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第10讲 平行四边形的判定
一、知识回顾
知识点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
二、经典例题
考点一、利用两组对边分别平行判定
如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F，那么四边形BFDE是否为平行四边形？说明你的理由．
解：四边形BFDE为平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，∠ADC＝∠ABC，
∴FD∥BE，∠2＝∠3，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．
考点二、利用两组对边分别相等判定
如图，在 ABCD中，点E、F在对角线BD上，并且BE＝DF，证明：四边形AECF是平行四边形．
证明：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
同理可得△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
考点三、利用一组对边平行且相等判定
如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；
(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM.
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥DF.
又∵EB＝AB，DF＝CD，
∴EB＝DF，∴四边形EBFD为平行四边形．
(2)∵四边形EBFD为平行四边形，
∴∠ABN＝∠CDM.
∵AB∥CD，∴∠BAN＝∠DCM.
又∵AB＝CD，∴△ABN≌△CDM.
考点四、利用两组对角分别相等判定
如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
解：四边形BFDE是平行四边形．理由：
在 ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．
考点五、利用对角线互相平分判定
如图，AB、CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，点E、F分别是OC、OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．
证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，
∴OC＝OD.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OE＝OC，OF＝OD，∴OE＝OF.
又∵OA＝OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
考点六、平行四边形的性质与判定的综合
如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，
∴AE∥BD，
∵∠ADE=∠BAD，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD=5，
设BF=x，
则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，
解得，x=，
∴AF==，
∴AC=2AF=．
如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数．
【解答】（1）证明：∵BF=BE，CG=CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC=FG，
又∵H是FG的中点，
∴FH=FG，
∴BC=FH．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°．
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：
（1）四边形AECF是平行四边形．
（2）EF与GH互相平分．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵AE=CF，AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
【解答】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：分三种情况：①BC=BD=30cm时，
由勾股定理得，AB===20（cm），
∴四边形BDFC的面积=30×20=600（cm2）；
②BC=CD=30时，过点C作CG⊥AF于G，如图所示：
则四边形AGCB是矩形，
∴AG=BC=30，
∴DG=AG﹣AD=30﹣10=20，
由勾股定理得，CG===10，
∴四边形BDFC的面积=30×10=300；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=20，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是600cm2或300cm2．
三、堂课变式
A组 夯实基础
如图，在□ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
已知四边形ABCD，有下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④BC＝AD；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有( )
A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种
已知四边形ABCD的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，b为对边，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则此四边形一定是( )
A．任意四边形 B．对角线相等的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形 D．平行四边形
如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
如图，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结BE，AF交于点G，连结DF，EC交于点H.求证：四边形EGFH是平行四边形．
如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF，直线EF分别与AD、CB的延长线交于点G、H．
求证：AC、GH互相平分．
在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝120°，AB＝4，BC＝4，CD＝8，求五边形的周长和面积．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
B组 能力提高
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，请你添加一对线段或一对角之间关系的条件，使四边形ABCD是平行四边形，你所添加的条件是 ．
如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝ .
如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP綊BE(点P，E在直线AB的同侧)，如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为________
如图，在 ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．
请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.
如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD.
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF除外）．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥AD交AB于E，连接AC、DE，AC与DE交于点F．
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）如果EF=2，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC的长．
C组 培优精英
如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠BAE=70°，∠DCE=20°，求∠CBE的度数．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延长线上一点，且∠AEC=∠ADC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．
（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四边形AEDH的周长．
在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）如图1，若点P在BC边上，此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）
四、课后巩固
A组 夯实基础
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
如图，将 ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是( )
A．①②都对 B．①②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为( )
A．2 B．4 C．4 D．8
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为8 cm，则△DEO的周长是 cm.
如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 ___________．
如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是 .
B组 能力提高
如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.
如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋DA，请判断AD与BC的数量关系，并说明理由.
