2.2 一元二次方程的解法（3）同步练习

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2.2一元二次方程的解法（3）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
（1）把（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．用公式法解方程x2-2=-3x时，a，b，c的值依次是（　　）
A. 0，-2，-3 B. 1，3，-2 C. 1，-3，-2 D. 1，-2，-3
2．用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）-4时，b2-4ac的值为（　　）
A. 52 B. 32 C. 20 D. -12
3．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是( )
A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B. ①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法
C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D. ①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法
4．方程（x-4）（x+1）=1的根为（　　）
A. x=4 B. x=-1 C. x=4或x=-1 D. 以上都不对
5．已知一元二次方程x2－x－3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是(　　)
A. －26．如图，将图甲表示的正方形纸片剪成四块，恰好拼成图乙表示的矩形.若，则 等于（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
8．写出方程x2+x-1=0的一个正根_______
9．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
10．一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是_____，当b2-4ac<0时，方程_________．
11．已知（x2+y2﹣1）（x2+y2﹣2）=4，则x2+y2的值等于_____．
12．完成下面的解题过程：
用公式法解下列方程：
（1）2x2﹣3x﹣2=0．
解：a=___，b=___，c=___．
b2﹣4ac=___=___＞0．
=____=___，
x1=__，x2=___．
（2）x（2x﹣）=x﹣3．
解：整理，得___．
a=__，b=___，c=___．
b2﹣4ac=___=___．
=_____=____，
x1=x2=__．
（3）（x﹣2）2=x﹣3．
解：整理，得______．
a=___，b=___，c=___．
b2﹣4ac=___=___＜0．
方程___实数根．
三、解答题
13．用适当的方法解下列方程：
（1）9x2-100=0 （2）x（x-1）=2（x-1）
（3）（x+2）（x+3）=20 （4）3x2-4x-1=0
14．解方程：
（1）；
（2）（用配方法）；
（3）（用公式法）；
（4）
15．关于x的一元二次方程 的一个根是0，求n的值．
16．解方程： ．
有一位同学解答如下：
这里， ， ， ,
∴,
∴ ,
∴， ．
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．
17．四人做传数游戏，甲任报一个数给乙，乙把这个数加１传给丙，丙再把所得的数平方后传给丁，丁把所听到的数减1报出答案：
（1）若甲报的数为 -9，则丁的答案是多少？
（2）若丁报出的答案是35，则甲传给乙的数是多少？
试卷第2页，总2页
试卷第2页，总2页
参考答案
1．B
【解析】解：x2+3x -2=0，∴a=1，b=3，c=-2．故选B．
2．C
【解析】解：∵（x+2）2=6（x+2）﹣4，∴x2﹣2x﹣4=0，∴a=1，b=﹣2，c=﹣4，∴b2﹣4ac=4+16=20．故选C．
点睛：此题考查了公式法解一元一次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
3．D
【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法.
所以选D.
4．D
【解析】解：（x﹣4）（x+1）=1，整理得：x2﹣3x﹣5=0，b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=9+20=29，x=，故选D．
5．A
【解析】用“公式法”解方程得： ，
∴原方程较小的根： ，
∵，
∴，
∴.
故选A.
6．B
【解析】试题解析：依题意得（x+y）2=y（y+x+y），
而x=1，
∴y2-y-1=0，
∴y=，而y不能为负，
∴y=．
故选B．
【点睛】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
7．4
【解析】解：由题意得
x2-8x+12=-4，
∴x2-8x+16=0，
∴△=(-8)2-4×1×16=0,
∴ ,
∴时，代数式x2-8x+12的值是-4.
点睛：本题考查了一元二次方程的解法，由题意得x2-8x+12=-4，化为一般式x2-8x+16=0，然后选择合适的方法求解.
8．
【解析】解：a=1，b=1，c=-1，△=1+4=5，∴x=.故正根为：x=．故答案为：x=．
9． x= b2-4ac≥0
【解析】解:由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,
移项,得ax2+bx=-c,
化系数为1,得 ,
配方,得,
即: ,
当时,
开方,得,
∴ .
因此，本题正确答案是: ,.
10． x= 无实数根
【解析】根据一元二次方程的根的判别式和求根公式，可直接得到当b2-4ac≥0时，它的根是x=，而当b2-4ac<0时，方程无实数根.
故答案为：x=；无实数根.
