3.3 方差和标准差同步练习

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3.3方差和标准差同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=[（x1-x ）2+（x2-x ）2+…+（xn-x ）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2.标准差
（1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
公式：
（2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．在方差的计算公式S2= [（x1-20）2+（x2-20）2+…+（xn-20）2]中，数字10和20表示的意义分别是（ ）
A. 平均数和数据的个数 B. 数据的方差和平均数
C. 数据的个数和方差 D. 数据的个数和平均数
2．甲、乙、丙、丁四位备战南京青奥会射击选手在一次训练比赛中，这四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.5环，方差如下表：
选手 甲 乙 丙 丁
方差（环2） 0.35 0.018 0.22 0.055
则在这次训练比赛中，这四位选手发挥最稳定的是（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3．已知数据：1，2，4，3，5，下列说法错误的是（ ）
A. 平均数是3 B. 中位数是4 C. 方差是2 D. 标准差是
4．一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩平均数均是9.2环，方差分别为，则成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6．（2017四川自贡第7题）对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（　　）
A. 众数是3 B. 平均数是4 C. 方差是1.6 D. 中位数是6
7．（2017浙江嘉兴第3题）已知一组数据，，的平均数为，方差为，那么数据，，的平均数和方差分别是（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
8．（2017内蒙古通辽第5题）若数据10，9，a，12，9的平均数是10，则这组数据的方差是（ ）
A. B. C. D.
9．一组数据：1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差为（　　）
A. 2 B. 4 C. D. -2
10．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且 EMBED Equation.DSMT4 =，则（ 　）
A. 这两组数据的波动相同 B. 数据B的波动小一些
C. 它们的平均水平不相同 D. 数据A的波动小一些
二、填空题
11．体育课上，两名同学分别进行了5次立定跳远测试，要判断这5次测试中谁的成绩比较稳定，通常需要比较这两名同学成绩的_____．
12．（2017黑龙江绥化第17题）在一次射击训练中，某位选手五次射击的环数分别为5，8，7，6，9．则这位选手五次射击环数的方差为__________．
13．已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是______．
14．样本数据10,10，x，8的众数和平均数相同，则12,12，x+2，10这组数据的标准差是________．
15．已知一组数据的平均数是3，方差是2，把这组数据扩大2倍，那么新数据的平均数是__________，方差是____________．
16．某校九年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班能参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：
有一位同学根据上面表格得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．
上述结论正确的是_______（填序号）．
三、解答题
17．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛,对他们进行了六次测试,测试成绩如表:
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9
乙 10 10 8 10 7 9
(1)把表中所空各项数据填写完整;
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差;
(3)根据(1),(2)计算的结果,你认为推荐谁参加省比赛更合适 请说明理由.
18．甲、乙两同学的五次数学测验成绩如下:
甲 81 98 76 95 100
乙 86 88 91 93 92
如果这个班数学成绩的平均数为75分,试根据以上数据,对甲、乙两名学生的数学学习状况作出分析.
19．为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
初二1班体育模拟测试成绩分析表
平均分 方差 中位数 众数
男生 2 8 7
女生 7.92 1.99 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班共有男生________人，共有女生________人；
（2）补全初二1班体育模拟测试成绩分析表.
20．某农民在自己家承包的甲、乙两片荒山上各栽了200棵苹果树，成活率均为96%，现已挂果．他随意从甲山采摘了4棵树上的苹果，称得质量(单位：千克)分别为36，40，48，36；从乙山采摘了4棵树上的苹果，称得质量(单位：千克)分别为50，36，40，34，将这两组数据组成一个样本，回答下列问题：
（1）样本容量是多少？
（2）样本平均数是多少？并估算出甲、乙两山苹果的总产量；
（3）甲、乙两山哪个山上的苹果长势较整齐？
21．某中学七、八年级各选派10名选手参加知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分选手人数分别为a，b．
（1）请依据图表中的数据，求a，b的值．
（2）直接写出表中的m= ，n= ．
（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．
22．某学校要成立一支由6名女生组成的礼仪队，八年级两个班各选6名女生，分别组成甲队和乙队参加选拔．每位女生的身高统计如图，部分统计量如下表：
平均数 标准差 中位数
甲队 1.72 0.038
乙队 0.025 1.70
（1）求甲队身高的中位数；
（2）求乙队身高的平均数及身高不小于1.70米的频率；
（3）如果选拔的标准是身高越整齐越好，那么甲、乙两队
中哪一队将被录取？请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】解：10表示的意义是数据的个数，20表示的意义是平均数，故选D．
2．B
【解析】解：∵0.018＜0.055＜0.22＜0.35，∴乙的方差最小，∴这四人中乙发挥最稳定，故选B．
点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
3．B
【解析】试题解析：这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，
极差是：5-1=4；
把这组数据从小到大排列为1，2，3，4，5，
最中间的数是3，
则中位数是3；
方差是： [（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-4）2+（5-3）2]=2．
故选B．
4．D
【解析】A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+5) ÷6=3;
添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+5+3) ÷7=3;
∴平均数不发生变化.