如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAC=90°，AC平分∠EAF，且BC=8cm，求BE的长．
如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
C组 培优精英
如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上．
（1）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（2）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（3）如果AE=AO，BF=BO，CG=CO，DH=DO，其中n为大于1的正整数，那么上述结论还成立吗？
如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为E、N，且AE=BE，AN、BD交于点O，∠ADB=15°，问：DF=2AE是否成立？请说明理由．
如图， ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，AE的中点是H，经过点E作AE的垂线交BC于G，交AB的延长线于点F，点G恰好是EF的中点，DH=GC．
（1）求证：∠HDC=∠ADH=∠C；
（2）若AE=6，求四边形ABCD的周长．
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第10讲 平行四边形的判定
一、知识回顾
知识点三、平行四边形的判定
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.www.21-cn-jy.com
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
二、经典例题
考点一、利用两组对边分别平行判定
例1. 如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC， ( http: / / www.21cnjy.com )交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F，那么四边形BFDE是否为平行四边形？说明你的理由．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\my535.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/my535.tif" \* MERGEFORMAT (第1题)
解：四边形BFDE为平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，∠ADC＝∠ABC，
∴FD∥BE，∠2＝∠3，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
考点二、利用两组对边分别相等判定
例2. 如图，在 ABCD中，点E、F在对角线BD上，并且BE＝DF，证明：四边形AECF是平行四边形．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\MY536.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/MY536.tif" \* MERGEFORMAT (第2题)
证明：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.
同理可得△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
考点三、利用一组对边平行且相等判定
例3. 如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．
(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；
(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\XJT50.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/XJT50.tif" \* MERGEFORMAT (第3题)
证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，EB∥DF.
又∵EB＝AB，DF＝CD，
∴EB＝DF，∴四边形EBFD为平行四边形．
(2)∵四边形EBFD为平行四边形，
∴∠ABN＝∠CDM.
∵AB∥CD，∴∠BAN＝∠DCM.
又∵AB＝CD，∴△ABN≌△CDM.
考点四、利用两组对角分别相等判定
例4. 如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？21·世纪*教育网
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\MY538.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/MY538.tif" \* MERGEFORMAT (第4题)
解：四边形BFDE是平行四边形．理由：
在 ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠CDF ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠ADF＝∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．
考点五、利用对角线互相平分判定
例5. 如图，AB、CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，点E、F分别是OC、OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\MY539S.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/MY539S.tif" \* MERGEFORMAT (第5题)
证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，
∴OC＝OD.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OE＝OC，OF＝OD，∴OE＝OF.
又∵OA＝OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
考点六、平行四边形的性质与判定的综合
例6. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，
∴AE∥BD，
∵∠ADE=∠BAD，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD=5，
设BF=x，
则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，
解得，x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AF= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AC=2AF= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
例7. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD ( http: / / www.21cnjy.com )上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：∵BF=BE，CG=CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )FG，
又∵H是FG的中点，
∴FH= ( http: / / www.21cnjy.com )FG，
∴BC=FH．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°．
例8. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：
（1）四边形AECF是平行四边形．
（2）EF与GH互相平分．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE，
