2.2 一元二次方程的解法（2）同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
2.2一元二次方程的解法（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1.直接开平方：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2. 配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．一元二次方程(x＋6)2－9＝0的根是( )
A. x1＝6，x2＝－6 B. x1＝x2＝－6 C. x1＝－3，x2＝－9 D. x1＝3，x2＝－9
2．能用直接开平方法求解的方程是( )
A. x2+3x+1=0 B. x2-2x+3=0 C. x2+x-1=0 D. x2-4=0
3．一元二次方程x2﹣2=0的根为（　　）
A. x=2 B. C. x=±2 D. ，
4．用配方法将方程变形为的过程中，其中m的值正确的是（　　）
A. 17 B. 15 C. 9 D. 7
5．若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )
A. 1 B. 4 C. D.
6．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 12或14
7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0化为（x+a）2=b的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
8．若，那么p、q的值分别是（ ）
A. p=4，q=2 B. p=4，q=－2 C. p=－4，q=2 D. p=－4，q=－2
9．代数式-4x+5的最小值是（　　）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 5
二、填空题
10．若代数式3x2＋1的值等于28，则x的值为___________．
11．若2x2+3与2x2﹣4互为相反数，则x为__________．
12．若（a2+b2）2-3=0，则代数式a2+b2的值为 ______．
13．若 －＋1＝0，则＋的值是_______．
14．已知实数满足，则代数式的值为________．
15．一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是_____________.
16．已知关于实数x的代数式有最大值，则实数x的值为______时，代数式取得最大值4．
17．在实数范围内定义运算“★”，其规则为★，则方程（2★3）★=9的根为____________。
三、解答题
18．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
19．用直接开平方法解方程：
(1) 4(x－2)2－36＝0；
(2) x2＋6x＋9＝25；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
20．用配方法解下列方程：
（1）x2+2x-8=0 （2）x2+12x-15=0
（3）x2-4x=16 （4）x2=x+56
21．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，规定＝ad－bc，上述记法就叫做二阶行列式．若＝6，求x的值．
22．已知：x2+4x+y2－6y+13=0，求的值．
23．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．
小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”
（1）小静的解法是从步骤______开始出现错误的．
（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）
参考答案
1．C
【解析】(x＋6)2－9＝0，移项得(x＋6)2=9，直接开平方得x+6=±3，所以x1＝－3，x2＝－9.
故选C.
2．D
【解析】要能用直接开平方法，方程形式必须符合(x+a）2=b（b≥0），仅有D选项移项后变为x2=4，符合此形式.
故选D.
点睛：直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程.
3．D
【解析】x2﹣2=0，
移项得：x2=2，
两边开平方得：x=±，
∴x1=，x2=﹣ ，
故选D．
4．A
【解析】试题解析：
故选A.
5．D
【解析】因为x2=m，所以x=±，x是有理数，所以m不能取.
故选D.
6．C
【解析】∵ ，∴x-3=±1，解得：x=4或x=2．∵6-4＜x＜6+4，即2＜x＜10，∴x=4，故周长为：4+6+4=14．故选C．
7．C
【解析】试题解析：
故选C.
8．B
【解析】∵原式可化为：，
∴ ，解得：，
故选B.
9．B
【解析】-4x+5
=-4x+4-4+5
=+1
∵≥0，
∴+1≥1，
∴代数-4x+5的最小值为1．
故选B.
点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.
10．3或－3
【解析】根据题意得3x2＋1=28，即3x2=27，所以x=3或-3.
故答案为3或-3.
11．±
【解析】试题解析：由题意可得：
解得：
故答案为：
12．
【解析】试题解析：
又
故答案为：
13．2．
【解析】把已知条件变形后代入原式求值即可．
解： ， ， ，即，
∴原式=，故答案为：2．
14．2
【解析】∵4x2-4x+l=0，
∴(2x-1)2=0
∴2x-1=0,
∴ ,
∴2x+ =1+1=2.
15．
【解析】∵ ，
∴，
∴另一个一次方程是．
16．或-
【解析】解：∵，∴，∴ ，∴，∴，当，即时，等号成立．故答案为： ．
点睛：本题解题的关键是充分利用的变形 及当a=b时等号成立．
17．±4
【解析】根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．
解：根据新定义可以列方程：
（22-32）★x=9，
（-5）2-x2=9，
25-x2=9，
x2=16，
x1=4，x2=-4．
故答案为：x1=4，x2=-4．
“点睛”本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，一般是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根．
18．2秒.
【解析】试题分析：
把h=19.6代入到方程h＝4.9t2中求t.
试题解析：
当h＝19.6时，4.9t2＝19.6，解得t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去)，∴t＝2，
答：铁球到达地面需要2秒.
19．(1) x1＝5，x2＝－1；（2）x1＝－8，x2＝2；（3）x1＝－，x2＝－
【解析】试题分析：
（1）先移项，系数化为1后，再用直接开平方求解；
（2）左边因式分解为一个完全平方式后，再用直接开平方法求解；
（3）先移项，再用直接开平方法求解.
试题解析：
(1) 4(x－2)2－36＝0，(x－2)2=9，x-2=±3，所以x1＝5，x2＝－1；
(2) x2＋6x＋9＝25，(x+3)2=25，x+2=±5，所以x1＝－8，x2＝2；
(3) 4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0，2(3x-1)=±3(3x+1)，所以x1＝－，x2＝－.
20．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】试题分析：（1）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；
（2）常数项移到等号的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；
（3）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案；
（4）整理成一般式，常数项移到等号的右边后，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，然后开平方即可得出答案.
试题解析：（1）x2+2x-8=0，
x2+2x=8，
x2+2x+12=8+12，即(x+1)2=9，
则x+1=±3，
x= 1±3，
即；
（2）x2+12x-15=0，
x2+12x=15，
x2+12x+62=15+62，即(x+6)2=51，
则x+6=±，
x= 6±，
即；
（3）x2-4x=16，
x2-4x+22=16+22，即(x-2)2=20，
则x-2=±，
x=2±，
；
（4）x2=x+56，
x2-x+2=56+2，
（2=，
则x-=±，
x-=±+，
即.
21．x1＝，x2＝－
【解析】试题分析：
根据二阶行列式的规定列出方程，解这个方程求x的值.
试题解析：
解：由题意得(x＋1)(x＋1)－(1－x)(x－1)＝6，
整理得2x2＋2＝6，∴x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
点睛：本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，首先要能读懂题目关于二阶行列式的定义，根据这个定义列出一元二次方程，化简整理为x2=p的形式，再用直接开平方法来求解.
22．
【解析】试题分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x、y的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零的情形，从而可求得： x=－2和y=3，从而可求出后面代数式的值.
试题解析：
原方程可化为:（x+2）2+（y－3）2=0，
∴（x+2）2=0，且（y－3）2=0，
∴x=－2，且y=3，
∴．
23．⑤
【解析】试题分析：
（1）移项要变号；
（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.
试题解析：
（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，
故答案为：⑤；
（2）x2+2nx﹣8n2=0，
x2+2nx=8n2，
x2+2nx+n2=8n2+n2，
（x+n）2=9n2，
x+n=±3n，
x1=2n，x2=﹣4n．
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)