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第12讲 平行四边形综合测试
一、知识回顾
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
二、平行四边形综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下面四个手机应用图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称
B．平行四边形的对边关于对角线交点对称
C．线段、矩形、平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形
D．关于中心对称的两个图形，对应线段平行且相等
4．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．钝角三角形 D．长方形
5．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时第一步应先假设（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．至多有一个内角大于60°
C．每一个内角小于或等于60°
D．至多有一个内角大于或等于60°
6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上．DE∥BC，DE=BC，连结DF、EF．添加下列条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等的是（ ）
A．EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DEF
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AC、BC的中点，则DE的长是（ ）
A．2 B． C． D．0.5
8．凸八边形共有对角线的条数是（ ）
A．20 B．40 C．28 D．56
9．下列说法中错误的是（ ）
A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
10．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）21cnjy.com
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二．填空题（共6小题）
11．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 ．
12．如图，平面直角坐标系中， OABC的顶点A坐标为（6，0），C点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分 OABC的周长，则m的值为 ．
13．中心对称图形的旋转角是 ．
14．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是 ．
15．已知A（2，0）、B（0，4），则线段AB的对称中心为 ．
16．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
三．解答题（共14小题）
17．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
18．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
19．如图．AF∥ED∥BC，AB∥EF∥DC，用一条直线平分图面积．简单描述作法．
20．如图，在矩形中挖去一个正方形．并用无刻度的直尺（即直尺只具有连线的功能），准确作出直线l，将剩下图形的面积平分．（保留作图痕迹）
21．如图，O是 ABCD的对称中心，这个图形是不是中心对称图形？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使它成为中心对称图形．
22．如图，两个任意四边形中心对称，请找出它们的对称中心．
23．指出下列图形哪些是中心对称图形？并写出每个图形的旋转角．（最小旋转角度）
24．如图，三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析，
（1）请你计算十边形的对角线有多少条？．
（2）你能总结出n边形的对角线有多少条吗？（用含n的代数式表示）
25．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b=0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．
26．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求的值．
27．点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
（1）如图1，点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点，求证：DEFG是平行四边形；
（2）如图2，若BE交DC于点O，请问AO的延长线经过BC的中点吗？为什么？
28．如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角．
29．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
30．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．
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第12讲 平行四边形综合测试
一、知识回顾
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积： ( http: / / www.21cnjy.com )
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
二、平行四边形综合测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下面四个手机应用图标是中心对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：A、是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：A．
2．观察下列图形，是中心对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
3．下列说法错误的是（ ）
A．平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称
B．平行四边形的对边关于对角线交点对称
C．线段、矩形、平行四边形既是轴对称图形，也是中心对称图形
D．关于中心对称的两个图形，对应线段平行且相等
【解答】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称，A正确；
平行四边形是中心对称图形，平行四边形的对边关于对角线交点对称，B正确；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，C错误；
关于中心对称的两个图形，对应线段平行且相等，D正确．
故选：C．
4．下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．钝角三角形 D．长方形
【解答】解：具有稳定性的是钝角三角形．
故选：C．
5．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时第一步应先假设（ ）
A．每一个内角都大于60°
B．至多有一个内角大于60°
C．每一个内角小于或等于60°
D．至多有一个内角大于或等于60°
【解答】解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步应先假设每一个内角都大于60°，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上．DE∥BC，DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，连结DF、EF．添加下列条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DEF
【解答】解：∵DE∥BC，DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∴D、E分别是AB、AC的中点，
当EF∥AB时，EF=BD，DE=BF，DF=DF，
可以判断△BFD与△EDF全等，A不符合题意；
当BF=CF时，EF=BD，DE=BF，DF=DF，
可以判断△BFD与△EDF全等，B不符合题意；
当∠A=∠DFE时，无法判定△BFD与△EDF全等，C符合题意；
当∠B=∠DEF时，由∠EDF=∠DFB，DF=F，
可以判断△BFD与△EDF全等，D不符合题意，
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AC、BC的中点，则DE的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．0.5
【解答】解：∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=5，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：B．
8．凸八边形共有对角线的条数是（ ）
A．20 B．40 C．28 D．56
【解答】解： ( http: / / www.21cnjy.com )×8×（8﹣3）
= ( http: / / www.21cnjy.com )×8×5
=20．
答：凸八边形共有对角线的条数是20．
故选：A．
9．下列说法中错误的是（ ）
A．成中心对称的两个图形全等
B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分
C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心
D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合
【解答】解：在平面内，把一个图形绕着某个 ( http: / / www.21cnjy.com )点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称中心对称，中心对称图形的对称中心是对称点连线的交点，根据中心对称图形的定义和性质可知A、C、D正确，B错误．
故选：B．
10．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被 ( http: / / www.21cnjy.com )分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解答】解：如图1， ( http: / / www.21cnjy.com )，
设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，
则l=2（a+2b+c），
根据图示，可得
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）﹣（2），可得：a﹣b=b﹣c，
∴2b=a+c，
∴l=2（a+2b+c）=2×2（a+c）=4（a+c），或l=2（a+2b+c）=2×4b=8b，
∴2（a+c）= ( http: / / www.21cnjy.com )，4b= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b， ( http: / / www.21cnjy.com )的值一定，
∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．
∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．我们给出如下定义：若一个四边形的两条 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 ．
【解答】解：矩形、正方形的两条对角线相等．
