BC于点E．21·世纪*教育网21·cn·jy·com
（1）证明：△DCE≌△FBE；
（2）若EC=3，求AD的长．
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠FBE=∠C，
∵AB=DC，AB=BF，
∴BF=DC，
在△DCE和△FBE中，
，
∴△DCE≌△FBE（AAS）；
（2）解：∵△DCE≌△FBE，
∴BE=EC=3，
∴AD=BC=6．
已知：如图，A为EF上一点，四边形ABCD是平行四边形且∠EAD=∠BAF．
（1）求证：△CEF是等腰三角形．
（2）△CEF的哪两边之和恰好等于平行四边形ABCD的周长？证明你的结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥FC，AB∥EC，
∴∠FAB=∠E，∠EAD=∠F．
又∵∠EAD=∠BAF，
∴∠E=∠F．
∴△CEF是等腰三角形．
（2）结论：CE+CF=平行四边形ABCD的周长．
证明：由（1）可知：∠FAB=∠E，∠EAD=∠F，
∴∠F=∠BAF，∠DAE=∠E．
∴AB=BF，AD=DE，
∴ ABCD的周长
=AB+BC+CD+AD=BF+BC+CD+DE=CE+CF．
考点三、平行线的性质定理及推论
如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E、F，∠ADC=60°，BE=4，CF=2．
（1）从对称性质看， ABCD是_________对称图形；
（2）求平行四边形ABCD的周长．
【解】 （1）中心；（2）40
试题解析：1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线互相平分，
∴O为旋转中心，
即平行四边形ABCD是中心对称图形，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC．
∵AE⊥BC，
∵BE=4，
∴AB=8，
∴CD=AB=8，
∵CF=2，∴DF=6，
∵AF⊥DC，∠D=60°
∴在Rt△ADF中，AD=12，
∴平行四边形ABCD的周长=2（12+8）=40．
如图，将 ABCD分成3块，已知图形中阴影部分AEFG是平行四边形，面积是12平方厘米，请分别求出图中三角形ABG和梯形CDEF的面积．
【解】 解：分别过点A作AM⊥BC于M，CN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝9 cm，
∴AM＝CN，∵S AEFG＝GF·AM，∴AM＝＝＝4(cm)，
∴CN＝AM＝4 cm，∵四边形AEFG是平行四边形，∴AE＝GF＝3 cm，
∴DE＝6 cm，∴S△ABG＝BG·AM＝6(cm2)，
S梯形CDEF＝(CF＋DE)·CN＝18(cm2)
如图，点P是 ABCD上一点，已知S△ABP＝3，S△PCD＝1，求 ABCD的面积．
解：过点B作BM⊥AD，交DA的延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AM＝CN，∴S△ABP＋S△PCD＝AP·BM＋DP·CN＝AP·BM＋DP·BM＝BM(AP＋DP)＝AD·BM＝S ABCD，∴S ABCD＝2(S△ABP＋S△PCD)＝2(3＋1)＝821教育网www-2-1-cnjy-com
如图，m∥n，AD∥BC，CD∶CF＝2∶1，如果△CEF的面积为10，求四边形ABCD的面积．21·世纪*教育
解：过点A作AG⊥n于点G，EH⊥n于点H，∵m∥n，
∴AG＝EH，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵S△CEF＝CF·EH＝10，CD∶CF＝2∶1，
∴S ABCD＝CD·AG＝2CF·EH＝40
如图，在 ABCD中，F，E分别是BA，DC延长线上的点，且AE∥CF，交BC，AD于点G，H.求证：EG＝FH.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥CD，AE∥CF，∴AE＝CF，∵AD∥BC，
AE∥CF，∴AG＝CH，∴AE－AG＝CF－CH，即EG＝FH
如图，把 ABCD分成4个小平行四边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．
解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则＝＝
，＝＝，∴＝，
即＝，∴S OEDH＝24
考点四、平行四边形对角线的性质
已知点A（3，0）、B（-1，0）、 C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，你能求出第四个顶点D吗？
【解】
如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）平行四边形有 _________ 条面积等分线；
（2）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由 _________ ．21·世纪*教育网
【解析】
试题解析：（1）只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，
则平行四边形有无数条面积等分线．
如图所示．
过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
三、堂课变式
A组 夯实基础
在 ABCD中，下列结论一定正确的是( )
图4－2－1
A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°
C．AB＝AD D．∠A≠∠C
已知 ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°
图4－2－2
如图4－2－2所示，在 ABCD中，AC＝3 cm，若△ABC的周长为8 cm，则 ABCD的周长为 ( )
A．5 cm B．10 cm C．16 cm D．11 cm
ABCD的四个内角度数的比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是 ( )
A．2∶3∶3∶2 B．2∶3∶2∶3 C．1∶2∶3∶4 D．2∶2∶1∶1
如图4－2－3，在 ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为 ( )
图4－2－3
A．4 B．3 C. D．2
如图4－2－4所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是( )
图4－2－4
A．DF＝BE B．AF＝CE C．CF＝AE D．CF∥AE
如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将( )
A.变大 B.变小
C.不变 D.变大变小要看点C向左还是向右移动
已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．2种 B.3种 C.4种 D.5种
如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝4，则△CEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
如图4－2－5所示，将 ABCD的一边BC延长至E，若∠A＝110°，则∠1＝__ _.
