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第11讲 三角形的中位线
一、知识回顾
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
二、经典例题
考点一、利用三角形的中位线求线段长度或角的度数
在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案:B
如图，四边形ABCD中，AD＝BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝60°，则∠FEG＝________．
答案:20°
考点二、利用三角形的中位线证线段的位置关系
如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE＝BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N.求证：MN∥BC.
证明：连结EF，在 ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝BF，∴DE＝CF.
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．
∴点 M、N分别是EB和EC的中点．
∴MN是△EBC的中位线．
∴MN∥BC.
如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，Q是MN的中点．
(1)求证：PQ⊥MN；
(2)判断△OEF的形状．
(1)证明：如图，连结PM和PN，
∵M、P分别是边AB、BC的中点，
∴PM是△BAC的中位线．
∴PM∥AC，PM＝AC.
同理，PN∥BD，PN＝BD.
∵AC＝BD，∴PM＝PN.
∵Q是MN的中点，∴PQ⊥MN.
(2)解：△OEF是等腰三角形．
∵PM∥AC，PN∥BD，∴∠OFE＝∠PMN，
∠OEF＝∠PNM.
∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，
∴∠OFE＝∠OEF.
∴△OEF是等腰三角形．
(第4题)
考点三、利用三角形的中位线证线段的倍分关系
如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点，求证：CD＝2CE.
(第5题)
(第5题)
证明：如图，取CD的中点F，连结BF，则CD＝2CF.
∵AB＝BD，∴BF是△ADC的一条中位线，∴BF∥AC，BF＝AC.∴∠2＝∠ACB.
∵AB＝AC，∴∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠2.
∵E是AB的中点，∴BE＝AB，
∵BF＝AC，且AB＝AC，∴BE＝BF.
在△BCE和△BCF中，
，∴△BCE≌△BCF(SAS)，
∴CE＝CF.∵CD＝2CF，∴CD＝2CE.
考点四、利用三角形的中位线证线段的和差关系
如图，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F，求证：MF＝(AC－AB)．21·cn·jy·com
(第6题)
(第6题)
证明：如图，延长AB、CF交于点E.
∵CF⊥AF，
∴∠AFE＝∠AFC＝90°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2.
在△AEF和△ACF中，
∴△AEF≌△ACF(ASA)．
∴AE＝AC，EF＝CF.
又∵M为BC的中点，
∴MF为△BEC的中位线．
∴MF＝BE＝(AE－AB)＝(AC－AB)．
考点五、利用三角形的中位线证线段的不等关系
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB≠CD，E、F分别是AD、BC的中点．求证：EF<(AB＋CD)．21世纪教育网版权所有
(第7题)
(第7题)
证明：如图，连结BD，取BD的中点M，连结ME和MF.
∵M、E分别是BD、AD的中点，
∴ME是△ABD的中位线．
∴ME＝AB.
同理，MF＝CD.
在△MEF中，ME＋MF>EF，
∴AB＋CD＝(AB＋CD)>EF，
即EF<(AB＋CD)．
三、堂课变式
A组 夯实基础
三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为( )
A．6.5 cm B．24 C．26 cm D．52 cm
如图是某城市部分街道的示意图，AF∥BC，EC⊥BC，AB∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假定两车的速度相同，那么( )先到达F站．
A. 两人同时到达F站 B. 甲 C. 乙 D. 无法判断
如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．求证：AC=BD．
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，求证：AE⊥EB．21*cnjy*com
如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，
F是CB的中点．求证：BD=2EF．
B组 能力提高
如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5.延长AB到点D，使BD＝AB.求CD的长．
如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，F是AD的中点，BF的延长线交AC于点E.求证：AE＝CE·
如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长． www.21-cn-jy.com
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，
求四边形DEFG的周长.
证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线
求证：
（用至少两种方法求解）
已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME． 2·1·c·n·j·y21·世纪*教育网
（1）如图，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
C组 培优精英
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么．
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
（3）在（2）的条件下，若EF=2，求四边形ABCD的面积．
如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且 BD是△ABC的角平分线．求证：BE=AF．
四、课后巩固
A组 夯实基础
如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BC＝3，EF∥BC，EF的长为_______-
如图，已知△ABC的周长为a，A1B1，B1C1，A1C1是△ABC的三条中位线，它们构成了△A1B1C1，△A2B2C2是由△A1B1C1的三条中位线A2B2，B2C2，A2C2构成的……如此进行下去，得到△AnBnCn，则△A1B1C1的周长为____，△A2B2C2的周长为____，△A3B3C3的周长为____，△AnBnCn的周长为___．21教育网
如图，在 ABCD中，AD＝8 cm，点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于____cm.