∵AE=CF，AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
例9. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
在△BEC与△FED中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；
（2）解：分三种情况：①BC=BD=30cm时，
由勾股定理得，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=20 ( http: / / www.21cnjy.com )（cm），
∴四边形BDFC的面积=30×20 ( http: / / www.21cnjy.com )=600 ( http: / / www.21cnjy.com )（cm2）；
②BC=CD=30时，过点C作CG⊥AF于G，如图所示：
则四边形AGCB是矩形，
∴AG=BC=30，
∴DG=AG﹣AD=30﹣10=20，
由勾股定理得，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=10 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴四边形BDFC的面积=30×10 ( http: / / www.21cnjy.com )=300 ( http: / / www.21cnjy.com )；
③BD=CD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC=2AD=20，矛盾，此时不成立；
综上所述，四边形BDFC的面积是600 ( http: / / www.21cnjy.com )cm2或300 ( http: / / www.21cnjy.com )cm2．
( http: / / www.21cnjy.com )
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 如图，在□ABCD中，AB ( http: / / www.21cnjy.com )＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】通过△ADF≌△ECF可说明AE＝2A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )F．由DC∥AB，AF是∠BAD的平分线，可推导AD＝FD，在Rt△DGF中可计算GF，根据AE＝2AF＝4GF可求解．
2. 已知四边形ABCD，有下列条件：①AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )∥CD；②BC∥AD；③AB＝CD；④BC＝AD；⑤∠A＝∠C；⑥∠B＝∠D. 任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有( )21世纪教育网版权所有
A. 4种 B. 9种 C. 13种 D. 15种
【解析】 利用“两组对边分别平行的 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )四边形是平行四边形”的条件有①②；利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的条件有③④；利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的条件有①③，②④；利用“两组对角相等的四边形是平行四边形”(可利用四边形的内角和定理证明同旁内角互补，转化为两组对边分别平行)的条件有：⑤⑥，①⑤，①⑥，②⑤，②⑥.
3. 已知四边形ABCD的四条边长分别为 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )a，b，c，d，其中a，b为对边，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则此四边形一定是( )21教育网
A．任意四边形 B．对角线相等的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形D．平行四边形
【解析】由题意可得(a－b)2＋(c－d)2＝0，
∴a＝b，c＝d，∴四边形ABCD为平行四边形．
4. 如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．
求证：∠EBF=∠FDE．
证明：连接BD交AC于O点
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
又∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴∠EBF=∠EDF
5. 如图，在 ABCD中，E，F分别为AD ( http: / / www.21cnjy.com )，BC的中点，连结BE，AF交于点G，连结DF，EC交于点H.求证：四边形EGFH是平行四边形．
【解】 ∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝CF＝BC.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD平行且等于BC.∴AE平行且等于FC，DE平行且等于BF，
∴四边形AECF和四边形BFDE都是平行四边形，
∴AF∥EC，BE∥DF，即FG∥EH，EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
6. 如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F. *cnjy*com
求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB,OA=OC
∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO
∴△FDO≌△EBO
∴OF=OE
∴四边形AECF是平行四边形
7. 如图，分别以Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.21·cn·jy·com
(1)试说明AC＝EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
解:(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠AEB＝30°，AE＝AB，∠EFA＝90°.
又∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠EFA＝∠ACB，∠AEF＝∠BAC.
∴△ACB≌△EFA.
∴AC＝EF.
(2)证明：∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠DAC＝60°.
由(1)的结论得AC＝EF，∴AD＝EF.
又∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.
又∵∠EFA＝90°，∴EF∥AD.
又∵EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
8. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在DC、AB上，且DE＝BF，直线EF分别与AD、CB的延长线交于点G、H．21·世纪*教育网
求证：AC、GH互相平分．
( http: / / www.21cnjy.com )
证明：□ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC．
∵AD∥BC，∴∠G＝∠H．
∵∠ADC＝∠ABC，∴∠GDC＝∠HBA．
在△GDE和△HBF中，∠G＝∠H．∠GDC＝∠HBA，DE＝BF．
∴△GDE≌△HBF，∴GD＝BH．∵AD＝BC，∴AC＝GH．
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．
在△AGO和△CHO中，∠G＝∠H，∠DAC＝∠BCA，AG＝CH．
∴△AGO≌△CHO，∴OG＝OH，OA＝OC．∴AC、GH互相平分．
9. 在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝ ( http: / / www.21cnjy.com )∠C＝∠D＝120°，AB＝4，BC＝4，CD＝8，求五边形的周长和面积．www-2-1-cnjy-com
如解图，连结AC，延长AB和DC交于点F，过点B作BM⊥CF于点M.