图4－2－5
在 ABCD中，若AB∶BC＝3∶5，周长为40 cm，则AB＝__ _cm，BC＝_ __cm.
如图4－2－6，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF.
图4－2－6
B组 能力提高
已知三角形ABC的面积为15cm2,AC=5cm,直线DE过点B且平行于AC,则DE与AC之间的距离为____________
木工师傅要检验一块长方形木板的一组对边是否平行,先用直角尺的一边紧靠木板边缘,读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度,换一个位置再读一次.试问这两次的读数相是否相等______.
如图，在 ABCD中，∠A=70°，将 ABCD绕顶点B顺时针旋转到 A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=___________．
如图4－2－7所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求证：DF＝EC.
图4－2－7
如图4－2－8所示，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF∥BE，交BC于点F，求∠1的大小．
如图4－2－9，已知 ABCD中，F是BC边的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.21教育名师原创作品
图4－2－9
证明：∵F是BC边的中点，
∴BF＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵在△CDF和△BEF中，
∴△CDF≌△BEF(AAS)，
∴BE＝DC.∵AB＝DC，∴AB＝BE.
如图4－2－10所示，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
图4－2－10
C组 培优精英
如图4－2－11所示，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作 CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连结BG， DE.
图4－2－11
(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)求证：△BCG≌△DCE.
四、课后巩固
A组 夯实基础
如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66° B．104° C．114° D．124°
已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
A． B． C． D．
在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（ ）
A．110° B．30° C．50° D．70°
在 ABCD中，AB=3，BC=4，当 ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
B组 能力提高
如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．45°
如图，平行四边形ABCD中，P是形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（ ）
S1+S2=S3+S4 B．S1+S2＞S3+S4
C．S1+S3=S2+S4 D．S1+S2＜S3+S4
我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的 ．
若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是 度．
如图，在 ABCD中，∠C=60°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
（1）∠EDF= 度；
（2）若AE=4，CF=7，则 ABCD周长= ．
在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF= ．
C组 培优精英
在□ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）如图1，若，则∠ACB= °，BC= ；
（2）如图2，，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？
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第9讲 平行四边形的性质
一、课堂笔记
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.2·1·c·n·j·y
诠释：平行四边形的基本元素：边、 ( http: / / www.21cnjy.com )角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以 ( http: / / www.21cnjy.com )证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.www.21-cn-jy.com
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.【来源：21cnj*y.co*m】
知识点三、平行线间的距离
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
（2）平行线间的距离处处相等
任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积：
平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.
