2. 3 一元二次方程的应用（2）同步练习

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2.3一元二次方程的应用（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1.用一元二次方程解决实际问题的关键是理 ( http: / / www.21cnjy.com )清题目中隐含的数量关系,根据所设的未知数列相应量的代数式,最后根据等量关系列方程.对于一元二次方程的应用要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 2·1·c·n·j·y
2.（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（3）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，B ( http: / / www.21cnjy.com )C＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　　)
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A. 2x·x＝24 B. (10－2x)(8－x)＝24
C. (10－x)(8－2x)＝24 D. (10－2x)(8－x)＝48
2．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
A. 24 B. 24或8 C. 48 D. 8
3．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有( )名学生．
A. 12 B. 12或66 C. 15 D. 33
4．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )
A. a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4 B. a2+(a+4)2=10a+a-4-4
C. a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4 D. a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4
5．将一条长30的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形，要使这两个正方形的面积之和等于86，现设其中一个正方形的周长为，根据题意可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
6．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2 ．若设道路的宽为 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则下面所列方程正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A. (32-x)(20-x)=32×20-570 B. 32x+2×20x=32×20-570
C. 32x+2×20x-2x2=570 D. (32-2x)(20-x)= 570
7．如图，一边靠学校院墙， ( http: / / www.21cnjy.com )其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米，则下面关系式正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A. S=x（40﹣x） B. S=x（40﹣2x） C. S=x（10﹣x） D. S=10（2x﹣20）
8．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（　　）
A. B. C. D.
9．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了行或列，则列方程得（　　）
A. (8﹣) (10﹣)=8×10﹣40 B. (8﹣)(10﹣)=8×10+40
C. (8+ )(10+ )=8×10﹣40 D. (8+ )(10+ )=8×10+40
10．已知方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，且当x=a与x=a+n时，x2+bx+c=m，则m、n的关系为（　　）
A. m=n B. m=n C. m=n2 D. m=n2
二、填空题
11．如图，学校将一面积为110m2的 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形空地一边增加4m，另一边增加5m后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为_______m2．21教育名师原创作品
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12．一个两位数等于它的两个数字积的3倍，十位上的数字比个位上的数字小2，则这个两位数是_________。
13．如图，在Rt△ABC中，∠B ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ的面积等于8 cm2.
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14．学校组织摄影比赛，小张上交的 ( http: / / www.21cnjy.com )作品如图，七寸照片（长7英寸，宽5英寸）．将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同．矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则根据题意所列方程为_____．
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15．一个三角形有两边长为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于_____．
16．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）﹡1=0的解为_____．
17．甲用1000元人民币购买了一手股票，随 ( http: / / www.21cnjy.com )即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了____元．
三、解答题
18．一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.
19．某新建火车站站前广场 ( http: / / www.21cnjy.com )有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？
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20．如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
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21．小明和同桌小聪在课后复习时，对下面的一道思考题进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子A ( http: / / www.21cnjy.com )B斜靠在竖直的墙AC上，这时点B到墙AC的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动________米．
解完【思考题】后，小聪提出了如下两个问题：
(1)在【思考题】中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
(2)在【思考题】中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
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22．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程．
解：原方程可变形，得： ．
，
，
．
直接开平方并整理，得． ， ．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得： ．
，
．
直接开平方并整理，得． ， ．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为 ， ， ， ．
（2）请用“平均数法”解方程： ．
23．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．21教育网
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
24．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 ( http: / / www.21cnjy.com / )米.
（1）花圃的面积为____（用含 ( http: / / www.21cnjy.com / )的式子表示）；
（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ( http: / / www.21cnjy.com / )，求出此时通道的宽；
（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 ( http: / / www.21cnjy.com / )（元）、 ( http: / / www.21cnjy.com / )（元）与修建面积 之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价为105920元.
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参考答案
1．D
【解析】设x秒后，螳螂走了 2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,
由题意知 (10－2x)(8－x)＝24,
(10－2x)(8－x)＝48,选D.
2．B
【解析】试题解析： (x 6)(x 10)=0，
∴x=6或x=10.
当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形，
∴高
当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形，
∴S=24或.
故选B.
3．A
【解析】由题意得，x (x-1)=132.
解得， x1=12,x2=-11(舍去).
选A.
4．C
【解析】依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(x+4)，
这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，
∵两数相差4，
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a 4.
故选：C.
点睛：本题考查了数的表示方法，要会用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解.
5．D
【解析】试题分析：设其中一个正方形的周长为，则另一个正方形的周长为(30－x)，
一个正方形的边长为，另一个正方形的周长为，
根据两个正方形的面积之和等于86可得：
．
故选D．
6．D
【解析】通过平移可将六块草坪拼为一块，可得一个大矩形，由图易得该矩形的长为(32 2x)m,宽为（20-x）m，由此根据题意可得：21·世纪*教育网
( 32 2 x ) ( 20 x ) = 570.
故选D.
7．B
【解析】AB=x米，面积为S平方米，
S=x（40﹣2x）.
故选B.
8．B
【解析】每支球队都需要与其他球队赛(x 1)场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x(x 1)=15.
故选：B.
9．D
【解析】增加了行或列，现在是行， 列，所以(8+ )(10+ )=8×10+40.
10．D
【解析】由题意得，
消去a,b,c,可得m=n2，故选D.