(第14题解)
∵∠ABC＝∠DCB＝120°，
∴∠FBC＝∠FCB＝60°，
∴△CBF是等边三角形，
∴∠F＝60°，CF＝BF＝BC＝4.
∵BM⊥CF，
∴CM＝FM＝2.
∴由勾股定理，得BM＝2.
∵∠EAB＝120°，∠F＝60°，
∴∠EAB＋∠F＝180°，
∴AE∥DF.
同理，DE∥AF.
∴四边形EAFD是平行四边形．
∴DE＝AF＝AB＋BF＝8，
AE＝DF＝CD＋CF＝12.
∴五边形的周长＝DE＋DC＋BC＋AB＋AE＝36.
∵∠ABC＝120°，BC＝AB＝4，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴∠ACF＝180°－(120°－30°)＝90°.
在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC＝4，
∴五边形的面积＝S DEAF－S△CBF＝AE·AC－CF·BM＝12×4－×4×2＝44.
答：五边形的周长是36，面积是44.
10. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
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【解答】证明：（1）∵BF=DE，
∴BF﹣EF=DE﹣EF，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
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B组 能力提高
11. 如图，在四边形ABCD中，AD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )∥BC，AC，BD相交于点O，请你添加一对线段或一对角之间关系的条件，使四边形ABCD是平行四边形，你所添加的条件是 ．
.
【解析】有四种添加方法：(1)添加AD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＝BC，由“一组对边平行且相等”可得平行四边形；(2)添加AB∥CD，由“两组对边平行”可得平行四边形； (3)添加∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD，可得“两组对边平行”再得平行四边形；(4)添加AO＝CO或BO＝DO，由三角形全等，进一步得出“一组对边平行且相等”可得平行四边形．21世纪教育网版权所有
12. 如图，在 ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝ .
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3.∴∠DAF＝∠BFA.∵AE平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB.∴∠BFA＝∠BAF.∴AB＝BF＝BC＋CF.∴CF＝AB－BC＝5－3＝2.
13. 如图，点D是△AB ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )C的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP綊BE(点P，E在直线AB的同侧)，如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为________【版权所有：21教育】
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【解析】如图，过点P作PH∥BC交AB于点H，
( http: / / www.21cnjy.com )
连接CH，PF，∵AP綊BE，∴四边形A ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )PEB是平行四边形，∴PE綊AB.∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF綊BD，即EF∥AB，∴P，F，E三点共线．设BD＝a，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4a，则PF＝PE－EF＝3a.∵PH∥BC，∴S△HBC＝S△PBC. 21cnjy.com
∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )四边形，∴BH＝PF＝3a.∵S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，∴S△PBC∶S△ABC＝3∶4. www-2-1-cnjy-com
14. 如图，在 ABCD中，点O是对角线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．【出处：21教育名师】
【解】 ∴OE∥BC，且OE＝BC. 又∵CF＝BC，∴OE＝CF. 又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，21*cnjy*com
∴四边形OCFE是平行四边形．
15. 在△ABC中，AD是BC边上的中线 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．2·1·c·n·j·y
请用这种方法解决下面的问题：如图， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.21教育名师原创作品【版权所有：21教育】
延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.
∵EF＝CE，E是AB的中点，21世纪教育网
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AF∥BC，AF＝BC，∴∠FAB＝∠ABC.[
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠FAB＝∠ACB，
∴∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，
∴∠FAC＝∠DBC.
又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，
∴△AFC≌△BCD(SAS)．
∴CD＝CF，即CD＝2CE.
16. 如图，在 ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD.
(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．
【解】 (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB.
又∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.
∴∠B＝∠DAE.在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)．
(2)∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.
∴△ABE为等边三角形.
∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°.
