4.4 平行四边形的判定定理（2）同步练习

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4.4 平行四边形的判定定理（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是（　　）
A. AD=BC B. OA=OC
C. AB=CD D. ∠ABC+∠BCD=180°
2．下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　 　)
A. AB∥CD，AD∥BC B. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
C. AB＝CD，AD＝BC D. AB∥CD，AD＝BC
3．若∠A，∠B，∠C，∠D为四边形ABCD的四个内角，下列给出的是这四个内角的比值，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是(　 　)
A. 2∶3∶2∶3 B. 2∶3∶3∶2 C. 1∶2∶3∶4 D. 2∶2∶3∶3
4．4．下列说法错误的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
5．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是
（A） （B）
（C） （D）
6．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（　　）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
7．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）
A. （3，1） B. （-4，1） C. （1，-1） D. （-3，1）
二、填空题
8．（3分）（2015 牡丹江）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件 （只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
9．如图，在四边形中，，若加上，则四边形为平行四边形，现在请你添加一个适当的条件：__________，使得四边形为平行四边形．（图中不再添加点和线）
10．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，及边的中点．
求作：平行四边形．
①连接并延长，在延长线上截取；
②连接、．
所以四边形就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．
请回答：小敏的作法正确的理由是__________．
11．要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC、BD的中点重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依据是 _______________________.
12．M是△ABC的AB边上的中点，连接CM并延长到D，使MD＝CM，则AD与BC________，BD与AC________。
13．如图，AC是□ABCD的对角线，点E、F在AC上，要使四边形BFDE是平行四边形，还需要增加的一个条件是__________________(只要填写一种情况).
三、解答题
14．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．
15．如图， ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．
17．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．
18．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在线段OA，OC上，且OB=OD，∠1=∠2，AE=CF．
（1）证明：△BEO≌△DFO；
（2）证明：四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求 ABCD的面积．
20．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=5cm,E,F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD的外面），且DE=OD，BF=OB，连接AE，CE，CF，AF.
(l）求证：四边形AFCE为平行四边形.
(2）若DE=OD,BF=OB,上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？
(3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AECF的周长.
参考答案
1．C
【解析】∵∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，
A、根据平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断平行四边形，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，故本选项错误，符合题意；
D、根据AD∥BC和∠ABC+∠BCD=180°，能推出符合判断平行四边形的条件，不符合题意.故选C.
2．D
【解析】如图所示：
A选项：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
B选项：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不合题意；
C选项：根据平行四边形的判定定理：两对角相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形；
D选项：不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；
故选C．
3．A
【解析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
故选A．
【点睛】运用了平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法．
4．D
【解析】一组对边相等，另一组对边平行不能判定四边形为平行四边形，故D选项错误.
故选D.
点睛：掌握平行四边形的判定定理.
5．D.
【解析】
试题分析：
解：由∠ADB=∠CBD可以得到AD∥BC，
∴A、∠ABD=∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD=∠CDB，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
C、能进一步得到∠CDB=∠ABD，从而能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选D．
考点：平行四边形的判定．
6．B
【解析】试题分析：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选B．
点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
7．B
【解析】如图所示：
①以AC为对角线，可以画出 AFCB，F（-3，1）；②以AB为对角线，可以画出 ACBE，E（1，-1）；③以BC为对角线，可以画出 ACDB，D（3，1），故选B.
8．BO=DO．
【解析】
试题分析：条件中已给出AO=CO，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以只要添加BO=DO就可以了．
考点：平行四边形的判定．
9．
【解析】连结，交于点，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
10．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】试题解析：∵是边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
则依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
11．两条对角线分别平分的四边形是平行四边形
【解析】分析：本题考查的是平行四边形的判定方法.
解析：根据题意得出OA=OC,OB=OD,所以利用两条对角线分别平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形.
故答案为两条对角线分别平分的四边形是平行四边形
12． 平行且相等 平行且相等
【解析】解：如图，∵M是△ABC的AB边上的中点，∴AM=MB．∵MD＝CM，∴四边形ADBC是平行四边形，∴AD=CB，AD∥CB，BD=AC，BD∥AC．故答案为：平行且相等，平行且相等．
13．AE=CF
【解析】先连接BD，交AC于O．由于四边形ABCD是平行四边形，那么OA=OC，OB=OD，而AE=CF，利用等式性质易得OE=OF，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形BFDE是平行四边形．
故答案为：AE=CF（答案不唯一）.
点睛：本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是连接BD，出现两组对角线．
14．见解析
【解析】试题分析：连接BD交AC于O，首先由 可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得再由 可得 根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形．
试题解析：证明：连接BD交AC于O，
∵AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AF=CE，
∴AF AO=CE CO，
即EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形.
15．证明见解析.
【解析】试题分析: 由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论．
试题解析:
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理可证得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
点睛: 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
16．证明见解析.
．
【解析】试题分析: 根据AD∥BC，可得∠DAB+∠ABC=180°；然后利用∠A=∠C，可得∠B＝∠D；根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得结论.
试题解析:
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∠C＋∠D＝180°.
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形．
17．证明见解析
【解析】试题分析：此题已知AO=BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE=OF即可．
试题解析：
∵AC∥DB，
∴∠CAB＝∠DBA，
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(ASA)，
∴CO＝DO，
∵E，F分别为OC，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE 是平行四边形
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由条件可利用ASA证得结论；
（2）由（1）的结合可得OE=OF，则可求得AE=CF，可求得OA=OC，则可证得四边形ABCD为平行四边形．
试题解析：（1）证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB=∠FOD，
在△BEO和△DFO中
,
∴△BEO≌△DFO（ASA）
（2）证明：由（1）可知△BEO≌△DFO，
∴OE=OF，
∵AE=CF，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
19．（1）证明见解析；（2）24
【解析】试题分析：(1)先证明△AOD≌△COB，可证明对角线互相平分，从而证明平行四边形.(2)由题意得四边形是菱形，菱形的面积等于对角线积的一半.
试题解析：
解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO.又∵∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴ ABCD的面积＝AC·BD＝24.
20．见解析
【解析】（1）由平行四边形的性质可知OA=OC、OB=OD，结合BF=OD、BF=OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；
（2）由DE=OD、BF=OB可以得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立。再找出结论“DE=OD，BF=OB，则四边形AFCE为平行四边形”即可；
（3）根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD=CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC=60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.
∵DE=OD，BF=OB，∴DE=BF.∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形.
（2）成立.结论：若DE=OD，BF=OB,则四边形AFCE为平行四边形.
（3）在□ABCD中，AD//BC，∴∠DAC=∠ACB.
∵CA平分∠BCD,∠ACB=∠ACD.
∴∠ACD=∠DAC，
∴AD=CD，
∵OA=OC,∴OE⊥AC，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵∠AEC=60°，△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=AC=2OA=10cm，
在□AECF中，AF=CE,AE=CF,∴四边形AECF的周长为2（10+10）=40（cm）.
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