2. 4 一元二次方程根与系数的关系同步练习 (选学)

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2. 4 (选学)一元二次方程根与系数的关系同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
1. 利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2. 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2=，反过来也成立，即
=-（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．已知m，n是方程x2＋2 x＋1＝0的两根，则代数式的值为(　　)
A. 9 B. 4 C. 3 D. 5
2．若关于的方程（k为常数）有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A. ﹣4 B. 4 C. ﹣ D.
3．方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等实根 B. 有两个相等实根
C. 无实根 D. 以上三种情况都有可能
4．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是(　　)
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 2
5．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥-2 B. k＞-2且k≠0 C. k≥-2且k≠0 D. k≤-2
6．对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是（　　）
A. 当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根
B. 当c=0时，方程至少有一个根为0
C. 当a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数
D. 当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号
7．甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（ 　）
A. x2+4x﹣15=0 B. x2﹣4x﹣15=0 C. x2+4x+15=0 D. x2﹣4x+15=0
8．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）
A. 7 B. 11 C. 12 D. 16
10．已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
11．方程3x2－1＝2x＋5的两根之和为___________．
12．已知x1,x2是方程3x2－x－2=0的两个根，那么x21＋x22 =__， =_____．
13．若关于x的一元二次方程x2-x+k=0的一个根是0,则另一个根是_______．
14．已知在等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长为方程x2－10x＋m＝0的根，则m＝_________．
三、解答题
15．已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．
16．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；　
（2）当时，求的值．
17．已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为三边的长.
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由.
(3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
18．已知方程的两根为、，且 >,求下列各式的值:
（１）+ ；（2）；
（3）；（4）.
19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
参考答案
1．C
【解析】由题意得m+n=-2,mn=1，
.
所以选C.
2．C
【解析】根据方程x2-x-k=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac=0，从而可以建立关于k的方程，解之即可求出k的值．
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2 4ac=（-1）2+4k=0，
解得：k=﹣，
故选D.
3．C
【解析】解：△==32-36=－4＜0，故原方程没有实数根．故选C．
4．B
【解析】由根与系数的关系知，x1+x2=, x1x2=，
x1－x1x2＋x2＝1－a,
,
,
a=,
代入原方程，a=1时，有两个相等的实数根.
所以a=-1.
选B.
点睛：一元二次方程根与系数的关系：
ax2+bx+c=0(a,
,
如果题目中有关于两个根的和，两个根的积，可以利用一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值.
5．C
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且
且
∴且
故选C.
6．D
【解析】解：A．正确．当a＞0，c＜0时，△=b2﹣4ac＞0，则方程一定有实数根；
B．正确．当c=0时，则ax2+bx=0，则方程至少有一个根为0；
C．正确．当a＞0，b=0，c＜0时，方程两根为x1，x2，x1+x2==0，则方程的两根一定互为相反数；
D．错误．当ac＜0时，方程的两个根异号，当ac＞0时，方程的两个根同号．
故选D．
7．B
【解析】甲的常数项是对的，所以常数项为： -3×5 = -15，
乙的一次项系数是对的，所以是一次项系数为：-（2+2）= -4，
原方程是 x2 - 4 x -15 = 0，
故选D.
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记根与系数的关系是解决此类问题的关键．
8．3
【解析】先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．
解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根；
∴α+β=﹣2m﹣3，α β=m2；
∴==﹣1；
∴m2﹣2m﹣3=0；
解得m=3或m=﹣1；
∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两个不相等的实数根；
∴△=（2m+3）2﹣4×1×m2=12m+9＞0；
∴m＞﹣；
∴m=﹣1不合题意舍去；
∴m=3．
故选B
9．D
【解析】试题解析：：∵m，n是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两实数根，
∴m+n=2t，mn=t2-2t+4，
∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．
∵方程有两个实数根，
∴△=（-2t）2-4（t2-2t+4）=8t-16≥0，
∴t≥2，
∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．
故选D．
点睛：由根与系数的关系可得出m+n=2t、mn=t2-2t+4，将其代入（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4中可得出（m+2）（n+2）=（t+1）2+7，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出t的取值范围，再根据二次函数的性质即可得出（m+2）（n+2）的最小值．
10．D
【解析】因为a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，所以ab=1，-a2-2013a=1，-b2-2013b=1，所以（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）=（-a2-2013a+2015a+a2）（-b2-2013b+2015b+b2）=4ab=4.故选D.
点睛：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系和方程的根，解题时要注意通过把方程的解代回到原方程中，然后整体代入将所要求的代数式化简是关键，再结合根与系数的关系求解，本题不能考虑求出a，b的值，再代入到所要求值的式子.
