4.1 多边形同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
4.1 多边形同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.多边形有关概念
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
2.多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）2（n≥3，且n为整数）
3.多边形内角和定理
（1）多边形内角和定理：（n-2） 180 （n≥3）且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360度．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下面四个图形中，是多边形的是( )
2．六边形的对角线共有（　　）
A. 6条 B. 8条 C. 9条 D. 18条
3．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是（ 　）边形
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
4．如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是（　　）
A. 6 B. 9 C. 14 D. 20
5．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17
6．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加( )
A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n180°
7．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）边形
A. 六 B. 七 C. 八 D. 九
8．一个多边形的内角和与外角和的度数之比为2∶1，则这个多边形的边数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形
10．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
11．如图，，，，是五边形的外角，且，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
二、填空题
12．n边形有_______个顶点，________条边，______个内角，过n边形的每一个顶点有________条对角线．
13．若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_____．
14．若多边形的内角和是1080°，则这个多边形是______边形
15．如图，在五边形ABCDE中，若∠D=110°，则∠1+∠2+∠3+∠4=__________．
16．在四边形ABCD中,如果∠A:∠B:∠C:∠D=1:2:3:4,则∠D=______
三、解答题
17．已知一个正多边形的一个内角是相邻外角的4倍，求这个正多边形的边数.
18．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．
19．一个多边形的内角和等于1260°，它是几边形？有多少条对角线？
20．如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
21．在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＝240°，∠C＝∠D＝∠E＝2∠B.求∠B的度数．
22．计算题.
（1）已知一个多边形的内角和是1260°，求这个多边形的边数．
（2）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长等于4cm，求另外两边长．
23．观察探究及应用．
(1)观察图形并填空：
一个四边形有________条对角线；
一个五边形有________条对角线；
一个六边形有________对角线；
一个七边形有________对角线；
(2)分析探究：
由凸n边形的一个顶点出发，可作_________条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；
(3)结论：
一个凸n边形有条对角线；
(4)应用：
一个凸十二边形有多少条对角线？
参考答案
1．D
【解析】试题解析：根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D是多边形．
故选D．
2．C
【解析】试题解析：六边形的对角线的条数
故选C.
3．B
【解析】∵一个多边形最少可分割成五个三角形，
∴这个多边形的边数为5+2=7，
那么它是七边形．
故选B．
点睛： 本题主要考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）．
4．B
【解析】设多边形的边数为n，则有：(n-2) 180°=720°，解得：n=6，
所以这个多边形的对角线的条数是==9，
故选B.
5．D
【解析】试题解析：多边形的内角和可以表示成 (且n是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据解得：n=16，
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．
6．D
【解析】∵n边形的内角和是（n-2） 180°，
∴2n边形的内角和是（2n-2） 180°，
∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n-2） 180°-（n-2） 180°=n180°，
故选D.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，整式的化简，都是需要熟练掌握的内容．
7．B
【解析】试题解析：设这个多边形是n边形，根据题意得：
解得：n=7，
则这个多边形是七边形.
故选B..
8．D
【解析】设这个多边形有n条边，由题意得
(n-2) ×180:360=2:1,
解之得
n=6.
故选D.
点睛：本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，n变形的内角和为：(n-2) ×180°, n变形的内角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
9．A
【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
10．C
【解析】由题意得，180°(n-2)=120°,
解得n=6.故选C.
11．D
【解析】如下图，∵凸多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
又∵
∴∠5=360°-70°×4=80°，
∴∠AED=180°-∠5=100°.故选D.
点睛：本题的解题要点是：任何凸多边形的外角和都是360°.
12． n n n (n－3)
【解析】解：n边形有____n___个顶点，___n_____条边，__n____个内角，过n边形的每一个顶点有__（n-3）______条对角线．
故答案为： n， n， n ，（n－3）．
13．6
【解析】：∵凸n边形的内角和为1260°，
∴（n-2）×180°=1260°，
得，n=9；
∴9-3=6．
故答案是：6．
【点睛】运用了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础．
14．八
【解析】设这个多边形的边数为n，由题意得到(n-2) 180°=1080°，
解得：n=8，
故答案为：八.