17. 如图，已知点A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）直接写出图中所有相等的线段（AE=CF除外）．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，DE∥BF，
∴∠E=∠F，∠DAC=∠BCA，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：AD=BC、EC=AF、ED=BF、AB=DC；理由如下：
∵△ADE≌△CBF，
∴AD=BC，ED=BF，
∵AE=CF，
∴EC=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
18. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥AD交AB于E，连接AC、DE，AC与DE交于点F．【出处：21教育名师】
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）如果EF=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠FCD=30°，∠FDC=45°，求DC的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）解：作FM⊥CD于M，如图所示：
则∠FMD=∠FMC=90°，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴DF=EF=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵∠FCD=30°，∠FDC=45°，
∴△DFM是等腰直角三角形，
∴DM=FM= ( http: / / www.21cnjy.com )DF=2，CF=2FM=4，
∴CM=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DC=DM+CM=2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
C组 培优精英
19. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上 ( http: / / www.21cnjy.com )的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB=CE，∠BAE=70°，∠DCE=20°，求∠CBE的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠BAE=∠BCD，
∵BF=BE，CG=CE，
∴BC是△EFG的中位线，
∴BC∥FG，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )FG，
∵H为FG的中点，
∴FH= ( http: / / www.21cnjy.com )FG，
∴BC∥FH，BC=FH，
∴AD∥FH，AD∥FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵∠BAE=70°，
∴∠BCD=70°，
∵∠DCE=20°，
∴∠BCE=70°﹣20°=50°，
∵CB=CE，
∴∠CBE=∠CEB= ( http: / / www.21cnjy.com )（180°﹣50°）=65°．
20. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，E是CD的延长线上一点，且∠AEC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠ADC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形．
（2）若DB⊥CB，∠BCD=60°，CD=12，作AH⊥BD于H，求四边形AEDH的周长．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）∵DB平分∠ADC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
又∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠AEC=∠1，
∴AE∥BD，
又∵AB∥EC，
∴四边形AEDB是平行四边形；?
（2）∵DB平分∠ADC，∠ADC=60°，AB∥EC，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴AD=AB，
又∵DB⊥BC，
∴∠DBC=90°，
在Rt△BDC中，CD=12，
∴BC=6， ( http: / / www.21cnjy.com )，
在等腰△ADB中，AH⊥BD，
∴DH=BH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
∴AH=3，AB=6，
∵四边形AEDB是平行四边形，?
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，ED=AB=6，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴四边形AEDH的周长为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
21. 在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．
（1）如图1，若点P在BC边上，此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由） ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四边形PEAF是平行四边形，
∴PF=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PE∥AC，
∴∠EPB=∠C，
∴∠B=∠EPB，
∴PE=BE，
∵AE+BE=AB，
∴PE+PF=AB，
( http: / / www.21cnjy.com )
∵PD=0，
∴PD+PE+PF=AB．
（2）结论是PD+PE+PF=AB，
证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，
由（1）得：PE+PF=AM，
∵四边形BDPM是平行四边形，
∵MB=PD，
∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．
（3）结论是PE+PF﹣PD=AB．
四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 如图，在四边形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )21世纪 A．AB∥DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB＝DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】A中，条件为一组对边平行， ( http: / / www.21cnjy.com )另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；B中，条件是两组对边分别平行，能判断四边形ABCD是平行四边形；C中，条件是两组对边相等，能判断四边形ABCD是平行四边形；D中，条件是对角线互相平分，能判断四边形ABCD是平行四边形．故选A.2·1·c·n·j·y
2. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是( )21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．8 B．9 C．10 D．1121·cn·jy·co
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )＝AC＝3，BD＝2OB.∵AB⊥AC, ∴∠OAB＝90°.在Rt△AOB中，∵OA2＋AB2＝OB2，∴OB＝＝5，∴BD＝2OB＝10.故选C
3. 如图，将 ABCD折叠，使顶点D ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是( )www-2-1-cnjy-com
A．①②都对 B．①②都错
C．①对，②错 D．①错，②对
【解析】
由折叠的性质可知，∠D＝∠ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )AMN，MN＝DN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∴∠B＝∠AMN，∴MN∥BC.故①正确；∵BC∥AD，∴MN∥AD，∵DN∥AM，∴四边形AMND是平行四边形．∴DN＝AM，∴MN＝AM.故②正确．故选A
4. 如图，在 ABCD中，AB＝4，∠BA ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )D的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为( )
A．2 B．4 C．4 D．8
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】∵四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )是平行四边形，∴DC＝AB＝4，DC∥AB，∴∠FAB＝∠DFA.又∵AF是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝FD.∵DG⊥AE，∴AG＝FG.∵F为边DC的中点，∴DF＝CF＝2.在Rt△DGF中，GF＝＝，21*cnjy*com
∴AF＝2GF＝2.∵AD∥BC，∴ ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )∠DAF＝∠E.又∵DF＝CF，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4.故选B
5. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为8 cm，则△DEO的周
长是 cm.www.21-cn-jy.com
INCLUDEPICTURE "../Application%20Data/Microsoft/Application%20Data/Microsoft/Application%20Data/Microsoft/Application%20Data/Microsoft/Word/数学讲解word/LJ150.TIF" \* MERGEFORMAT" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】在 ABCD中，OB＝OD ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，OA＝OC， 又∵点E是AD的中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE＝CD.∵△BCD的周长为8 cm，即BC＋CD＋BD＝8 cm.又∵DE＝AD＝BC，∴△DEO的周长＝DE＋OE＋OD＝BC＋CD＋BD＝(BC＋CD＋BD)＝×8＝4(cm)．答案：4
6. 如图，□ABCD与□DC ( http: / / www.21cnjy.com )FE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 ___________．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】
两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD，则 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )有AD＝DE，即△ADE为等腰三角形，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°，∴∠DAE＝25°21教育名师原创作品
7. 如图，在 ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则 ABCD的周长是 .
INCLUDEPICTURE "../Application%20Data/Microsoft/Application%20Data/Microsoft/Application%20Data/Microsoft/Application%20Data/Microsoft/Word/数学讲解word/LJ148.TIF" \* MERGEFORMAT" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
【解析】在 ABCD中，BC＝AD＝6，∵BE＝2，
∴CE＝4.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.
∴∠CED＝∠CDE，
∴CD＝CE＝4.∴ ABCD的周长是(6＋4)×2＝20.
B组 能力提高
8. 如图，在 ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.21教育网21教育网
【解】 连结ME，NF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BM⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BMO＝∠DFO＝90°.
又∵∠BOM＝∠DOF，
∴△BMO≌△DFO(AAS)．∴OM＝OF.
同理可得OE＝ON，
∴四边形MEFN是平行四边形，∴EF∥MN.
9. 如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋DA，请判断AD与BC的数量关系，并说明理由. www
解：AD＝BC.理由如下：
延长AB至点E，使BE＝BC，延长CD至点F，使DF＝DA，连结CE，AF.
∵AB＋BC＝CD＋DA，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，
∴∠E＝∠F，CE＝AF.
又∵BE＝BC，DF＝AD，
∴∠E＝∠BCE＝∠F＝∠DAF.
又∵CE＝AF，∴△AFD≌△CEB(ASA)．
∴AD＝BC.