11．
【解析】解：3x2－2x－6=0，∴两根之和==.故答案为： ．
12． -
【解析】试题解析：∵x1、x2是方程3x2-x-2=0的两个根，
∴x1+x2=，x1x2=-，
∴x21＋x22 =（x1＋x2 ）2-2x1x2=，
=.
故答案为： ，-．
13．1
【解析】设方程的另一个根据为m ，根据根与系数的关系则有：m+0=-(-1)，解得：m=1，
故答案为：1.
14．25或16
【解析】解：当AB=BC=8，把x=8代入方程得64﹣80+m=0，解得m=16，此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=8，x2=2；当AB=AC，则AB+AC=10，所以AB=AC=5，则m=5×5=25．故答案为：25或16．
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=，也考查了三角形三边的关系．
15．（1）x1 = p，x2 = m + 2－p；
（2）当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）．
【解析】试题分析：（1）化简方程，用分解因式法求出两根；
（2）直角三角形的面积为x1x2，利用根与系数的关系可以得到关于p的关系式，然后利用二次函数可以求出什么时候有最大值．
试题解析：（1） 原方程变为：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面积为x1x2=p(m+2-p)
=
=
=，
∴ 当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为（或）．
16．(1) m≤．(2) m＝．
【解析】试题分析：(1)求判别式，得到m的范围.
(2)利用韦达定理求出x1+x2=-2m+1，把已知化成包含x1+x2的形式，代入求解.
试题解析：
解：（1）由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，解得m≤，即实数m的取值范围是m≤．
（2）由得（x1+x2）（x1-x2）=0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m＝．
∵＞，∴m＝不合题意，舍去． 若x1-x2=0，即x1=x2，
∴△=0，由（1）知m＝．
故当时，m＝．
17．（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；(2) △ABC是直角三角形，理由见解析；（3）x1=0或x2=－1.
【解析】试题分析: （1）将x=-1代入方程中，化简即可得出b=c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△=0建立方程，即可得出a2+c2=b2，进而得出结论；
（3）先判断出a=b=c，再代入化简即可得出方程x2+x=0，解方程即可得出结论．
试题解析：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，
即：x2+x=0，
∴x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1，
即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1．
18．(1)13;(2) ;(3)17;(4)2
【解析】试题分析：根据根与系数的关系得到x1 x2=-2；x1+x2=3，（1）、（3）利用完全平方公式来变形，（2）先通分，（4）根据多项式乘多项式的乘法乘开，然后利用整体代入得思想进行计算；
解：∵x1、x2是方程x -3x-2=0的两个实数根，
∴x1 x2=-2；x1+x2=3，
(1)x1 +x2 =(x1+x2) -2x1x2=3 -2×(-2)=9+4=13.
(2) .
(3)(x1-x2) = (x1+x2) -4 x1 x2=3 -4×（-2）=17.
(4)(x1+1)(x2+1)=x1 x2+ (x1+x2)+1=(-2)+ 3+1=2.
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则 ， .将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
19．（1）m的值为6;（2）17.
【解析】试题分析：
（1）由题意和根与系数的关系可得：x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5；由(x1－1)(x2－1)＝28，可得：x1x2－(x1＋x2)＝27；从而得到：m2＋5－2(m＋1)＝27，解方程求得m的值，再由“一元二次方程根的判别式”进行检验即可得到m的值；
（2）①当7为腰长时，则方程的两根中有一根为7，代入方程可解得m的值（此时m的取值需满足根的判别式△ ），将m的值代入原方程，可求得两根（此时两根和7需满足三角形三边之间的关系），从而可求得等腰三角形的周长；
②当7为底边时，则方程的两根相等，由此可得“根的判别式△=0”，从而可得关于m的方程，解方程求得m的值，代入原方程可求得方程的两根，再由三角形三边之间的关系检验即可.
试题解析：
(1)(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＝27，而x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，
∴m2＋5－2(m＋1)＝27，
解得m1＝6，m2＝－4，
又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0时，m≥2，
∴m的值为6;　
(2) 若7为腰长，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一根为7，
即72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0，
解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，方程x2－22x＋105＝0，根为x1＝15，x2＝7，不符合题意，舍去．
当m＝4时，方程为x2－10x＋21＝0，根为x1＝3，x2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17　
若7为底边，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两等根，
∴Δ＝0，解得m＝2，此时方程为x2－6x＋9＝0，根为x1＝3，x2＝3，3＋3<7，不成立，
综上所述，三角形周长为17
点睛：（1）一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件是方程要有实数根，即“根的判别式△ ”；（2）涉及三角形边长的问题中，解得的结果都需要用“三角形三边之间的关系”检验，看三条线段能否围成三角形.
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