二、经典例题
考点一、平行四边形的定义、表示及相关概念
例1. 如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．12个 B．9个 C．7个 D．5个
解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行 ( http: / / www.21cnjy.com )的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．
故选B．
考点二、平行四边形中的角与边的性质
例2. 如图，在平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，边AB在x轴上，顶点D在y轴上，AB=5，AD=4，点A的坐标为（﹣1，0），求B、C、D点的坐标．2·1·c·n·j·y
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解：∵在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=4，点A的坐标为（﹣1，0），
∴AO=1，BO=5﹣1=4，DO= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
故B（4，0），D（0， ( http: / / www.21cnjy.com )），
由平行四边形的性质得：AB=CD=5，故C（5， ( http: / / www.21cnjy.com )）．
例3. 在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．
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证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，
可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，
∴OB=OD，
在△AOB和△EOD中，
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∴△AOB≌△EOD（AAS），
∴OA=OE．
例4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．
（1）求证：AB=AF；
（2）若BC=2AB，∠BCD=110°，求∠ABE的度数．
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（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠F，∠FBC+∠BCD=180°，
∵E为AD的中点，
∴DE=AE．
在△DEC和△AEF中，
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∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC=AF．
∴AB=AF；
（2）解：由（1）可知BF=2AB，EF=EC，
∵∠BCD=110°，
∴∠FBC=180°﹣110°=70°，
∵BC=2AB，
∴BF=BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE= ( http: / / www.21cnjy.com )∠FBC= ( http: / / www.21cnjy.com )×70°=35°．
例5. 已知：如图，在 ABCD中，AB=CD ( http: / / www.21cnjy.com )，AD=BC，AB∥CD，AB∥CD，点F在AB的延长线上，且BF=AB，联结FD交BC于点E．21·世纪*教育网21·cn·jy·com
（1）证明：△DCE≌△FBE；
（2）若EC=3，求AD的长．
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（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠FBE=∠C，
∵AB=DC，AB=BF，
∴BF=DC，
在△DCE和△FBE中，
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∴△DCE≌△FBE（AAS）；
（2）解：∵△DCE≌△FBE，
∴BE=EC=3，
∴AD=BC=6．
例6. 已知：如图，A为EF上一点，四边形ABCD是平行四边形且∠EAD=∠BAF．
（1）求证：△CEF是等腰三角形．
（2）△CEF的哪两边之和恰好等于平行四边形ABCD的周长？证明你的结论．
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（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥FC，AB∥EC，
∴∠FAB=∠E，∠EAD=∠F．
又∵∠EAD=∠BAF，
∴∠E=∠F．
∴△CEF是等腰三角形．
（2）结论：CE+CF=平行四边形ABCD的周长．
证明：由（1）可知：∠FAB=∠E，∠EAD=∠F，
∴∠F=∠BAF，∠DAE=∠E．
∴AB=BF，AD=DE，
∴ ABCD的周长
=AB+BC+CD+AD=BF+BC+CD+DE=CE+CF．
考点三、平行线的性质定理及推论
例7. 如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E、F，∠ADC=60°，BE=4，CF=2．
（1）从对称性质看， ABCD是_________对称图形；
（2）求平行四边形ABCD的周长．
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【解】 （1）中心；（2）40
试题解析：1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线互相平分，
∴O为旋转中心，
即平行四边形ABCD是中心对称图形，
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC．
∵AE⊥BC，
∵BE=4，
∴AB=8，
∴CD=AB=8，
∵CF=2，∴DF=6，
∵AF⊥DC，∠D=60°
∴在Rt△ADF中，AD=12，
∴平行四边形ABCD的周长=2（12+8）=40．
例8. 如图，将 ABCD分成3块，已知 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )图形中阴影部分AEFG是平行四边形，面积是12平方厘米，请分别求出图中三角形ABG和梯形CDEF的面积．
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【解】 解：分别过点A作AM⊥BC于M，CN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝9 cm，
∴AM＝CN，∵S AEFG＝GF·AM，∴AM＝＝＝4(cm)，
∴CN＝AM＝4 cm，∵四边形AEFG是平行四边形，∴AE＝GF＝3 cm，
∴DE＝6 cm，∴S△ABG＝BG·AM＝6(cm2)，
S梯形CDEF＝(CF＋DE)·CN＝18(cm2)
例9. 如图，点P是 ABCD上一点，已知S△ABP＝3，S△PCD＝1，求 ABCD的面积．
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解：过点B作BM⊥AD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，交DA的延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AM＝CN，∴S△ABP＋S△PCD＝AP·BM＋DP·CN＝AP·BM＋DP·BM＝BM(AP＋DP)＝AD·BM＝S ABCD，∴S ABCD＝2(S△ABP＋S△PCD)＝2(3＋1)＝821教育网www-2-1-cnjy-com
