4.6 反证法同步练习

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4.6 反证法同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
2.反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．用反证法证明“若，则”，应假设（ ）．
A. B. C. ≤ D. ≥
2．用反证法证明“三角形中最多有一个直角或钝角”,第一步应假设(　　)
A. 三角形中至少有一个直角或钝角 B. 三角形中至少有两个直角或钝角
C. 三角形中没有直角或钝角 D. 三角形中三个角都是直角或钝角
3．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（ ）
A、∠A＞45°，∠B＞45° B、∠A≥45°，∠B≥45°
C、∠A＜45°，∠B＜45° D、∠A≤45°，∠B≤45°
4．用反证法证明“a＜b”时应假设（ ）
A. a＞b B. a≤b C. a=b D. a≥b
5．用反证法证明命题：“若a，b是整数，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（　　）
A. a，b都能被3整除 B. a不能被3整除
C. a，b不都能被3整除 D. a，b都不能被3整除
6．（2015秋 永嘉县校级期中）可以用来证明命题“若（x+1）（ x﹣5 ）=0，则x=﹣1”是假命题的反例为（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=5 D．x=﹣5
7．用反证法证明：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，则a，b，c中至少有一个是偶数”，下列假设中正确的是（　　）
A. 假设a，b，c都是偶数 B. 假设a，b，c都不是偶数
C. 假设a，b，c至多有一个是偶 D. 假设a，b，c至多有两个是偶数
8．对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）
A. ∠α=60 ，∠α的补角∠β=120 ，∠β>∠α
B. ∠α=90 ，∠α的补角∠β=90 ，∠β=∠α
C. ∠α=100 ，∠α的补角∠β=80 ，∠β<∠α
D. 两个角互为邻补角
9．如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC.当用反证法证明时，第一步应假设( )
A. ∠B＝∠C B. AB＝AC C. AB＝BC D. ∠A＝∠B
二、填空题
10．如图 ，已知直线AB∥CD，直线AB与EF相交于点P，那么直线EF也与直线CD相交，请在下面的推理过程中填空．
∵AB∥CD，AB.EF交于点P；
∴点P必在直线CD外．
假设直线EF和CD不相交，那么过点P就有两条直线.
AB和EF都与CD平行，这与____________公理矛盾．
∴直线EF也与直线CD相交．
11．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：_____.
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°，下面写出了用反证法证明过程中的四个步骤：①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是_________(填序号)．
13．完成下列证明．
如图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
14．夏洛特去山里寻宝，来到藏有宝藏的地方，发现这里有编号分为一，二，三，四，五的五扇大门，每扇门上都写有一句话：一，宝藏在五号大门的后面；二，宝藏或者在三号大门的后面，或者在五号的后面；三，宝藏不在五号大门的后面；四，宝藏不在此门后面；五，宝藏在二号大门的后面，夏洛特从当地人得到，五句话中只有一句是真的，那么夏洛特应该去 号大门后面寻找宝藏．
三、解答题
15．如图，在△ABC中，∠B≠∠C.求证：AB≠AC.
16．求证：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
17．用反证法证明：是一个无理数．（说明：任何一个有理数均可表示成的形式，且a，b互质）
18．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即　 　；
（2）写出命题“一次函数y=kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明
参考答案
1．C
【解析】反证法的一般步骤是先假设结论不成立，故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2 b2，
故选：C.
2．B
【解析】解：根据反证法的步骤，则可假设为三角形中至少有两个直角或钝角．故选B．
3．A．
【解析】
试题分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
试题解析：用反证法证明命题“∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°．
故选A．
考点：反证法
4．D
【解析】a，b的大小关系有a＞b，a＜b，a=b三种情况，因而a＜b的反面是a≥b； 因此用反证法证明“a＜b”时，应先假设a≥b，故选D．
5．D
【解析】反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：
“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 D．
6．C
【解析】
试题分析：作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断．
解：当x=1，﹣5时，（x+1）（ x﹣5 ）=0不成立，即不满足条件；
当x=﹣1时，（x+1）（ x﹣5 ）=0成立，满足条件，但是也满足结论；
当x=5时，（x+1）（ x﹣5 ）=0成立，满足条件，不满足结论，所以证明命题“若（x+1）（ x﹣5 ）=0，则x=﹣1”是假命题的反例是：x=5．
故选C．
考点：命题与定理．
7．B
【解析】假设a，b，c都不是偶数,故选B.
8．C
【解析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．
解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；
A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；
B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；
C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；
D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．
故选C．
9．B
【解析】试题分析：利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即AB=AC，故选B．
10．平行
【解析】∵AB∥CD，AB.EF交于点P；
∴点P必在直线CD外．
假设直线EF和CD不相交，那么过点P就有两条直线AB和EF都与CD平行，这与平行公理矛盾．
∴直线EF也与直线CD相交．
点睛：本题考查了利用平行公里和反证法证明命题，反证法的证题步骤是：(1)假设命题结论的反面成立；(2)从这个假设出发，一步步推导出与某个定理、公式或已知条件相矛盾的结论；(3)肯定原命题结论正确．
11．AB∥CD
【解析】试题分析：利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD．
12．③④①②
【解析】试题分析：利用反证法来进行证明时，首先假设结论不成立，然后根据已知条件得出与定理相矛盾，最后得出假设不成立，得出答案，故正确的序号是：③④①②．
13．直角；钝角；直角；∠A+∠B+∠C>180°；三角形的内角和等于180°；钝角；
∠A+∠B+∠C>180°；三角形的内角和等于180°
【解析】
试题分析：根据反证法的步骤，即可得到结果．
假设结论不成立，则∠B是直角或钝角．
当∠B是直角时，则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾；
当∠B是钝角时，则∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
考点：此题主要考查了反证法
点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14．四
【解析】
试题分析：由只有一句话正确可知，一号门和三号门上的话必有一个正确的，而另一个是不正确的．
假设一号门上的话正确，则四号门上的话也是正确的，假设不成立；
假设三号门的话是正确的，因为四号门上的话不正确，可知宝藏在四号门后，证明其它门上的话也是不正确的，假设成立；
所以三号门上的话是正确的，宝藏在四号门后面．
故答案为：四．
考点：推理与论证．
15．见解析
【解析】试题分析：首先假设AB=AC，从而得出与已知条件矛盾，从而得出答案．
试题解析：假设AB=AC， 则∠B=∠C，∴与已知矛盾，∴AB≠AC．
16．证明见解析.
【解析】试题分析：用反证法进行证明；先设任意三角形的三个外角中有2个直角，然后得出假设与三角形内角和定理相矛盾，从而证得原结论成立．
试题解析：假设任意三角形的三个外角中有2个直角，
因为两个外角为直角，则相邻两个内角也为90°，
再加上一个角一定大于180°，
与三角形内角和为180°矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
17．见解析
【解析】
试题分析：根据反证法的步骤，即可得到结果．
假设是一个有理数，
则存在a，b使=（a，b互质），
所以2=，所以b2=2a2．
因为2a2为偶数，所以b2为偶数，所以b为偶数．
设b=2k（k为整数），则b2=4k2，
所以4k2=2a2，所以a2=2k2，所以a为偶数，
这与a，b互相矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
考点：此题主要考查了反证法
点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
18．（1）三角形内角中全都小于60°；（2）答案见解析．
【解析】试题分析：（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案；
（2）利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案.
试题解析：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°”，
先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°，
故答案为：三角形内角中全都小于60°；
（2）逆命题：“一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”
逆命题为假命题，反例：当b=0时，一次函数图象也不过第二象限 （不唯一）．
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