4.4 平行四边形的判定定理（1）同步练习

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
4.4 平行四边形的判定定理（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A. 两组对边分别平行 B. 一组对边平行，另一组对边相等
C. 两组对边分别相等 D. 一组对边平行且相等
2．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．如图，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件，下列错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A. AB=DC B. AD//BC C. ∠A＋∠B＝180° D. ∠A＋∠D＝180°
4．如图是某城市部分街道，已知AF∥BC， ( http: / / www.21cnjy.com )EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么( )21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 甲将先到F站 B. 乙将先到F站 C. 甲、乙将同时到达 D. 不能确定
5．如图，平行四边形中， ， 、分别在和的延长线上， ， ， ，则的长是（ ）．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C. D.
6．已知四边形ABCD的四条边分别是a、b、c、d．其中a、c是对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形一定是（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ( http: / / www.21cnjy.com )点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 一直不变 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
二、填空题
8．在四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，那么当DC＝______，AD＝______时，四边形ABCD是平行四边形．2-1-c-n-j-y
9．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE＝DC，∠C＝80°，则∠A等于_____°.
( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，在梯形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，CD∥AB，且CD=6cm，AB=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向B运动，Q以2cm/s的速度由C向D运动．则________秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形
( http: / / www.21cnjy.com )
11．如图所示，在△ABC中，AB=AC=7cm，D是BC上的一点，且DE∥AC，DF∥AB，则DE+DF=___．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．如图，四边形ABCD是平行四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠1的度数为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
13．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，则四边形ADEF的形状是_______． ( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题
14．已知，如图，在四边形中， ，点， 为对角线上两点，且， ．求证：四边形为平行四边形．
( http: / / www.21cnjy.com )
15．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=14，DF=13，AD=15，求AC的长
16．如图，△ABC和△BEF都是等边三角形，点D在BC边上，点F在AB边上，且∠EAD=60°，连接ED、CF.
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
17．如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形.
( http: / / www.21cnjy.com )
18．如图，在直角梯形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）BC= cm；
（2）当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形？
（3）当t为多少时，四边形PQCD为等腰梯形？
（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1．B
【解析】根据平行四边形的判定定理， ( http: / / www.21cnjy.com )两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，故选B.
2．C
【解析】试题解析：∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD、CE=DF、AE=BF，
∵AB=CD=EF，
∴平行四边形有 ACDB、 CEFD、 AEFB三个，
故选C.
点睛：利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形即可；
3．D
【解析】A.符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确；
B. 符合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故正确；
C. ∵∠A＋∠B＝180°，∴AD//BC，符合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，，故正确；
D.当四边形ABCD是等腰梯形时，符合AD＝BC，∠A＋∠D＝180°，但不是平行四边形；故不正确；
故选D
4．C
【解析】∵BA∥DE,BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=DE，
∵AF∥BC，EC⊥BC，EF=CF，
∴AF是EC的垂直平分线，
∴DE=CD，
∴BA+AE+EF=BD+CD+EF，
∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，
∴甲乙两个人同时到达.
故选：C.
5．B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=1，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB=1
∴CE=CD+DE=2，
∵EF⊥BC，∠ECF=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形.
∴EF=CF，EF2+CF2=CE2=4，
∴2EF2=4，
∴EF=.
故选B.
6．A
【解析】因为a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，所以a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=0，www.21-cn-jy.com
所以(a-c)2+(b-d)2=0，所以a-c=0，b-d=0，所以a=c，b=d.
所以四边形ABCD是平行四边形.
故选A.
7．A
【解析】∵AC⊥BC,BF⊥BC, ∴AC∥BF.
又∵DE∥AB, ∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD,DF=DE+EF=AB,
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故选A.
8． 3cm 5cm
【解析】根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．可得，CD=3，AD=5．
故答案是：3,5．21·世纪*教育网
9．100
【解析】∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠A=∠BED，
∵DE=DC，∠C=80°，∴∠DEC=80°，
∴∠DEB=100°，∴∠A=100°.
故答案为100.
点睛：掌握平行四边形的判定与性质.
