2.2 一元二次方程的解法（1）同步练习

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2.2一元二次方程的解法（1）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1.因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．方程x（x-5）=0的根是（　　）
A. x=0 B. x=5 C. x1=0，x2=5 D. x1=0，x2=-5
2．方程x2＝2x的解是（　　）
A. x＝2 B. x1＝2，x2＝0 C. x＝0 D. x1＝2，x2＝1
3．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程的一个根，则此三角形的周长是( )
A. 12 B. 14 C. 15 D. 12或14
4．一元二次方程x2-25=0的解是（ ）
A. x1=x2=5 B. x1=x2=25 C. x1=25，x2=-25 D. x1=5，x2=-5
5．若代数式2x2＋6x－3与x2＋4的值相等，则x的值为 (　　)
A. 1或－7 B. －1或7 C. 1或7 D. －1或－7
6．关于x的方程ax2+bx+c=0的根为2和3，则方程ax2-bx-c=0的根（ ）
A．-2，-3 B．-6，1 C．2，-3 D．-1，6
7．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（　　）
A. 甲错误，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误
8．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三 层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于（ ）
A. n=6 B. n=8 C. n=11 D. n=13
二、填空题
9．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=_____．
10．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对（x，-2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=___________．
11．若x2-3x+2=0，则=__________．
12．方程x2+4x-5=0的解是_______________．
13．实数a，b是关于x的方程2x2+3x+1=0的两根，则点P（a，b）关于原点对称的点Q的坐标为_____．
14．若方程x2-7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边长是_______________．
三、解答题
15．解方程：
（1）3x（x-1）=2x-2
（2）x2+3x+2=0．
16．若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48
（1）求3※5的值；
（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值；
（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．
17．已知x2+3x﹣4=0，求代数式的值．
参考答案
1．C
【解析】解：由方程x（x﹣5）=0，可得x=0或x﹣5=0，解得：x1=0，x2=5．故选C．
点睛：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．B
【解析】原方程变形为：x 2x=0，
x(x 2)=0，
=0， =2.
故本题选B.
3．A
【解析】试题解析：解方程 得 即第三边的边长为5或7.
∵1<第三边的边长<7，
∴第三边的边长为5.
∴这个三角形的周长是3+4+5=12.
故选A.
点睛：三角形的任意两边之和大于第三边.
4．D
【解析】解：（x+5）（x-5）=0，∴x1=5，x2=-5．故选D．
5．A
【解析】由题意得2x2＋6x－3=x2＋4，
x2＋6x－7=0，
（x-1）(x+7)=0.
解得，选A.
6．因为方程的两个根为2和3，所以方程可以方程因式为a（x-2）（x-3）=0，用含a的式子表示b和c，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根．
【解析】
∵ax2+bx+c=0的两根为2和3，
∴a（x-2）（x-3）=0，
整理得：ax2-5ax+6a=0，
∴b=-5a，c=6a．
把b，c代入方程ax2-bx-c=0，
得：ax2+5ax-6a=0，
a（x+6）（x-1）=0，
∴x1=-6，x2=1．
故选B．
7．A
【解析】（x+2）（x﹣2）=5，
x2-4=5，
x2-9=0，
（x+3）（x-3）=0，
x+3=0或x-3=0，
x1=-3，x2=3，
所以甲错误，乙正确，
故选A.
8．C
【解析】观察图形，由题意可得：
第一层的点的个数为：1个；
第二层的点的个数为：6=1×6（个）；
第三层的点的个数为：6+6=2×6（个）；
第四层的点的个数为：6+6+6=3×6（个）；
……；
第n层的点的个数为：(n-1)×6（个），其中且n为整数；
∴前n层的点的总个数为：
由解得（不合题意，舍去）.
故选C.
点睛：（1）从第2层开始，外面的一层总比相邻的里面一层多6个点；（2）；
9．6
【解析】解：设a=x2+y2，则原方程可化为a2-5a﹣6=0，解得a1=6，a2=﹣1（舍去），所以，x2+y2=6；
故答案为：6．
10．-5或1
【解析】解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为：﹣5或1．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11．或
【解析】解：（x-2）（x-1）=0，∴x=2或x=1．
当x=1时，原式=2；
当x=2时，原式=．
故答案为：2或．
12．x1=-5，x2=1
【解析】解：（x+5）（x-1）=0，∴x1=-5，x2=1．故答案为：x1=-5，x2=1．
13．（1， ）或（，1）
【解析】2x2+3x+1=0，
（2x+1）（x+1）=0，
∴，
∴a=，b=-1或a=-1，b=，
∴点P的坐标为（﹣1， ）或（，﹣1），
∵点P（a，b）关于原点对称的点Q，
∴点Q的坐标为（1， ）或（ ，1），
故答案为：（1， ）或（，1）．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、关于原点对称的点的坐标的特征，解题的关键是要先求出方程的解，再讨论确定点的坐标.
【答案】5
【解析】解：解方程x2﹣7x+12=0，解得x=3，x=4；由勾股定理得：斜边长==5．故答案为：5．
15．(1) x1=1，x2=；(2) x1=-1，x2=-2
【解析】试题分析：（1）先变形得到3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
试题解析：解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0，x﹣1=0或3x﹣2=0，所以x1=1，x2=；
（2）（x+1）（x+2）=0，x+1=0或x+2=0，所以x1=﹣1，x2=﹣2．
16．(1) x1=2，x2=-4;(2) x1=2，x2=-4;(3)
【解析】试题分析：要注意a※b=4ab新定义的运算方法，把已知数按照运算法则代入即可求值，后两问将数值代入后得到了两个方程，解方程即可．
试题解析：解：（1）∵a※b=4ab，∴3※5=4×3×5=60；
（2）由x※x+2※x﹣2※4=0得，4x2+8x﹣32=0，即x2+2x﹣8=0，∴x1=2，x2=﹣4；
（3）由a*x=x得，4ax=x，无论x为何值总有4ax=x，∴a=．
点睛：此题主要还是考查了方程的解题方法以及技巧，难易程度适中．
17．原式=x+1=﹣3．
【解析】试题分析：本题考查了分式的化简求值，因式分解法解一元二次方程. 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x2+3x-4=0求出x的值，再代入进行计算即可．
解：原式=（﹣）
=
=x+1，
∵x2+3x﹣4=0，
∴x=﹣4或x=1（舍去），
当x=﹣4时，原式=﹣4+1=﹣3．
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