第2章 一元二次方程单元测试提高卷

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
第2章一元二次方程提高卷
姓名：__________班级：__________学号：__________
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1=0的常数项为0，则m的值等于（　　）
A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D. 0
2．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A. m=±2 B. m=2 C. m=﹣2 D. m≠±2
3．方程（b＞0）的根是（ ）
A. B. C. D.
4．用配方法解方程x2＋8x－20＝0，下列变形正确的是（ ）
A. (x＋4)2＝24 B. (x＋8)2＝44 C. （x＋4)2＝36 D. (x－4)2＝36
5．如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+5，则p的最小值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6．一元二次方程4x2-2x+=0 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
7．若关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2=0有两个相等的实根，则a的值是（ ）
A. ﹣4 B. 4 C. 4或﹣4 D. 2
8．方程x2-3x+2=0的最小一个根的倒数是（　　）
A. 1 B. 2 C D．4
9．根据图中的程序，当输入方程x2=2x的解x时，输出结果y=（　　）
A. -4 B. 2 C. -4或2 D. 2或-2
10．若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为（　　）
A. 4或-2 B. 4 C. -2 D. -4
二、填空题
11．已知一元二次方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则的值为__________.
12．若关于x的方程x2-mx+m=0有两个相等实数根，则代数式2m2-8m+1的值为______。
13．若对于实数a，b，规定a*b= ，例如：2*3，因2＜3，所以2*3=2×3﹣22=2．若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x1*x2=_____．
14．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，则3﹣a+b的值是_____．
15．如图，有一块长30m、宽20m的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形田地面积的，则道路的宽为______．
16．一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年7月份和9月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件.若假设该公司每月投送的快递件数的增长率相同，则这家公司投送快递件数的月平均增长率为 ________________．
三、解答题
17．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长.
18．已知关于x的一元二次方程2-3-5=0，试写出满足要求的所有a，b的值．
19．关于x的方程kx2+（k+1）x+=0有两个相等的实数根．求k的值，并求出此时一元二次方程的根。
20．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。
（1）请问一元二次方程x2－3x＋2＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由。
（2）若一元二次方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
21．（本题8分）已知关于的方程.
（1）若方程总有两个实数根，求的取值范围；
（2）若两实数根、满足，求的值.
22．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
23．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%，求出m的值．
24．如图，线段AB＝60厘米．
(1)点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段自B点向A点以6厘米/分的速度运动，几分钟后，P、Q两点相遇？
(2)几分钟后，P、Q两点相距20厘米？
参考答案
1．B
【解析】由题意得： ，解得m=-1，
故选B.
2．B
【解析】根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此即可求解．
解：由一元二次方程的定义可得 ，
解得：m=2．
故选B．
3．A
【解析】∵在方程中，，
∴，
∴.
故选：A.
4．C
【解析】用配方法解方程： ，
移项得： ，
配方得： ，即.
故选C.
5．B
【解析】解：p=a2+2b2+2a+4b+5=（a+1）2+2（b+1）2+2≥2，故选B．
点睛：本题考查配方法的应用、非负数的性质．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用配方法和非负数的性质解答．
6．B
【解析】∵在方程中， ，
∴△=，
∴原方程有两个相等的实数根.
故选B.
7．B
【解析】∵关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2=0有两个相等的实根，
∴△=0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）=0，整理得a2﹣8a+16=0，
∴a1=a2=4，
故选B．
8．A
【解析】解：x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0或x﹣2=0，x1=1或x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的最小一个根的倒数是1，故选A．
点睛：本题考查了一元二次方程的解法和倒数的概念．解题的关键是求出方程的解，找出最小的根．
9．C
【解析】解：x2=2x，x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，∴x=0或x=2．
当x=0时，y=x﹣4=0﹣4=﹣4；
当x=2时，y=﹣x+4=﹣2+4=2．故选C．
10．B
【解析】解： ，∴，∴或（舍去），∴．故选B．
11．3
【解析】解：根据题意得x1+x2=5，x1x2=2，所以x1+x2－x1x2=5－2=3．故答案为：3．
点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
12．1
【解析】a=1,b=-m,c=m, -4,
-4=0,
所以2m2-8m+1=2(-4=1.
故答案为1.
点睛：一元二次方程的根的判别式是,
△=b2-4ac,a,b,c分别是一元二次方程中二次项系数、一次项系数和常数项.
△>0说明方程有两个不同实数解,
△=0说明方程有两个相等实数解,
△<0说明方程无实数解.
实际应用中，有两种题型（1）证明方程实数根问题，需要对△的正负进行判断，可能是具体的数直接可以判断，也可能是含字母的式子，一般需要配方等技巧.
(2)已知方程根的情况，利用△的正负求参数的范围.