例10. 如图，m∥n，AD∥BC，CD∶CF＝2∶1，如果△CEF的面积为10，求四边形ABCD的面积．21·世纪*教育
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解：过点A作AG⊥n于点G，EH⊥n于点H，∵m∥n，
∴AG＝EH，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵S△CEF＝CF·EH＝10，CD∶CF＝2∶1，
∴S ABCD＝CD·AG＝2CF·EH＝40
例11. 如图，在 ABCD中，F，E分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )BA，DC延长线上的点，且AE∥CF，交BC，AD于点G，H.求证：EG＝FH.www-2-1-cnjy-com
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解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AB∥CD，AE∥CF，∴AE＝CF，∵AD∥BC，
AE∥CF，∴AG＝CH，∴AE－AG＝CF－CH，即EG＝FH
例12. 如图，把 ABCD分成4个小平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，已知 AEOG， BFOG， CFOH的面积分别为8，10，30，求 OEDH的面积．2-1-c-n-j-y
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解：设平行线AD，GH之间的距离为h1，
平行线GH，BC之间的距离为h2，则＝＝
，＝＝，∴＝，
即＝，∴S OEDH＝24
考点四、平行四边形对角线的性质
例13. 已知点A（3，0）、B（-1，0）、 ( http: / / www.21cnjy.com ) C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，你能求出第四个顶点D吗？
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【解】 ( http: / / www.21cnjy.com )
例14. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．2·1·c·n·j·y
（1）平行四边形有 _________ 条面积等分线；
（2）如图，四边形ABCD中，AB与CD不 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由 _________ ．21·世纪*教育网
【解析】
试题解析：（1）只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，
则平行四边形有无数条面积等分线．
如图所示．
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过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴有S△ABC=S△AEC，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；
∵S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 在 ABCD中，下列结论一定正确的是( B )
图4－2－1
A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°
C．AB＝AD D．∠A≠∠C
2. 已知 ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是 ( C )
A．100° B．160° C．80° D．60°
图4－2－2
3. 如图4－2－2所示，在 ABCD中，AC＝3 cm，若△ABC的周长为8 cm，则 ABCD的周长为 ( B )
A．5 cm B．10 cm C．16 cm D．11 cm
【解析】 ∵△ABC的周长 ( http: / / www.21cnjy.com )＝AB＋BC＋AC＝8 cm，AC＝3 cm，∴AB＋BC＝5 cm，∴ ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2×5＝10(cm)．
4. ABCD的四个内角度数的比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是 ( B )
A．2∶3∶3∶2 B．2∶3∶2∶3
C．1∶2∶3∶4 D．2∶2∶1∶1
【解析】 平行四边形的对角相等．
5. 如图4－2－3，在 ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为 ( B )
图4－2－3
A．4 B．3 C. D．2
6. 如图4－2－4所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是( C )
图4－2－4
A．DF＝BE B．AF＝CE
C．CF＝AE D．CF∥AE
7. 如图,AB∥EF,C是EF上一个动点,当点C的位置变化时,△ABC的面积将( )
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A.变大 B.变小
C.不变 D.变大变小要看点C向左还是向右移动
【解析】 △ABC面积与AB及两平行线的距离不变.
8. 已知在四边形ABCD中，对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC ②AD=BC ③OA=OC ④OB=OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．2种 B.3种 C.4种 D.5种
试题分析：（1）∵①AD∥BC ②AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
（2）∵③OA=OC ④OB=OD
∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
（3）①AD∥BC ③OA=OC
∵①AD∥BC
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC
∵③OA=OC
∴△OAD≌△OCB
∴AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
（4）①AD∥BC ④OB=OD
∵①AD∥BC
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC
∵④OB=OD
∴△OAD≌△OCB
∴AD=BC
∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
所以有4种选法，故选C
9. 如图，在□ABCD中，AB＝6，A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )D＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝4，则△CEF的面积是（ ）21cnjy.com
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A．4 B．3 C．2 D．
【解析】∵BG⊥AE
∴∠AGB=90°
∴AG=
∵AF平分∠BAD
∴∠BAE=∠FAD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，BC=AD=9，AB//CD
∴∠DAF=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB
∴BE=AB=6，AE=2AG=4
∴CE=BC-BE=3，S△ABE=AE·BG÷2=8
∵AB//CD
∴△ABE∽△FCE
∴
∴S△CEF=2
故选C
10. 如图4－2－5所示，将 ABCD的一边BC延长至E，若∠A＝110°，则∠1＝__70°__.