如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=321世纪教育网版权所有
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高．求证：∠EDG=∠EFG．
B组 能力提高
ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD与点D，求证：DE=（BC﹣AC）．
我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）请证明你的结论．
如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
如图，已知四边形ABCD，AB∥DC，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于E且S△DCE=S△FBE．
（1）求证：△DCE≌△FBE；
（2）若BE是△ADF的中位线，且BE+FB=6厘米，求DC+AD+AB的长．
如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．
求证：AC=BD．
如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．www.21-cn-jy.com
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．
如图，在四边形ABCD中，BC、AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF=4，求AB2+CD2的值．
如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：EF=DG且EF∥DG．
C组 培优精英
如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．2-1-c-n-j-y
（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；
（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；
（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是 ．
如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．
求证：（1）ED∥BC；
（2）．
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第11讲 三角形的中位线
一、知识回顾
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的 ( http: / / www.21cnjy.com )，每个小三角形的面积为原三角形面积的 ( http: / / www.21cnjy.com ).
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
二、经典例题
考点一、利用三角形的中位线求线段长度或角的度数
例1. 在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
答案:B
例2. 如图，四边形ABCD中，AD＝BC，F、 ( http: / / www.21cnjy.com )E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝60°，则∠FEG＝________．
答案:20°
考点二、利用三角形的中位线证线段的位置关系
例3. 如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE＝BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N.求证：MN∥BC.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\PJT30.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/PJT30.tif" \* MERGEFORMAT
证明：连结EF，在 ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝BF，∴DE＝CF.
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．
∴点 M、N分别是EB和EC的中点．
∴MN是△EBC的中位线．
∴MN∥BC.
例4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，Q是MN的中点．
(1)求证：PQ⊥MN；
(2)判断△OEF的形状．
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(1)证明：如图，连结PM和PN，
∵M、P分别是边AB、BC的中点，
∴PM是△BAC的中位线．
∴PM∥AC，PM＝AC.
同理，PN∥BD，PN＝BD.
∵AC＝BD，∴PM＝PN.
∵Q是MN的中点，∴PQ⊥MN.
(2)解：△OEF是等腰三角形．
∵PM∥AC，PN∥BD，∴∠OFE＝∠PMN，
∠OEF＝∠PNM.
∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，
∴∠OFE＝∠OEF.
∴△OEF是等腰三角形．
(第4题)
考点三、利用三角形的中位线证线段的倍分关系
例5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点，求证：CD＝2CE.
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\PJT32.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/PJT32.tif" \* MERGEFORMAT (第5题)
(第5题)
证明：如图，取CD的中点F，连结BF，则CD＝2CF.
∵AB＝BD，∴BF是△ADC的一条中位线，∴BF∥AC，BF＝AC.∴∠2＝∠ACB.
∵AB＝AC，∴∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠2.
∵E是AB的中点，∴BE＝AB，
∵BF＝AC，且AB＝AC，∴BE＝BF.
在△BCE和△BCF中，
，∴△BCE≌△BCF(SAS)，
∴CE＝CF.∵CD＝2CF，∴CD＝2CE.
考点四、利用三角形的中位线证线段的和差关系
例6. 如图，在△ABC中，AC>AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD交AD的延长线于F，求证：MF＝(AC－AB)．21·cn·jy·com
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\PJT33.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/PJT33.tif" \* MERGEFORMAT (第6题)
(第6题)
证明：如图，延长AB、CF交于点E.
∵CF⊥AF，
∴∠AFE＝∠AFC＝90°.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2.
在△AEF和△ACF中，
∴△AEF≌△ACF(ASA)．
∴AE＝AC，EF＝CF.
又∵M为BC的中点，
∴MF为△BEC的中位线．
∴MF＝BE＝(AE－AB)＝(AC－AB)．
考点五、利用三角形的中位线证线段的不等关系
例7. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB≠CD，E、F分别是AD、BC的中点．求证：EF<(AB＋CD)．21世纪教育网版权所有
INCLUDEPICTURE "F:\\00\\数学\\dzd8数下zj\\PJT34.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../../../../../八下zj课件制作资料/word/典中点8数下zj/PJT34.tif" \* MERGEFORMAT (第7题)
(第7题)
证明：如图，连结BD，取BD的中点M，连结ME和MF.
∵M、E分别是BD、AD的中点，
∴ME是△ABD的中位线．
∴ME＝AB.