13．12或﹣4
【解析】∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x=3或﹣1，
当x1=3，x2=﹣1时，
x1*x2=x12﹣x1x2=9+3=12，
当x1=﹣1，x2=3时，
x1*x2=x1x2﹣x12=﹣3﹣1=﹣4，
故答案为12或﹣4．
14．5
【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+2=0（a≠0）的一个解是x=1，∴a﹣b+2=0，∴a﹣b=﹣2，∴3﹣a+b=3﹣（a﹣b）=3+2=5．故答案为：5．
点睛：此题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值．
15．2
【解析】解：设道路为x米宽，由题意得：20×30﹣20x×2﹣30x+2x2=30×20×，整理得：x2﹣35x+66=0，解得：x=2，x=33，经检验是原方程的解，但是x=33＞30，因此不合题意舍去．
故答案为：2 m．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．
16．10%
【解析】试题解析：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别为20万件和24.2万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程为：
20（1+x）2=24.2，
解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意舍去）．
即该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.
17．（1）m>2; (2)17
【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；
（2）由题意，∵x1≠x2时，∴只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
18．a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2
【解析】【试题分析】
根据一元二次方程的定义，要求未知数的最高次数为2次，分类讨论：
若a=2,b=2,则方程化简为 ；
若a=2,b=0,则方程化简为 ；
若a=2,b=1,则方程化简为 ；
若a=0,b=2,则方程化简为；
若a=1,b=2,则方程化简为；
【试题解析】
根据题意，若a=2,b=2,则方程化简为 ；若a=2,b=0,则方程化简为 ；若a=2,b=1,则方程化简为 ；若a=0,b=2,则方程化简为；若a=1,b=2,则方程化简为；故答案为：a=2，b=2或a=2，b=1或a=2，b=0，或a=1，b=2或a=0，b=2.
19．；
【解析】试题分析：根据一元二次方程根与系数的判别式求出k的值，代入后解方程即可.
试题解析：由△=(k+1)2－4k·=0，
解得k=．
当k=时，原方程为 x2+x-=0
解得：x1=x2=
20．（1）是倍根方程， ；
（2） 或
【解析】(1)方程x －3x＋2＝0可变形为(x-1)(x-2)=0∴x-1=0或x-2=0
∴方程的两个根分别为，∵2=1×2
∴方程x2－3x＋2＝0是“倍根方程”
(2) ∵方程ax2＋bx－6＝0是倍根方程,且有一根为2.设另一根为，则=1或4，当=1时， 解得： .当=4时， ，解得： ，
综上所述得： 或
21．（1）;(2) ，
【解析】试题分析：（1）当方程有两个相等的实数根时，△≥0，列式计算出m的值；
（2）根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积，代入原等式展开后的表达式，再根据△的取值确定其m的值．
试题解析：解：（1）∵方程总有两个实数根，
∴△ ≥0，∴ ；
（2）由题可得： ， ，而 ，∴，化简得，解得， ．
而，∴．
点睛：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=，x1x2=．要注意第（2）中根据已知式子得出m的值后，利用根的判别式进行取舍．
22．(1)见解析;(2) k=2
【解析】试题分析：
（1）①当k=1时，原方程是一元一次方程，其有解；②当时，原方程是一元二次方程，列出“根的判别式的表达式”，并证明其值为非负数即可可得出原方程一定有实数根；综合①②可得结论；
（2）由原方程有两根可知：“”，根据“一元二次方程根与系数的关系”列出“两根和与两根积的表达式”代入S=2中得到关于“k”的方程，解方程求出“k”的值即可.
试题解析：
（1）①当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；
②当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2
=4k2﹣8k+8
=4（k﹣1）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根；
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）∵原方程有两根实数根，
∴原方程为一元二次方程， .
由根与系数关系可知， ， ，
若S=2，则，即，
将， 代入整理得： ，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2．
点睛：（1）关于“x”的方程在没有指明是“一次方程”还是“二次方程”的时候，要分两种情况讨论；（2）第（2）小问中，指明了原方程有两个实数根，因此此时原方程是一元二次方程，故最后求得的k的值中，k=1要舍去.
23．（1）120；（2）20．
【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x 80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%”列方程解出即可．
试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x 80≤7680，x≤120；
解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．
答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ m%），即72a（1+ m%）+a（72﹣ m）（1+15m%）=144a（1+ m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．
答：m的值是20．
点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
24．(1)6分钟;(2) 4或8分钟
【解析】试题分析：（1）由路程=速度×时间，结合题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）由路程=速度×时间，结合题意列出方程，解方程即可得出结论．
试题解析：解：（1）设经过x分钟后，P、Q两点相遇，依题意得：
4x+6x=60，解得：x=6．
答：经过6分钟后，P、Q两点相遇．
（2）设经过y分钟后，P、Q两点相距20厘米，依题意得：
①4y+6y+20=60，解得：y=4；
②4y+6y﹣20=60，解得：y=8．
答：经过4或8分钟后，P、Q两点相距20厘米．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是结合路程=速度×时间与题意，列出一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类问题时，理清各数量之间的关系式关键．
版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)