图4－2－5
【解析】 ∵平行四边形ABCD中，∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠1＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
11. 在 ABCD中，若AB∶BC＝3∶5，周长为40 cm，则AB＝__7.5__cm，BC＝__12.5__cm.
12. 如图4－2－6，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF.
图4－2－6
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AEB.
又∵AE∥CF，
∴∠DFC＝∠DAE.∴∠DFC＝∠BEA.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)．
B组 能力提高
13. 已知三角形ABC的面积为15cm2,AC=5cm,直线DE过点B且平行于AC,则DE与AC之间的距离为____________ .21cnjy.com
【解析】 DE与AC之间的距离就是三角形ABC底边AC边上高线的长度,设此高长为xcm,则 ( http: / / www.21cnjy.com ) ×5×x=15,解得x=6.2-1-c-n-j-y
14. 木工师傅要检验一块长方形木板的一组对边是 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )否平行,先用直角尺的一边紧靠木板边缘,读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度,换一个位置再读一次.试问这两次的读数相是否相等______.www.21-cn-jy.com【出处：21教育名师】
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【解析】 两次读数相等.长方形对边平行,又直角尺两次位置平行,由两平行线间的平行线段长度相等得读数相等.
15. 如图，在 AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )CD中，∠A=70°，将 ABCD绕顶点B顺时针旋转到 A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=___________．2·1·c·n·j·y
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试题分析：∵ ABCD绕顶点B顺时针旋转到 A1BC1D1，
∴BC=BC1，
∴∠BCC1=∠C1，
∵∠A=70°，
∴∠C=∠C1=70°，
∴∠BCC1=∠C1，
∴∠CBC1=180°﹣2×70°=40°，
∴∠ABA1=40°．
故答案是40°．
16. 如图4－2－7所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线．求证：DF＝EC.
图4－2－7
证明：∵在 ABCD中，CD∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB.又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF.同理可得EC＝BC.
∵AD＝BC，∴DF＝EC.
17. 如图4－2－8所示，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF∥BE，交BC于点F，求∠1的大小．
图4－2－8
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠C＝180°.
又∠ABC＝70°，
∴∠C＝180°－∠ABC＝110°.
∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠ABC＝35°.
又DF∥BE，∴∠DFC＝∠EBF＝35°.
∵∠C＋∠DFC＋∠1＝180°，
∴∠1 ＝180°－∠C－∠DFC＝35°.
18. 如图4－2－9，已知 ABCD中，F是BC边的中点，连结DF并延长，交AB的延长线于点E.求证：AB＝BE.21教育名师原创作品
图4－2－9
证明：∵F是BC边的中点，
∴BF＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥CD，
∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E.
∵在△CDF和△BEF中，
∴△CDF≌△BEF(AAS)，
∴BE＝DC.∵AB＝DC，∴AB＝BE.
19. 如图4－2－10所示，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
图4－2－10
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°.
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°，
∴∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°.
(2)∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5 cm.
同理PC＝CB＝5 cm，
即 AB＝DC＝DP＋PC＝10 cm.
在Rt△APB中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，
∴BP＝＝6(cm)，
∴△APB的周长是6＋8＋10＝24(cm)．
C组 培优精英
20. 如图4－2－11所示，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边作 CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G.连结BG， DE.
图4－2－11
(1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)求证：△BCG≌△DCE.
解：(1)∠ACB＝∠GCD.
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵CG∥AB，
∴∠ABC＝∠GCD，
∴∠ACB＝∠GCD.
(2)证明：∵四边形CDFE是平行四边形，
∴EF∥CD，
∴∠ACB＝∠GEC，∠EGC＝∠GCD.
∵∠ACB＝∠GCD，
∴∠GEC＝∠EGC，
∴EC＝GC.
∵∠GCD＝∠ACB，
∴∠GCB＝∠ECD.
∵BC＝DC，
∴△BCG≌△DCE.