11．225
【解析】试题解析：设训练场的边长为x m,则原空地的长为(x 4)m,宽为(x 5)m，
依题意,得 解之，得x=15，
所以,训练场的面积为
故答案为：
12．24；
【解析】设个位数字为a，则十位上的数字 ( http: / / www.21cnjy.com )是（a-2）．则
3a（a-2）=10（a-2）+a，
整理，得
3a2-17a+20=0，即（a-4）（3a-5）=0，
解得 a1=4，a2=（不合题意，舍去），
则a-2=4-2=2，
故答案是：24．21·cn·jy·com
13．2或4
【解析】设x秒时．由三角形的面积公式列出关于x的方程，
（6-x） 2x=8，
通过解方程求得x1=2，x2=4；
故答案为2或4.
14．（7+2x）（5+2x）=3×7×5
【解析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸,根据题意得：(7+2x)(5+2x)=3×7×5，
故答案为(7+2x)(5+2x)=3×7×5.
15．13
【解析】试题解析：方程
分解因式得：(x 2)(x 4)=0，
可得x 2=0或x 4=0，
解得：
当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；
当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13.
故答案为：13.
点睛：三角形的任意两边之和大于第三边.
16．x1=1，x2=3
【解析】试题解析：∵﹡
∴﹡1=
解方程
故答案为：
点睛：本题属于“定义新运算”类型的题目，读懂题意，正确理解新定义的法则是解答本题的关键.本题中， ﹡的实质就是与的平方差.此外，本题还考查了解一元二次方程.
17．1
【解析】由题意得，1000 甲卖给乙，1000（1+10%）=1100，获利100元;乙卖给甲1100（1-10%）=990，甲卖出，990=891，亏损99元.21世纪教育网版权所有
最后甲获利1元.
18．31.
【解析】试题分析：设原来两位数的个位数字为x，则十位数为x+2，根据题意由等量关系列出一元二次方程，解之即可．www.21-cn-jy.com
试题解析：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为(x+2)，
根据题意，得 (10x+x+2)2=10(x+2)+x+138.
解得x1=- (舍去)，x2=1.
答：原来的两位数为31.
19．2米
【解析】试题分析：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），根据矩形的面积公式结合两块矩形绿地的面积之和为56米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．www-2-1-cnjy-com
试题解析：设人行通道的宽度为x米，这每块矩形绿地的长为米、宽为（8﹣2x）米（0＜x＜4），
根据题意得：2××（8﹣2x）=56，
整理得：3x2﹣32x+52=0，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽为2米．
20．（1）t=1；（2）经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2；（3）当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2．21*cnjy*com
【解析】(1)根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2,便可求出经过1s后,P、Q两点的距离为 cm2;
(2)根据三角形的面积公式便可求出经过2或1.5s后,S△PCQ的面积为15 cm2;
(3)根据三角形的面积公式以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大,进而求出四边形BPQA的面积最小值.【来源：21cnj*y.co*m】
解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5）2；
解得t=1或t=-（不合题意舍去）；
（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ==×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2t）×5t=×（-2t2+7t）
当t=-时，即t==1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ=×PC×CQ=×（7-2×1.75）×5×1.752=（cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×7×24-=（cm2），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2．【版权所有：21教育】
21．0.8.
【解析】试题分析：（1）（2）利用勾股定理判断即可.
试题解析：
(1)不会是0.9米．若AA1＝B ( http: / / www.21cnjy.com )B1＝0.9，则A1C＝2.4－0.9＝1.5，B1C＝0.7＋0.9＝1.6，1.52＋1.62＝4.81，2.52＝6.25，21*cnjy*com
∵A1C2＋B1C2≠A1B ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴该题的答案不会是0.9米．
(2)有可能．设梯子顶端从A处下滑x米， ( http: / / www.21cnjy.com )点B向外也移动x米，则有(x＋0.7)2＋(2.4－x)2＝2.52.解得x＝1.7或x＝0(舍去)．
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．
22．（1）5，2，-2，-8；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的a、b、c、d表示的数即可；
（2）利用“平均数法”解方程即可．
试题解析：（1）a=(3+7)÷2=5，b=5-3=2，c=-a+=-5+3=-2，d=-a-=-5-3=-8，
故答案为：5，2，-2，-8；
（2） ，
，
，
，
，
，
.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键.
23．（1）-A2+A（2）50
【解析】（1）由于超过部分要按每千瓦时元收费，所以超过部分电费（90-A） 元，化简即可；
（2）依题意，得：（80-A） =15，解方程即可．此外从表格中知道没有超过45时，电费还是10元，由此可以舍去不符合题意的结果．
解：（1）超过部分电费=（90-A）·=-A2+A
（2）依题意，得：（80-A）·=15，A1=30（舍去），A2=50
24．(1)（40-2a）（60-2a）；（2）通道的宽为5米；（3）通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
【解析】试题分析：（1）用a表示出花圃的长和宽，然后用矩形的面积公式计算出花圃的面积即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据图象所给的信息，求出、与x之间的函数关系式，根据（1）中花圃的面积求得通道的面积，再由修建的通道和花圃的总造价为105920元，列出方程求解即可．
试题解析：
(1)由图可知，花圃的面积为（40-2a）（60-2a）；
(2)由已知可列式：60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40，
解以上式子可得：a1=5，a2=45（舍去），
答：所以通道的宽为5米；
（3）当a=10时，花圃面积为（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）
即此时花圃面积最少为800（平方米）．
根据图象可设y1=mx，y2=kx+b，
将点（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，则有
1200m=48000，解得：m=40
∴y1=40x且有 ， 解得： ，
∴y2=35x+20000．
∵花圃面积为：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，
∴通道面积为：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a
∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920
解得a1=2，a2=48（舍去）．
答：通道宽为2米时，修建的通道和花圃的总造价为105920元．
点睛：本题是一元二次方程和一次函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )综合题，正确的解决这类题目的关键是准确的找出等量关系列出方程，再根据所给的函数图象求出对应的函数解析式，把函数问题转化为方程问题.21cnjy.com
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