15．290°
【解析】
∵∠D=110°，
∴∠5=180°-110°=70°.
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-70°=290°.
16． 144°
【解析】设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，∠D=4x°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴x+2x+3x+4x=360，
解得x=36°，
∴2x=72°，3x=108°，4x=144°，
所以∠A=36°，∠B=72°，∠C=108°，∠D=144°，
故答案为：144°.
17．这个正多边形的边数是10.
【解析】试题分析:先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角,再根据多边形的外角和等于360度即可求出正多边形的边数.
试题解析:设这个正多边形的一个外角为x,则相邻内角为4x,
根据题意,得x+4x=180 ,解得x=36 .
所以这个正多边形的边数是.
18．500
【解析】分析：若过n边形的一个顶点有7条对角线，则n=10；m边形有m条对角线，即得到方程m(m-3)=m，解得m=5；P边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而P=3；q边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而q=4．代入代数式就可以求出代数式的值．
本题解析：
∵n边形从一个顶点发出的对角线有n－3条， ∴n=7+3=10，
∵m边形有m条对角线 , ∴m(m-3)=m，解之得：m=5；
∵ P边形没有对角线 ,∴P=3
∵q边形的内角和与外角和相等 ,∴q=4
∴q(n-m)p=4×=4×=500
故答案为：500
19．九边形、27条
【解析】试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n-2）×180°=1260°，然后解方程即可．
试题解析：解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1260°
解得：n=9，∴这个多边形为九边形，∴对角线的条数=(9 3)×9 ÷2 =27条．
答：这个多边形是九边形，有27条对角线．
20．1.5π
【解析】分析：根据图中的阴影部分形成的内角和度数为540°，相当于1.5个圆，便不难求出阴影部分的面积.
本题解析：
∵五边形内角和为：(5 2)×180=540°，
∴阴影部分的面积之和是1.5个圆,即π×12=1.5π.
所以圆与五边形重合的阴影部分的面积为1.5π.
点睛：此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键.
21．50°
【解析】试题分析：首先求得五边形ABCDE的内角和，设∠B=x°，即可利用x表示其它角的度数，根据多边形的内角和定理即可列方程，从而求得∠B的度数．
试题解析：五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180°=540°，
设∠B=x°，则∠C=∠D=∠E=2∠B=2x°，
∵∠A+∠B=240°
∴∠A=240-x°
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°，
∴240-x+x+2x+2x+2x=540，
解得：x=50，
则∠B=50゜．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，运用了方程的思想，正确列方程是关键．
22．（1）9；（2）7 cm ，7 cm．
【解析】试题分析：（1）设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数；
（2）由用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为4cm，可以分别从①若4cm为底边长，②若4cm为腰长时，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案．
试题解析：（1）设这个多边形的边数为n，根据题意
解得，
答：这个多边形的边数为9．
（2）解：分两种情况考虑：
①当底边长为4cm，腰长为（18-4）÷2=7cm ；
②当腰长为4cm，底边长为18-4×2=10cm时，因为4+4＜10，
所以这样的三角形不存在．
答：这个等腰三角形另两边的长分别是7 cm ，7 cm．
23． 2 5 9 14 (n－3) n(n－3)
【解析】试题分析：（1）根据图形数出对角线条数即可；
（2）根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线即可求解；
（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，即可解答；
（4）由（3）把n=12代入计算即可．
试题解析：解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线，一个七边形有14对角线；
故答案为：9；14．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，若允许重复计数，共可作n（n﹣3）条对角线；
故答案为：（n﹣3）；n（n﹣3）．
（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，故答案为： ．
（4）把n=12代入计算得： =54．
故答案为：54．
点睛：本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有（n﹣3）条．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)