2.1 一元二次方程同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
2.1一元二次方程同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 一元二次方程
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2. 一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
3. 一元二次方程的解
（ 1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax1 2+bx1+c=0（a≠0），ax2 2+bx2+c=0（a≠0）．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2．把方程x（x+2）=5化成一般式，则a，b，c的值分别是（　　）
A. 1，2，﹣5 B. 1，2，﹣10 C. 1，2，5 D. 1，3，2
3．方程(x＋1)(x－2)＝0的根是(　　)
A. x＝－1 B. x＝2 C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝－1，x2＝2
4．若px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则 （ ）
A. p＝1 B. p＞0 C. p≠0 D. p为任意实数
5．方程2(+3)( -4)= 2-10化成一般形式a2+b+c=0后，a+b+c的值为（ ）
A. 15 B. 17 C. -11 D. -15
6．关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为（ ）
A. B. C. 0 D. －2
二、填空题
7．把一元二次方程(x 3)2=5化为一般形式为___，二次项为___，一次项系数为___，常数项为___.
8．若a为一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根，﹣a为一元二次方程x2+3x﹣m=0的一个根，则a的值为　　．
9．关于x的一元二次方程x2+x-1+m2=0有一个根为0，则m的值为_______.
10．已知a是方程x2﹣3x﹣1=0的根， =_____．
三、解答题
11．若（m+1）+6-2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．
12．试证：不论k取何实数，关于x的方程 (k2 -6k +12)x2 = 3 - (k2 -9)x必是一元二次方程.
13．已知是关于x的方程的一个根，求的值．
14．有这样的题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：
(1)下面式子中是方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)
①x2－x－2＝0，②－ x2＋x＋2＝0，③x2－2x＝4，④－x2＋2x＋4＝0，⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？
15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
参考答案
1．B
【解析】试题解析：A.化简后不含二次项.不是一元二次方程.
B. 是一元二次方程.
C.含有分式.不是一元二次方程.
D.含有两个未知数. 不是一元二次方程.
故选B.
点睛：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
2．A
【解析】试题解析：方程整理得：x2+2x-5=0，
则a，b，c的值分别是1，2，-5，
故选A
3．D
【解析】(x＋1)(x－2)＝0,解得
,所以选D.
4．C
【解析】试题分析：∵方程px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，
∴二次项系数P≠0．
故选C．
5．D
【解析】2(x+3)(x 4)=x2 10化成一般形式，
∴x2 2x 14=0，
∴a=1，b= 2，c= 14，
∴a+b+c= 15
故选：D
6．D
【解析】 把x=2代入得
4-2(k+1)-6=0,
解之得
k=-2.
故选D
7． x2 6x+4=0 x2 6 4
【解析】（x－3）2=5，x2－6x+9=5，x2－6x+4=0；二次项为x2；一次项为－6x，所以一次项系数为－6；常数项为4.
故答案为(1)x2 6x+4=0；(2) x2 ；(3) 6 ；(4) 4.
点睛：判断一元二次方程的项或者系数时首先要将方程化为一般式，然后再进行判断.
8．3或0
【解析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把a和﹣a分别代入这两个方程，然后得到两个新的方程，解此方程即可得到a的值．
【解析】
把a和﹣a分别代入一元二次方程x2﹣3x+m=0和一元二次方程x2+3x﹣m=0，得到两个新的方程a2﹣3a+m=0①和a2﹣3a﹣m=0②，把①②相加得到2a2﹣6a=0，所以a=3或a=0．
9．±1
【解析】解：由题意得： ，解得：m=±1．故答案为：±1．
10．
【解析】∵a是方程x2﹣3x﹣1=0的根，
∴a2﹣3a﹣1=0，
∴a2=3a+1，
∴==．
故答案为：．
11．m=1
【解析】【试题分析】根据一元二次方程的定义，要求未知数的次数最高为二次，且二次项的系数不为0，即，解得m=1．
【试题解析】
因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．
所以得到，
解得m=1．
【方法点睛】本题目考查一元二次方程的基本定义，要求未知数的最高次项为2次项，且二次项的系数不为0，这两点是解决问题的关键.
12．见解析
【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
试题解析：∵k2-6k+12=（k-3）2+3＞0，
且未知数的最高次数是2；是整式方程；含有一个未知数，
∴不论k取何实数，关于x的方程(k2－6k＋12)x2＝3－(k2－9)x必是一元二次方程．
13．1.
【解析】试题分析：
把代入方程中，即可得到关于的方程，变形即可求得所求代数式的值.
试题解析：
∵是关于x的方程的一个根，
∴.
∴.
∴.
14．(1) ①②④⑤;(2)见解析
【解析】试题分析：（1）把方程通过移项或根据等式的性质两边同乘以-1，-2，2 即可变形得到正确选项；
（2）通过观察可找到的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有的关系是，二次项系数：一次项系数：常数项=1：（-2）：（-4）．
试题解析：（1）x2－x＝2，移项得： x2－x-2=0，所以①是一般形式，①两边同乘-1，得：－x2＋x＋2＝0，故②是一般形式，③不是一般形式，①两边同乘-2得：－x2＋2x＋4＝0，故④是一般形式，①两边同乘2得： x2－2x－4＝0，故⑤是一般形式，
故答案为：①②④⑤；
（2） 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4).
【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
15．（1）m≠±1；（2）m=﹣1；（3）m=．
【解析】【试题分析】（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2，化为一般式得： ，
（1）根据一元二次方程的定义，要求二次项系数不能为0，即 ，解得m≠±1；
（2）根据一元一次方程的定义，要求二次项不存在，即二次项系数为0，且一次项系数不为0，即 ，解得：m=﹣1；
（3）根据方程的根的定义将x=﹣2代入 ，得： ， 解得：m1= ，m2=﹣1，又因为，所以m=．
【试题解析】
原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4=0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时，是一元一次方程；
（3）x=﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，
解得，m1=，m2=﹣1（舍去）．即m=．
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)