4.5 三角形的中位线同步练习

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4.5 三角形的中位线同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2.几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=BC．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，点D，E，F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是( )
A. DE＝DF B. EF＝AB C. S△ABD＝S△ACD D. AD平分∠BAC
2．如图，为测量池塘岸边、两点之间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点，测得、的中点、之间的距离是米，则、两点之间的距离是（ ）．
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
4．如图，在△ABC中，AC=8，BC=12，AF交BC于F，E为AB的中点，CD平分∠ACB，且CD⊥AF，垂足为D，连接DE，则DE的长为（　　）
A. 2 B. C. 3 D. 4
5．如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 50°
6．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
7．如图， 的周长为，点、都在边上， 的平分线垂直于，垂足为， 的平分线垂直于，垂足为，若．则的长为（ ）．
A. B. C. D.
8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点.已知两底之差是6，两腰之和是12，则△EFG的周长是(　　)
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
9．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题
10．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为BC边中点，已知AB=6cm，则OE的长为__cm．
11．如图，在四边形ABCD中，P是BC边上一点，∠A=∠B=90 ，E为AB的中点，连接DP，EP.若FG为△DPE的中位线，AB=AD=4，则FG=___________.
12．如图,已知点D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,点E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长是.
13．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的中点，将△ADE沿过DE折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=______度．
14．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．
三、解答题
15．如图所示．△ABC中，AD⊥BC于点D，点E、F、G分别是AB、BD、AC的中点，若EG=EF,AD+EF=12,求△ABC的面积．
16．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，如果ED＝5 cm，求HF的长.
17．如图，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．求证：四边形EFGH是平行四边形．
18．如图，AD是∠BAC的外角平分线，CD⊥AD于点D，E是BC的中点.求证：DE= (AB+AC).
19．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF。
20．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，GH平分∠EGF交EF于点H.
(1)猜想：GH与EF间的关系是____________；
(2)证明你的猜想．
参考答案
1．C
【解析】试题解析：A. ∵点D. E. F分别为△ABC各边中点，
∵AC≠AB，
∴DE≠DF，故该选项错误；
B. 由A选项的思路可知，B选项错误、
C.
故该选项正确；
D. ∵BD=CD，AB≠AC，
∴AD不平分∠BAC，
故选C.
2．C
【解析】∵点、是中、边上中点，且，
∴，
∴，
故选．
3．C
【解析】试题解析：∵点D. E分别是边AB，BC的中点，
∴DE是三角形BC的中位线，AB=2BD，BC=2BE，
∴DE∥BC且
又∵AB=2BD，BC=2BE，
∴AB+BC+AC=2(BD+BE+DE)，
即△ABC的周长是△DBE的周长的2倍，
∵△DBE的周长是6，
∴△ABC的周长是：
6×2=12.
故选C.
点睛：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.
4．A
【解析】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．
在△ACD和△FCD中，∵∠ACD＝∠FCD，CD＝CD，∠ADC＝∠FDC，∴△ACD≌△FCD，
∴FC=AC=8，AD=DF，∴BF=BC-CF=4．
∵E为AB的中点，AD=DF，∴DE是△ABF的中位线，∴DE=BF=2．故选A．
点睛：本题考查的是三角形中位线定理和三角形全等的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
5．A
【解析】∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM=AB，PN=DC，
∵AB=CD，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN=130°，
∴∠PMN=（180°-∠MPN）÷2=25°，
故选A．
6．B
【解析】试题解析：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，
∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，
∴四边形DBEF为平行四边形，
∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．
故选B．
点睛：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
7．B
【解析】∵平分， ，
∴是等腰三角形，
同理是等腰三角形，
∴点是中点，点是中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∴，
故选B.
8．B
【解析】如图，
找到AD的中点M，并连接EM
又∵E是BD的中点 ∴EM∥AB，EM=AB﹙三角形中位线的性质﹚
而AB∥CD ∴EM∥CD 又∵M是AD的中点
∴EM平分线段AC﹙平行线等分线段﹚ 而F是线段AC的中点
∴F在线段EM上 ∴FM是⊿ADC的中位线
∴FM=CD
∴EF=EM-FM=﹙AB-CD﹚=3
在⊿ADC中F是AC中点，G是CD中点 ∴FG=AD
同理得 EG=BC
∴FG+EG=﹙AD+BC﹚=6
∴⊿EFG的周长=6+3=9.
故选：B.