同理，MF＝CD.
在△MEF中，ME＋MF>EF，
∴AB＋CD＝(AB＋CD)>EF，
即EF<(AB＋CD)．
三、堂课变式
A组 夯实基础
1. 三角形的三条中位线的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，则原三角形的周长为( )
A．6.5 cm B．24 cm C．26 cm D．52 cm
【解析】2×（3+4+5）=24
2. 如图是某城市部分街道的示意图，AF∥BC， ( http: / / www.21cnjy.com )EC⊥BC，AB∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假定两车的速度相同，那么( )先到达F站．21世
A. 两人同时到达F站B. 甲 C. 乙D. 无法判断
【解析】两人同时到达F站．理由如下：
连结BE，交AF于点G.
∵AB∥DE，BD∥AE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴EG＝BG，AB＝DE，BD＝AE.①
又∵GF∥BC，∴EF＝CF.②
又∵BC⊥EC，∴GF⊥EC，
∴CD＝DE.
∵AB＝DE，∴AB＝CD.③
由①②③可知，
AB＋AE＋EF＝BD＋CD＋CF，
∴两人同时到达F站．
3. 如图，在四边形ABCD中，R，P ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( )
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长与点P的位置有关
【解析】连结AR，可证EF＝AR.
4. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．求证：AC=BD．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】证明：取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，
则EH∥AC，EH= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，HF∥BD，FH= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∵OM=ON，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1=∠2，
同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，∴∠4=∠EFH，∴EH=HF，
∵EH= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，FH= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，∴AC=BD．
5. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )．以BC为底作等腰直角△BCD，E是CD的中点，求证：AE⊥EB．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】证明：过E作EF∥BC交BD于F．
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=135°，∠DFE=∠DBC=45°，∴∠EFB=135°．
又EF= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，EF∥BC，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，∴EF=AC，CE=FB．
∴△EFB≌△ACE．∴∠CEA=∠DBE．
又∵∠DBE+∠DEB=90°，∴∠DEB+∠CEA=90°．故∠AEB=90°．∴AE⊥EB．
6. 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，
F是CB的中点．求证：BD=2EF．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且 AE⊥CD，
所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：
E为CD的中点，又因为F是CB的中点，
所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，
因此EF= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，即BD=2EF．
B组 能力提高
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，中线CE＝5.延长AB到点D，使BD＝AB.求CD的长．
【解】 取AC的中点F，连结BF.
∵AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，∴AE＝AF.21世纪教育网
又∵∠A＝∠A，
∴△ABF≌△ACE(SAS)．21世纪教育网
∴BF＝CE.
∵BD＝AB，AF＝CF，
∴BF是△ACD的中位线，
∴CD＝2BF.∴CD＝2CE＝10.
8. 如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，F是AD的中点，BF的延长线交AC于点E.求证：AE＝CE.21·cn·jy·com2·1·c·n·j·y
取BE的中点G，连结DG.
∵D，G分别是BC，BE的中点，
∴DG是△BCE的中位线，
∴DG∥AC，DG＝CE.
∴∠FAE＝∠FDG，∠AEF＝∠DGF.
∵F是AD的中点，∴AF＝DF.
∴△AEF≌△DGF(AAS)．∴AE＝DG.
∴AE＝CE.
9. 如图，在△ABC中，已知AB=6，AC=1 ( http: / / www.21cnjy.com )0，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，E为BC中点．求DE的长． www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
延长BD交AC于点F．
∵∠BAD=∠FAD，AD=AD，∠ADB=∠ADF=90°．
∴△ABD≌△AFD，
∴AB=AF=6，BD=DF．
又∵E为BC中点，21世纪教育网
∴DE=FC=（AC-AF）=（10-6）=2．
10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，
求四边形DEFG的周长.
∵AB=BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4.
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=6.
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=9，EF=AB=6.
∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.