10. 如图，已知E、F分别是 ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAC=90°，AC平分∠EAF，且BC=8cm，求BE的长．
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【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠ACE，
∴∠2=∠ACE，
∴AE=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=90°﹣∠1，∠B=90°﹣∠ACE，
∴∠BAE=∠B，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC=4cm．
11. 如图，△ABC中AB=AC，点D从点B ( http: / / www.21cnjy.com )出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；21·cn·jy·com
（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．
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【解答】解：（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：如图1所示：
∵D、E移动的速度相同，
∴BD=CE，
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DGB，
∴BD=GD=CE，
又∵DG∥CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：
由（1）得：BD=GD=CE，
∵DM⊥BC，
∴BM=GM，
∵DG∥AE，
∴GF=CF，
∴BM+CF=GM+GF=MF．
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C组 培优精英
12. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别在AO，BO，CO，DO上．
（1）如果AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AO，BF= ( http: / / www.21cnjy.com )BO，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )CO，DH= ( http: / / www.21cnjy.com )DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（2）如果AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AO，BF= ( http: / / www.21cnjy.com )BO，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )CO，DH= ( http: / / www.21cnjy.com )DO，那么四边形EFGH是平行四边形吗？证明你的结论；
（3）如果AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AO，BF= ( http: / / www.21cnjy.com )BO，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )CO，DH= ( http: / / www.21cnjy.com )DO，其中n为大于1的正整数，那么上述结论还成立吗？
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【解答】解：（1）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AO，BF= ( http: / / www.21cnjy.com )BO，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )CO，DH= ( http: / / www.21cnjy.com )DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AO，BF= ( http: / / www.21cnjy.com )BO，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )CO，DH= ( http: / / www.21cnjy.com )DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）上述结论成立；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE= ( http: / / www.21cnjy.com )AO，BF= ( http: / / www.21cnjy.com )BO，CG= ( http: / / www.21cnjy.com )CO，DH= ( http: / / www.21cnjy.com )DO，
∴OE=OG，OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
13. 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为E、N，且AE=BE，AN、BD交于点O，∠ADB=15°，问：DF=2 ( http: / / www.21cnjy.com )AE是否成立？请说明理由．
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【解答】解：DF= ( http: / / www.21cnjy.com )AE成立．理由如下：
如图所示，延长DC、AE相交于点G，连接BG，过点B作BH⊥DG于点H，过点F作FM⊥DG于点M，
∴四边形ABHN是平行四边形，
∴BH=AN，
∵∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=30°，
∴BD=2BH=2AN，
∵∠DAG=90°，∠ADG=45°，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴DB=DG，
∴∠DBG=∠DGB=75°，
∴∠EBG=∠FBG﹣∠DBC=60°，∠BGF=30°，
∴BG=2BE=2AE，∠BFG=75°=∠FBG，
∴FG=BG=2AE，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
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14. 如图， ABCD中，∠DAB的平分线交 ( http: / / www.21cnjy.com )CD于点E，AE的中点是H，经过点E作AE的垂线交BC于G，交AB的延长线于点F，点G恰好是EF的中点，DH=GC．
（1）求证：∠HDC=∠ADH=∠C；
（2）若AE=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，求四边形ABCD的周长．
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【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD，AE平分∠DAB；
∴∠DAE=∠EAF=∠AED；DC∥AB，
∴△DAE是等腰三角形，
∵E是AE的中点，
∴AD=DE；∠ADH=∠HDC；DH⊥AE，
又∵AE⊥EF，
∴DH∥EG，
∴四边形DEGH是平行四边形，
∴DH=EG；∠HDC=∠EGH，
∵EG=DH=CG，
∴△CGE是等腰三角形，
∴∠CEG=∠C=∠HDC=∠ADH；
（2）∵∠CEG=∠C=∠HDC=∠ADH且∠ADH+∠HDC+∠DAB=180°，
∴∠HDC=∠ADH=∠CEG=60°，
∴△CGE是等边三角形，
∵CE∥BF；G是EF中点，
在△CGE和△BGF中，
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∴△CGE≌△BGF（AAS），
∴BG=CG=CE=DH．
∵AE=6 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AH=3 ( http: / / www.21cnjy.com )；DE=AD= ( http: / / www.21cnjy.com )AH=6，
∴BG=CG=CE=DH= ( http: / / www.21cnjy.com )AD=3，
∴AD+DC=AD+DE+CE=6+6+3=15，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AD+DC）=30．
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C
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
O
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