B. ∵原众数是：3；
添加一个数据3后的众数是：3；
∴众数不发生变化；
C. ∵原中位数是：3；
添加一个数据3后的中位数是：3；
∴中位数不发生变化；
D. ∵原方差是： ；
添加一个数据3后的方差是： ；
∴方差发生了变化.
故选D.
点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
5．D
【解析】试题解析：方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定. 因此，
∵，即，
∴成绩最稳定的是是丁.
故选D.
6．D
【解析】试题解析：A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；
B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、S2=[（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2]=1.6，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；
故选D．
7．B
【解析】试题解析：∵数据a，b，c的平均数为5，
∴（a+b+c）=5，
∴（a-2+b-2+c-2）=（a+b+c）-2=5-2=3，
∴数据a-2，b-2，c-2的平均数是3；
∵数据a，b，c的方差为4，
∴ [（a-5）2+（b-5）2+（c-5）2]=4，
∴a-2，b-2，c-2的方差= [（a-2-3）2+（b-2-3）2+（c--2-3）2]= [（a-5）2+（b-5）2+（c-5）2]=4．
故选B．
8．B
【解析】试题分析：先由平均数的公式，由数据10，9，a，12，9的平均数是10，可得（10+9+a+12+9）÷5=10，解得：a=10，然后可求得这组数据的方差是[（10﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（9﹣10）2]=1.2．
故选B．
点睛：方差反映了一组数据的稳定程度，方差越小，数据波动越小．
【答案】C
【解析】解：由题意知：x=15﹣（1+3+2+5）=4；
方差S2= [（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]=2．
故五个数据的标准差是S==，故选C．
点睛：本题考查了平均数、标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根．注意标准差和方差一样都是非负数．
10．B
【解析】试题解析：方差越小，波动越小.
数据B的波动小一些.
故选B.
点睛：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．方差
【解析】∵方差能反映数据的稳定性，
∴需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
12．2
【解析】试题解析：五次射击的平均成绩为=（5+7+8+6+9）=7，
方差S2= [（5﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2]=2．
故答案为：2.
13．2．
【解析】试题解析：由平均数的公式得：(1+x+3+2+5)÷5=3，解得x=4；
∴方差
故答案为：2.
14．
【解析】由题意得这组数据众数为10,所以10=，x=12，所以即要求12,12,14,10这组数据的标准差，这组数据平均数为=12，方差S2= [（12－12）2+（12－12）2+（14－12）2+（10－12）2]=2，标准差为： .
故答案为: .
点睛：方差计算公式S2= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]， 为数据x1，x2，x3，x4…xn的平均数,标准差为方差的算术平方根.
15． 6 8
【解析】设这组数据是： ，则由题意可得： ， ，
∴当数据组中每个数据都扩大2倍后所得新数据组为： ，
∴新数据组的平均数=，
新数据组的方差=.
故答案为：（1）；（2）.
点睛：通过这道题目的解析可以得到两个重要结论：（1）一组数据中的每个数据都扩大倍后，其平均数也扩大倍；（2）一组数据中的每个数据都扩大倍后，其方差扩大倍.
16．①②③．
【解析】根据平均数、方差和中位数的意义，可知：甲乙的平均数相同，所以①甲、乙两班学生的平均水平相同．根据中位数可知乙的中位数大，所以②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多．根据方差数据可知，方差越大波动越大，反之越小，所以甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．
故答案为：①②③．
点睛：本题考查统计知识中的中位数、平均数和方差的意义．要知道平均数和中位数反映的是数据的集中趋势，方差反映的是离散程度．
17．(1)甲:为9.乙:为9, 9,9,9,9.5;(2)甲： EMBED Equation.DSMT4 ，乙： ；(3)甲参加比赛更合适.理由略.　