点睛：此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题时，注意根的判别式与根的个数的关系：当b2-4ac＞0时，有两个不相等的实数根x=，当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，无实数根，解题关键是求出根的判别式的取值范围，熟记求根公式.
11．
【解析】本题可以利用换元法进行求解,设,
原方程可以变形为: ,即,解得:
因为,所以.
12． 2, -3, -2, 9+16, 25, , , 2, -, 2x ﹣2x+3=0， 2， -2， 3， 24-24， 0， ， ， ， x ﹣5x+7=0， 1， -5， 7， 25-28， -3， 没有
【解析】(1)2x2﹣3x﹣2=0,因为a=2,b=－3,c=－2,
所以b2﹣4ac=9+16=25＞0,
==,
x1=2,x2=.
(2)x（2x﹣）=x﹣3,
先将方程整理,得,因为a=2,b=,c=3,
所以b2﹣4ac=24－24=0,所以==,
所以x1=x2=.
(3)（x﹣2）2=x﹣3,
先将方程整理,得,
因为a=1,b=,c=7,
所以b2﹣4ac=25－28=－3<0,
所以方程没有实数根.
故答案为: (1). 2, (2). -3, (3). -2, (4). 9+16, (5). 25, (6). ,
(7). , (8). 2, (9). -, (10). 2x ﹣2x+3=0， (11). 2, (12). -2,
(13). 3, (14). 24-24, (15). 0, (16). , (17). , (18). ,
(19). x ﹣5x+7=0, (20). 1, (21). -5, (22). 7, (23). 25-28, (24). -3, (25). 没有.
13．（1）x=；（2）x1=2，x2=1；（3）x1=-7，x2=2；（4）,.
【解析】试题分析：（1）把常数项移到等号右边，用直接开平方法计算；
（2）把等号右边移到等号左边把方程的右边变成0，则方程左边的二次三项式很容易分解因式，因而利用分解因式法比较简单；
（3）首先移项把方程化为一般式，方程左边的式子可以利用十字相乘法进行分解，因而利用因式分解法解决比较简单；
（4）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
试题解析：解：（1）9x2﹣100=0，9x2=100，x2=，x=±；
（2）x（x﹣1）=2（x﹣1），x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x1=2，x2=1；
（3）（x+2）（x+3）=20，x2+5x﹣14=0，（x﹣2）（x+7）=0，x1=﹣7，x2=2；
（4）3x2﹣4x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28，x==，x1=，x2=．
14．（1）x1=2，x2=-1；（2）x1=1，x2=-4；（3）x1=，x2=-（4）x1=-，x2=
【解析】试题分析：（1）运用直接开平方法；
（2）将常数项移到右边，左边运用配方法；
（3）将原方程整理为一般式，运用公式法解方程；
（4）把右边移到左边，把（5x+2）看作整体，提公因式．
试题解析：（1）方程两边开平方，得2x-1=±3，
解得x1=2，x2=-1；
（2）原方程化为x2+3x=4，
配方，得x2+3x+ =+4，即（x+）2=，
∴x+=±，
∴x1=-+=1，x2=--=-4；
（3）原方程化为3x2+10x+5=0，
∵△=102-4×3×5=40，
∴x=
∴x1=，x2=-；
（4）移项，得7x（5x+2）-6（5x+2）=0，
提公因式，得（5x+2）（7x-6）=0，
解得x1=-，x2=．
15．-3.
【解析】试题分析：把代入多给方程即可求得的值，注意检验.
试题解析：将代入所给的方程中得：
又∵当时，所给方程不是一元二次方程，
16．， ．
【解析】试题分析：本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.
试题解析：这位同学的解答有错误,错误在,而不是,并且导致以后的计算都发生相应的错误．
正确的解答是:
首先将方程化为一般形式，
∴， ， ,
∴,
∴ ,
∴， ．
17．（1）63 ；（2）5或－7
【解析】试题分析：(1) 利用运算顺序，设甲报给乙的数为x，则丁的答案为（x+1）2-1, 把x=-9直接代入计算即可;
（2）令代数式的值为35，然后解关于x的一元二次方程求出x即可．
试题解析：
(1) 设甲报给乙的数为x，则丁的答案为（x+1）2-1，
当x=-9时，（x+1）2-1=（-9+1）2-1=64-1=63，
∴丁的答案是63．
(2) 当（x+1）2-1=35，解得x=5或-7，
所以甲传给乙的数是5或-7．
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