10．2或3
【解析】解：设x秒时，直线QP将四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D截出一个平行四边形，则AP=xcm，BP=（9-x）cm，CQ=2xcm，DQ=（6-2x）cm．【版权所有：21教育】
∵CD∥AB，∴分两种情况：
1．当AP=DQ时，x=6-2x，解得：x=2；
2．当BP=CQ时，9-x=2x，解得：x=3；
综上所述：当2秒或3秒时，直线QP将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故答案为：2或3．
点睛：本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定、解方程等知识；熟练掌握梯形的性质和平行四边形的判定方法是解决问题的关键．21*cnjy*com
11．7cm
【解析】试题解析：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DF=AE，
又∵DE∥AC，
∴∠C=∠EDB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠EDB，
∴DE=BE，
∴DF+DE=AE+BE=AB=7cm．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．21世纪教育网版权所有
12．35°．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BF，∵DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF，∴∠CDF=∠ABR，∵∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于E，
∴∠ABE=35°，∴∠CDF=35°，∴∠1=70°﹣35°=35°，
故答案为：35°．
考点： 平行四边形的性质．
13．平行四边形
【解析】先证明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，则DE=AC=AF，FE=AB=AD，则四边形ADEF是个平行四边形．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )视频 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ( http: / / www.21cnjy.com )
14．证明见解析.
【解析】试题分析：首先证明 ( http: / / www.21cnjy.com )△AEB≌△CFD可得AB=CD，再由条件AB∥CD可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．21*cnjy*com
试题解析：证明：∵AB∥ ( http: / / www.21cnjy.com )CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠DFC，∵AF=CE，∴AF﹣AE=CE﹣EF，即AE=CF．在△AEB和△CFD中，∵∠DCF=∠EAB，AE=CF，∠DFC=∠AEB，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
15．（1）证明见解析；（2）24．
【解析】
试题分析：（1）先证得△ADB≌△CD ( http: / / www.21cnjy.com )B求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得结论．21教育名师原创作品
（2）由平行四边形的性质得出BD=AF ( http: / / www.21cnjy.com )=14，AB=DF=13，设BE=x，则DE=14-x，由勾股定理得出方程，解方程得出BE，再由勾股定理求出AE，即可得出AC的长．21教育网
试题解析：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
（2）∵四边形ABDF是平行四边形，
∴BD=AF=14，AB=DF=13，
设BE=x，则DE=14-x，由勾股定理得：
∴AB2-BE2=AD2-DE2，
即132-x2=152-（14-x）2
解得：x=5，
即BE=5，
∴AE=，
∴AC=2AE=24．
考点：平行四边形的判定与性质．
16．见解析
【解析】试题分析：(1)、根据等边 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质得出∠EAB=∠CAD，∠EBA=∠ACB，从而得出三角形全等；(2)、根据三角形全等得出BE=CD，根据等边三角形的性质得出BE=EF，∠EFB=∠ABC，最后根据一组对边平行且相等得出平行四边形．www-2-1-cnjy-com
试题解析：(1)、∵△ABC和△BEF都是等边三角形，
∴AB=AC，∠EBF=∠ACB=∠BAC=60°， ∵∠EAD=60°， ∴∠EAD=∠BAC，
∴∠EAB=∠CAD， 在△ABE和△ACD中，∠EBA=∠ACB，AB=AC，∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD．
(2)、由（1）得△ABE≌△ACD， ∴BE=CD， ∵△BEF、△ABC是等边三角形，
∴BE=EF， ∴∠EFB=∠ABC=60°， ∴EF∥CD， ∴BE=EF=CD，
∴EF=CD，且EF∥CD， ∴四边形EFCD是平行四边形．
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；
（2）由四边形ABCD是平行四边形， ( http: / / www.21cnjy.com )根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．【出处：21教育名师】
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
考点：1.平行四边形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质．
18．（1）18；（2）当t=秒时四边形PQCD为平行四边形；（3）当t=时，四边形PQCD为等腰梯形；（4）存在t， t的值为秒或4秒或秒．
【解析】试题分析：（1）作DE⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC=BE+EC即可求出BC的长度；
（2）由于PD∥QC，所以当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形，根据PD=QC列出关于t的方程，解方程即可；
（3）首先过D作DE⊥BC于E ( http: / / www.21cnjy.com )，可求得EC的长，又由当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（12-2t）=12时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案；
（4）因为三边中，每两条边都有相等的可 ( http: / / www.21cnjy.com )能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
试题解析：根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD-PA=12-2t．
（1）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，
( http: / / www.21cnjy.com )
DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，
在直角△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，
∴EC==6cm，
∴BC=BE+EC=18cm．
（2）∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即12-2t=3t，
解得t=秒，
故当t=秒时四边形PQCD为平行四边形；
（3）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，
( http: / / www.21cnjy.com )
当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形．
过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形PDEF是矩形，EF=PD=12-2t，PF=DE．
在Rt△PQF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即3t-（12-2t）=12，
解得：t=，
即当t=时，四边形PQCD为等腰梯形；
（4）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当QC=DC时，即3t=10，
∴t=；
②当DQ=DC时，
∴t=4；
③当QD=QC时，3t×
∴t=．
故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．
考点：四边形综合题．
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)