9．A
【解析】试题分析：根据三角形的中位线，可知DE∥AB，然后根据角平分线的性质和平行线的性质可知∠DBF=∠DFB，因此可知DB=DF=BC=3.
故选：A
10．3
【解析】试题解析：在中，
∵点E是BC的中点，
∴是三角形的中位线，
故答案为：3．
点睛：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
11．
【解析】∵点E是AB的中点，AB=4，
∴AE=AB=2.
∵∠A=90°，
∴DE=.
∵FG是△EDP的中位线，
∴FG=ED=.
点睛：本题考查了三角形中位线性质定理应用、勾股定理的应用．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
12．11
【解析】∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵BD=4，CD=3，
∴BC=，
∵点E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点，
∴EH=AD=3，EG=AD=3，EF=HG=BC=2.5，
∴四边形EFGH的周长=EH+EG+EF+HG=3+3+2.5+2.5=11.
故答案为：11.
13．80．
【解析】∵点D、E分别在边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B．
∵△ADE与△FDE关于DE对称，
∴△ADE≌△FDE，
∴∠ADE=∠FDE．
∵∠B=50°，
∴∠ADE=50°，
∴∠FDE=50°．
∵∠BDF+∠ADF=180°，
∴∠BDF=80°．
点睛:由点D、E分别在边AB、AC的中点，可以得出DE是△ABC的中位线，就可以得出∠ADE=∠B，由轴对称的性质可以得出∠ADE=∠FDE，就可以求出∠BDF的值．
14． 16
【解析】∵如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，
∴EF、FG、EG为三角形中位线，
∴EF=BC，EG=AC，FG=AB，
∴EF+FG+EG=（BC+AC+AB），即△EFG的周长是△ABC周长的一半，
同理，△A′B′C′的周长是△EFG的周长的一半，即△A′B′C′的周长为×64=16，
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（）n-1，
故答案为：16，64×（）n-1．
15．△ABC的面积为48
【解析】∵点E、F分别是AB、BD的中点，
∴AD=2EF，
∵AD+EF=12，
∴AD=8，EF=4，
∵EG= EF，
∴EG=×4=6，
∵点E、G分别是AB、AC的中点，
∴BC=2EG=2×6=12，
∵AD⊥BC于点D，
∴S△ABC= BC×AD=×12×8=48．
【点睛】本题主要利用三角形的中位线定理求解，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
16．5cm
【解析】试题分析：由三角形中位线定理和直角三角形的性质可知，DE=AC=HF．
试题解析：∵点E，D分别是AB，BC的中点，
∴DE是三角形ABC的中位线，有DE=AC，
∵AH⊥BC，点F是AC的中点，
∴HF是Rt△AHC中斜边AC上的中线，有HF=AC，
∴FH=DE=5cm．
17．见解析
【解析】试题分析：连接BD．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
试题解析：证明：连接BD.
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线,
EH∥BD.
同理得 FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
视频
18．证明过程见解析.
【解析】试题分析：直接证明DE= (AB+AC)比较困难，注意到E是BC的中点，联想到三角形的中位线定理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得.
试题解析：延长CD与BA交于F点.
∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AD，∴∠ADC=∠ADF=90°，∴∠ACD=∠F，
∴AC=AF，∴CD=DF，
∵E是BC的中点，∴DE=BF= (AB+AC).
19．见解析
【解析】试题分析：连接AC，作EM∥AD交AC于M，连接MF．根据中位线定理得到MF∥BC，且MF=BC，根据AD=BC得到EM=MF，∠MEF=∠MFE，根据平行线的性质，得到∠MEF=∠AHF，∠MFE=∠BGF．即可得到结论．
试题解析：证明：连接AC，作EM∥AD交AC于M，连接MF．如下图：
∵E是CD的中点，且EM∥AD，∴EM=AD，M是AC的中点．又∵F是AB的中点，∴MF∥BC，且MF=BC．
∵AD=BC，∴EM=MF，∴∠MEF=∠MFE．
∵EM∥AH，∴∠MEF=∠AHF．∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGF，∴∠AHF=∠BGF．
20．GH垂直平分EF
【解析】试题分析：可证明△GEF为等腰三角形，结合条件可证明GH⊥EF．
试题解析：（1）解：GH⊥EF；
（2）证明：∵G、E分别为BD、AD的中点，
∴GE是△ABD的中位线，
∴GE=AB，
同理可得GF=CD，
又AB=CD，
∴GE=GF，
又∵GH平分∠EGF交EF于点H，
∴GH⊥EF．
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