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 如图，将 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
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A．66° B．104° C．114° D．124°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠1=22°，
∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；
故选：C．
2. 已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
解：A正确；
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2；
B、D正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠1=∠2；
C不正确；
故选：C．
3. 在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（ ）21世纪教育21教育网
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A．110° B．30° C．50° D．70°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠ADE=180°﹣∠B=70°
∵∠E+∠F=∠ADE
∴∠E+∠F=70°
故选D．
4. 在 ABCD中，AB=3，BC=4，当 ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（ ）
①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
解：根据题意得：当 ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )=5，
①正确，②正确，④正确；③不正确；
故选：B．
5. 如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（ ）21教育网【来源：21·世纪·教育·网】
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A．2 B．3 C．4 D．6
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，
∴∠F=∠DCF，
∵CF平分∠BCD，
∴∠FCB=∠DCF，
∴∠F=∠FCB，
∴BF=BC=8，
同理：DE=CD=6，
∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，
∴AE+AF=4；
故选：C．
B组 能力提高
6. 如图，在 ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ）21*cnjy*com
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A．4 B．6 C．8 D．10
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图
∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO= ( http: / / www.21cnjy.com )BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
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7. 如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（ ）21·cn·jy·com ( http: / / www.21cnjy.com )21·世纪*教育网
A．120° B．135° C．150° D．45°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，
∵AD=DE=CE，
∴AD=DE=CE=BC，
∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，
∵∠DEC=90°，
∴∠EDC=∠ECD=45°，
设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，
∴∠ADE=180°﹣2x，∠BCE=180°﹣2y，
∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x，∠BCD=225°﹣2y，
∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x）=2x﹣45°，
∴2x﹣45°=225°﹣2y，
∴x+y=135°，
∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°；
故选：B．
8. 如图，平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，P是形内任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1，S2，S3，S4，则一定成立的是（ ）21*cnjy*com
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A．S1+S2=S3+S4 B．S1+S2＞S3+S4
B．C．S1+S3=S2+S4 D．S1+S2＜S3+S4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴S1+S3= ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形ABCD的面积，
S2+S4= ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形ABCD的面积，
∴S1+S3=S2+S4，
故选：C．
9. 我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的 ．
解：我们常见的晾衣服的伸缩晾衣架，是利用了四边形的灵活性，
故答案为：灵活性 或者不稳定性．
10. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是 度．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )×180°=120°，
故答案为：120．
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11. 如图，在 ABCD中，∠C=60°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
（1）∠EDF= 度；
（2）若AE=4，CF=7，则 ABCD周长= ．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=60°，∠A=180°﹣∠C=120°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
∴∠EDF=360°﹣∠DEB﹣∠B﹣∠DFB=60°；
（2）∵∠A=∠C=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠ADE=∠CDF=30°，
∵AE=4，CF=7，
∴AD=2AE=8，CD=2CF=14，
∴AB=CD=14，BC=AD=8，
∴ ABCD周长为：AD+AB+BC+CD=44．
故答案为：（1）60°，（2）44．
12. 在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠B、∠C的平分线分别交AD于E、F，则EF= ．www.21-cn-jy.com21世纪教育网版权所有
解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵AD∥CB，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
则AE=AB=5；
同理可得，DF=CD=5．
∴EF=AE+DF﹣AD=5+5﹣7=3．
故答案为：3．
C组 培优精英
13. 在□ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D.
（1）如图1，若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠ACB= °，BC= ；
（2）如图2， ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；
（3）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解】 （1）45， ( http: / / www.21cnjy.com ).
（2）如答图2，过C点分别作CG⊥AB，CH⊥AB′，垂足分别为G、H.
∴CG=CH.
在Rt△BCG中，∠BGC=90°，BC=1，∠B=30°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
∵△AGC≌△AHC,∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
设AE=CE=x,
由勾股定理得, ( http: / / www.21cnjy.com ),即 ( http: / / www.21cnjy.com ),解得 ( http: / / www.21cnjy.com ).
∴△AEC的面积 ( http: / / www.21cnjy.com ).
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（3）按△AB′D中的直角分类:
①当∠B′AD=90°时,如答图3,
∵∠B′DA=∠DAC=∠B=30°,AB′= ( http: / / www.21cnjy.com ),∴BC=AD=6.
如答图4,
∵∠A B′D=∠B=30°,AB′= ( http: / / www.21cnjy.com ),∴BC=AD=2.
②当∠AB′D=90°时,如答图5,
∵∠B′AD=∠B=30°,AB′= ( http: / / www.21cnjy.com ),∴BC=AD=4.
③当∠ADB′=90°时,如答图6,
∵∠DAB′=∠A B′C=∠B=30°,AB′= ( http: / / www.21cnjy.com ),∴BC=AD=3.
综上所述, 当BC长为6,2, 4或3时，是△AB′D直角三角形.
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