故答案为：矩形、正方形．答案不唯一．
12．如图，平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中， OABC的顶点A坐标为（6，0），C点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分 OABC的周长，则m的值为 ．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：连结CA、OB交于点G，
则点G的坐标为（4，1），
∵直线y=mx+2平分 OABC的周长，
∴直线y=mx+2经过点G，
则1=4m+2，
解得m=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为：﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．中心对称图形的旋转角是 ．
【解答】解：中心对称图形的旋转角是180°，
故答案为：180°．
14．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则AC的长是 ．www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：在△ANB和△ANH中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ANB≌△ANH，
∴AH=AB=10，BN=NH，
∵M是△ABC的边BC的中点，BN=NH，
∴HC=2MN=6，
∴AC=AH+HC=16，
故答案为：16．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．已知A（2，0）、B（0，4），则线段AB的对称中心为 （1，2） ．
【解答】解：设线段AB的中点为点C，
则点C是线段AB的对称中心，
( http: / / www.21cnjy.com )=1， ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
∴点C的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
( http: / / www.21cnjy.com )
16．在证明命题“一个三角形中至少有一 ( http: / / www.21cnjy.com )个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设 三角形的三个内角都大于60° ，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．www.21-cn-jy.com
【解答】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于60°．
故答案为：三角形的三个内角都大于60°．
三．解答题（共14小题）
17．如图所示，要使一个六边形木架 ( http: / / www.21cnjy.com )在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；
要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n﹣3）根木条．
18．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2） 180°=5×360°，
解得n=12，
所以，这个多边形是十二边形．
19．如图．AF∥ED∥BC，AB∥EF∥DC，用一条直线平分图面积．简单描述作法．
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【解答】解：延长DE交AB于G，
连接AE、FG交于点P，连接BD、CG交于点H，
作直线PH，
则直线PH即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．如图，在矩形中挖去一个正方形．并用无刻度的直尺（即直尺只具有连线的功能），准确作出直线l，将剩下图形的面积平分．（保留作图痕迹）2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图直线l即为所求．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．如图，O是 ABCD的对称中 ( http: / / www.21cnjy.com )心，这个图形是不是中心对称图形？如果认为是，请说明理由；如果认为不是，在原图上添加一些线，使它成为中心对称图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：这个图形不是中心对称图形，
因为把这个图形绕某一点旋转180°后不能够与自身重合，所以这个图形不是中心对称图形；
如图：是一个中心对称图形．
( http: / / www.21cnjy.com )
22．如图，两个任意四边形中心对称，请找出它们的对称中心．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：如图，点O为对称中心．
( http: / / www.21cnjy.com )
23．指出下列图形哪些是中心对称图形？并写出每个图形的旋转角．（最小旋转角度）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）（2）（3）（7）（8）是中心对称图形；
旋转角分别为：60°，60°，60°，120°，120°，120°60°．
24．如图，三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析，21·世纪*教育网
（1）请你计算十边形的对角线有多少条？．
（2）你能总结出n边形的对角线有多少条吗？（用含n的代数式表示）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：（1）十边形的对角线有： ( http: / / www.21cnjy.com )=5×7=35（条）．
答：十边形的对角线有35条；
（2）n边形的对角线有 ( http: / / www.21cnjy.com )条．
25．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．2-1-c-n-j-y
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b=0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．21*cnjy*com
【解答】证明：假设x1=x2，
则方程x2﹣2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，
∴△=4a2b2﹣8a﹣8b=4a2b2﹣4（2a+2b）=0，
则a2b2=2a+2b，a2b2=2（a+b）．
∵a、b是正整数，
∴2（a+b）是偶数，
∴a2b2也是偶数，
又∵a、b为正整数，
∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．
∴a2b2是4的倍数．
∴a+b是2的倍数．
∵a是2的倍数，a2b2=2（a+b），
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=a+b， ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵a、b是偶数，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )位正偶数，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )为正整数．
又∵a、b位偶数，
∴a=b=2，
此时，a2b2=16，而2（a+b）=8，
a2b2≠2（a+b）与事实不符．
∴△≠0，即x1≠x2．
26．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，点F是BE延长线与AC的交点，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值．
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【解答】解：作DH∥AC交BF于点H，
∵DH∥AC，点E是AD的中点，
∴DH=AF，
∵DH∥AC，AD是△ABC的中线，
∴DH= ( http: / / www.21cnjy.com )FC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
27．点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．
（1）如图1，点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点，求证：DEFG是平行四边形；
（2）如图2，若BE交DC于点O，请问AO的延长线经过BC的中点吗？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】（1）证明：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC=2DE，
同理：GF∥BC，BC=2GF，
∴DE∥GF，DE=GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：AO的延长线经过BC的中点；理由如下：
∵BE、CD是△ABC的中线，BE交DC于点O，三角形的三条中线相交于一点，
∴AO的延长线经过BC的中点．
28．如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角．
( http: / / www.21cnjy.com )
【解答】解：对称点为：A和D、B和E、C和F；
相等的线段有AC=DF、AB=DE、BC=EF；
相等的角有：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．
29．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求对称中心的坐标．
（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
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【解答】解：（1）根据对称中心的性质，可得
对称中心的坐标是D1D的中点，
∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），
∴对称中心的坐标是（0，2.5）．
（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，
∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），
∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），
∴A1的坐标是（0，1），
∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），
综上，可得
顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．
30．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：BD=2EF．21世纪教育网版权所有
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【解答】证明：在△ACD中，因为AD=AC 且 AE⊥CD，
所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：
E为CD的中点，又因为F是CB的中点，
所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，
因此EF= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，即BD=2EF．
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