11. 证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线
求证：
（用至少两种方法求解）
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF
∵DE=EF,AE=EC, ∠AED= ∠CEF
∴⊿ADE≌⊿CFE
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
∴AB∥CF
又∵BD=AD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形
证法2：
延长DE到点F，使EF=DE， 连结AF、CF、CD
∵AE=EC∴DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥=FC
又D为AB中点，∴DB∥=FC
所以，四边形BCFD是平行四边形
证发3：
如图，过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G
∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF
∴△AEG≌△CEF ∴AG=FC，GE=EF
又∵AB∥GF，AG∥BF
∴四边形ABFG是平行四边形
∴BF=AG=FC，AB=GF
又∵D为AB中点，E为GF中点，
∴DB∥=EF
∴四边形DBFE是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
12. 已知两个共一个顶点的等腰R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME． 2·1·c·n·j·y21·世纪*教育网
（1）如图，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（1）证法一：
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
（2）∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME= ( http: / / www.21cnjy.com )BE= ( http: / / www.21cnjy.com )a；
C组 培优精英
13. 如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么．
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
（3）在（2）的条件下，若EF=2，求四边形ABCD的面积．
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【解答】解：（1）连接四边形的对角线，
∵E是AB的中点，H是AD的中点，
∴EH∥BD，EH= ( http: / / www.21cnjy.com )BD
∵F是BC的中点，G是CD的中点
∴GF∥BD，GF= ( http: / / www.21cnjy.com )BD
∴GF ( http: / / www.21cnjy.com )EH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）若加AC=BD且AC⊥BD，则四边形EFGH会是正方形
在（1）的条件下，∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形
（3）在（2）的条件下若EF=2，则AC=BD=4且BD⊥AC，若四边形对角线垂直的话，四边形的面积可以是对角线乘积的一半．21教育网
则 ( http: / / www.21cnjy.com )×4×4=8．
故四边形ABCD的面积为8．
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14. 如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且 BD是△ABC的角平分线．求证：BE=AF．
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【解答】证明：连接DE，
∵点D、E、F分别是AC、BC、AB中点．
∴DE∥AB，EF∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF．
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四、课后巩固
A组 夯实基础
1. 如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，BC＝3，EF∥BC，EF的长为_______-
【解析】延长CE交AB于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠EBC＝∠GBE＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.
∴∠EBC＋∠ECB＝90°.
∴∠BEC＝∠BEG＝90°.
∵∠GBE＝∠EBC，BE＝BE，∠BEG＝∠BEC，
∴△BEG≌△BEC(ASA)．∴GE＝CE.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠EBC.
∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.
∵∠FBE＋∠BGE＝90°，∠FEB＋∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠BGE，
∴FG＝FE.∴FG＝FB.
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BC＝1.5.
2. 如图，已知△ABC的周长为a，A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )，B1C1，A1C1是△ABC的三条中位线，它们构成了△A1B1C1，△A2B2C2是由△A1B1C1的三条中位线A2B2，B2C2，A2C2构成的……如此进行下去，得到△AnBnCn，则△A1B1C1的周长为____，△A2B2C2的周长为____，△A3B3C3的周长为____，△AnBnCn的周长为___．21教育网【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】 根据中位线定理可知，△A1B1C1的周长为，△A2B2C2的周长为·＝……△AnBnCn的周长为. 21教育名师原创作品
3. 如图，在 ABCD中，AD＝8 cm， ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )点E，F分别从点A，B同时出发，沿AD，BC方向以相同的速度运动(分别运动到点D，C即停止)，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H. 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于____cm.21cnjy.com【出处：21教育名师】
【解析】提示：连结EF，证AG＝FG，FH＝DH.
4. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
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【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．
5. 如图，M是△ABC ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=321世纪教育网版权所有21cnjy.com
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
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【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．
（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，
又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，
6. 已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高．求证：∠EDG=∠EFG．21教育网21*cnjy*com
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【解答】证明：连接EG，
∵E、F、G分别是AB、BC、CA的中点，∴EF为△ABC的中位线，EF= ( http: / / www.21cnjy.com )AC．
（三角形的中位线等于第三边的一半）
又∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，DG为直角△ADC斜边上的中线，
∴DG= ( http: / / www.21cnjy.com )AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴DG=EF．
同理DE=FG，EG=GE，∴△EFG≌△GDE（SSS）．∴∠EDG=∠EFG．
B组 能力提高
7. ABC中E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD与点D，求证：DE= ( http: / / www.21cnjy.com )（BC﹣AC）． ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：延长AD交BC于F，说明AC=CF，DE是△ABF的中位线．
∵CD平分∠ACB，AD⊥CD，
∴∠ACD=∠BCD，CD是公共边，∠ADC=∠FDC=90°，
∴△ADC≌△FDC（ASA）
∴AC=CF，AD=FD
又∵△ABC中E是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BF= ( http: / / www.21cnjy.com )（BC﹣CF）= ( http: / / www.21cnjy.com )（BC﹣AC）．
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8. 我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH．
（1）这个中点四边形EFGH的形状是 ；
（2）请证明你的结论．
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【解答】解：（1）平行四边形．
（2）证明：连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，
同理HG∥AC，HG= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