【解析】试题分析：（1）根据平均数、中位数的定义，结合图表数据，即可完成表格；
（2）根据平均数，以及方差公式求出甲、乙六次测试成绩的方差即可；
（3）根据方差和平均数两者进行分析．
试题解析：
（1）甲：将六次测试成绩按从小到大的顺序排列为：8，8，9，9，10，10，中位数为（9+9）÷2=9，
平均数为（10+9+8+8+10+9）÷6=9；
乙：第6次成绩为9×6-（10+10+8+10+7）=9，
将六次测试成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，9，10，10，10，中位数为（9+10）÷2=9.5；
填表如下：
故答案为9，9.9，9.5
（2）s2甲= [2×（8-9）2+2×（9-9）2+2×（10-9）2]= ；
s2乙= [（7-9）2+（8-9）2+（9-9）2+3×（10-9）2]= ；
（3）我认为推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
【点睛】此题主要考查了中位数的定义，平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为
，则方差S2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
18．甲、乙两名学生的数学学习状况都非常好.
【解析】试题分析：分别计算出甲、乙两名学生的数学五次的数学成绩平均分，在和班级平均分相比较即可得到他们的数学学习状况．再求出方差比较稳定性．
试题解析：
∵
∵这个班数学成绩的平均数为75分，
∴ ＞75，
∴甲、乙两名学生的数学学习状况都非常好，
∵S2甲= [（90-81）2+（90-98）2+（90-76）2+（90-95）2+（90-100）2]=93.2，
S2乙= [（90-86）2+（90-88）2+（90-91）2+（90-93）2+（90-91）2]=6.2，
∴S2甲＞S2乙，
∴乙的成绩比较稳定．
∴甲、乙两名学生的数学学习状况都非常好，
19． 20 25
【解析】试题分析：（1）由条形图可得男生总人数，总人数减去男生人数可得女生人数；
（2）根据平均数和众数定义可得．
试题解析：解：（1）这个班共有男生1+2+6+3+5+3=20人，共有女生45﹣20=25人，故答案为：20、25；
（2）甲的平均分为×（5+6×2+7×6+8×3+9×5+10×3）=7.9，女生的众数为8，补全表格如下：
点睛：本题主要考查平均数、众数及条形图、扇形图，根据统计图得出解题所需数据，并熟练掌握平均数和众数的定义是解题的关键．
20．（1）样本容量为8；（2）甲、乙两山苹果的总产量约为15 360千克；（3）甲山上的苹果长势较整齐．
【解析】试题分析：(1)根据样本容量的定义即可解决问题；
(2)求出样本平均数，用样本估计总体的思想解决问题即可；
(3)比较方差的大小，即可判断.
试题解析：(1)样本容量为 .
(2) .
甲、乙两山苹果的总产量约为400×40×96%＝15360(千克)．
(3)∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
∴, ∴甲山上的苹果长势较整齐．
21．（1）a=5，b=1；（2）m=6，n=20%；（3）答案见解析．
【解析】试题分析：（1）根据题意可以得到关于a、b的方程组，从而可以求得a、b的值；
（2）根据表格可以得到m和n的值；
（3）根据表格中的平均数和中位数进行说明即可解答本题．
试题解析：解：（1）由题意和图表中的数据，可得：
，即，解得： ；
（2）七年级的中位数m=6，优秀率n=2÷10=20%；
（3）八年级队成绩比七年级队好的理由：
①八年级队的平均分比七年级队高，说明八年级队总成绩比七年级队的总成绩好．
②中位数七年级队是6，八年级队是7.5，说明八年级队半数以上的学生比七年级队半数以上的成绩好．
点睛：本题考查条形统计图、中位数、方差，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22．（1）1.73米;（2）1.69， （3）乙队，理由：标准差小，数据波动小
【解析】试题分析：（1）根据中位数的定义，把甲队队员身高从高到矮排列，找出位置处于中间的数即可；
（2）根据条形图可得到乙队队员每个人的身高，再用总身高÷队员人数=平均数身高；身高不小于1.70米的频率=身高不小于1.70米的人数÷乙队队员总数；
（3）根据标准差的意义可以得到答案；标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
试题解析：（1）把甲队队员身高从高到矮排列：1.76，1.75，1.75，1.71，1.70，1.65，
位置处于中间的两数为：1.75，1.71，
故甲队身高的中位数是＝1.73米；
（2）x乙＝×（1.70+1.68+1.72+1.70+1.64+1.70）=1.69米，
故乙队身高的平均数是1.69米，
身高不低于1.70米的频率为 ；
（3）∵S乙＜S甲，
∴乙队的身高比较整齐，乙队将被录取．
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