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9. 如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．
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【解答】解：△PMN是等腰三角形．
理由如下：
∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，
∴PM= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
同理：PN= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形．
10. 如图，已知四边形ABCD，AB∥DC，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于E且S△DCE=S△FBE．
（1）求证：△DCE≌△FBE；
（2）若BE是△ADF的中位线，且BE+FB=6厘米，求DC+AD+AB的长．
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【解答】解：（1）∵AB∥DC，
∴∠DCE=∠FBE，∠CDE=∠EFB．
∴△DCE∽△FBE．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵S△DCE=S△FBE，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴DC=FB．
∴△DCE≌△FBE．
（2）∵BE是△ADF的中位线，
∴BE∥AD，AD=2BE，AB=FB．
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD．
∵BE+FB=6，
∴DC+AD+AB=AB+2BE+AB=2（BE+FB）=12（厘米）．
11. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．【来源：21·世纪·教育·网】
求证：AC=BD．
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【解答】证明：
取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，
则EH∥AC，EH= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，HF∥BD，FH= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∵OM=ON，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠3=∠1=∠2，
同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，
∴∠4=∠EFH，
∴EH=HF，
∵EH= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，FH= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，
∴AC=BD．
12. 如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．www.21-cn-jy.com
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．
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【解答】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG．
∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
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∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MN∥BD，MN= ( http: / / www.21cnjy.com )．
同理：GF∥BD，GF= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH= ( http: / / www.21cnjy.com )=3， ( http: / / www.21cnjy.com )，
由（1）可知：∠FGH=90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM=90°．
∴GM= ( http: / / www.21cnjy.com )=5．
13. 如图，在四边形ABCD中，BC、AD不 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，且∠BAD+∠ADC=270°，E、F分别是AD、BC的中点，已知EF=4，求AB2+CD2的值．
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【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM并延长交BC于N，连接FM，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM∥AB，FM∥CD，EM= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，FM= ( http: / / www.21cnjy.com )CD，
∴∠MNF=∠ABC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，即∠NMF=90°，
由勾股定理得，ME2+MF2=EF2=16，
∴AB2+CD2=（2ME）2+（2MF）2=64．
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14. 如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：EF=DG且EF∥DG．
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【解答】证明：∵BD、CE是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
同理：GF∥BC，GF= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∴GF=DE，GF∥DE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF=DG，EF∥DG．
C组 培优精英
15. 如图1，BD、CE分别是△ABC的 ( http: / / www.21cnjy.com )外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．2-1-c-n-j-y
（1）试说明：FG= ( http: / / www.21cnjy.com )（AB+BC+AC）；
（2）如图2，若BD、CE分别是△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；
（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是 ．
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【解答】解：（1）∵BD⊥AF，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
在△ABF和△MBF中
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB
∴AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG，
∴FG是△AMN的中位线
∴FG= ( http: / / www.21cnjy.com )MN，
= ( http: / / www.21cnjy.com )（MB+BC+CN），
= ( http: / / www.21cnjy.com )（AB+BC+AC）．
（2）图（2）中，FG= ( http: / / www.21cnjy.com )（AB+AC﹣BC）
解：如图（2），
延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB，AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG
∴FG= ( http: / / www.21cnjy.com )MN，
= ( http: / / www.21cnjy.com )（BM+CN﹣BC），
= ( http: / / www.21cnjy.com )（AB+AC﹣BC），
答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG= ( http: / / www.21cnjy.com )（AB+AC﹣BC）．
（3）解：FG= ( http: / / www.21cnjy.com )（AC+BC﹣AB），
理由是：∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB=AB，AF=MF，
同理：CN=AC，AG=NG
∴FG= ( http: / / www.21cnjy.com )MN，
= ( http: / / www.21cnjy.com )（CN+BC﹣BM），
= ( http: / / www.21cnjy.com )（AC+BC﹣AB）．
故答案为：FG= ( http: / / www.21cnjy.com )（AC+BC﹣AB）．
16. 如图△ABC中，过点A分别作∠ABC、∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE，D，E为垂足．
求证：（1）ED∥BC；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )．
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【解答】证明：（1）分别延长AD、AE与直线BC交于点F、G，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵BD=BD，∠ABD=∠FBD，
∴△ABD≌△FBD
∴AD=FD，
同理可得AE=EG，
∴DE∥BC；
（2）由（1）知△ABD≌△FBD，
∴AB=BF，
同理AC=CG，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴GF=FB+BC+GC=AB+BC+AC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
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