5.1 矩形（2）同步练习

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5.1 矩形（2）同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
基础知识和能力拓展训练
一、选择题
1．如图ABCD是平行四边形，下列条件不一定使四边形ABCD是矩形的是（ ）
A. AC⊥BD B. ∠ABC=90° C. OA=OB=OC=OD D. AC=BD
2．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3．如图，在锐角△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，下列结论中正确的是（　　）
①OE=OF；②CE=CF；③若CE=12，CF=5，则OC的长为6；④当AO=CO时，四边形AECF是矩形．
A. ①② B. ①④ C. ①③④ D. ②③④
4．已知，线段AB，BC，∠ABC=90°，求作：矩形ABCD，以下是甲、乙两同学的作业：
对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对
5．下列识别图形不正确的是（　　）
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 有三个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
6．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（　　）
A. 5 B. C. 6 D.
7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（　　）
A. 19° B. 18° C. 20° D. 21°
8．如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（　　）
A. AC＝DE B. AB＝AC C. AD＝EC D. OA＝OE
9．如图，Rt△AOB，∠AOB=90°，BO=2， AO=4.动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，同时动点M从A点出发以每秒2个单位长度的速度向O运动，设运动的时间为t秒(0＜t＜2)．过点Q作OB的垂线交线段AB于点N， 则四边形OMNQ的形状是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 无法确定
10．有一块矩形的牧场如图1，它的周长为700米．将它分隔为六块完全相同的小矩形牧场，如图2，每一块小矩形牧场的周长是（ ）
A. 150米 B. 200米 C. 300米 D. 400米
二、填空题
11．给定下列命题：（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________
12．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是　　　　　　．（填上你认为正确的一个答案即可）
13．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是________（填上你认为正确的一个答案即可）
14．如图，菱形ABC的对角线相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE、OE、AE，AE交OD于点F，若AB=2，∠ABC=60°，则AE的长_____．
15．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为　　　　　　．
三、解答题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，点E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形.
求证：四边形ADCE是矩形.
17．如图所示，AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，OB=OD，且OA=OC，求证：四边形ABCD为矩形．
18．在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
19．（8分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．
（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；
（2）若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？
20．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE=OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
21．如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，若OE=OF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（3）若OD=OE=OF，则四边形DEBF是什么特殊的四边形，请证明．
参考答案
1．A
【解析】A. ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
故A不一定使四边形ABCD是矩形；
B. ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
C. ∵OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
D. ∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
故选A.
点睛：本题考查了矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形式矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.
2．B
【解析】试题解析：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB=3．
故选B．
点睛：对角线相等的平行四边形是矩形.
3．B
【解析】解①∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，∠4=∠6．∵MN∥BC，∴∠1=∠5，∠3=∠6，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO，∴OE=OF．故①正确；
②当AC⊥BD时，CE=CF．故②错误；
③∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．∵CE=12，CF=5，∴EF==13，∴OC=EF=6.5．故③错误；
④当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO．∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．故④正确．
故选B．
点睛：本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题的关键．
4．A
【解析】试题分析：根据甲同学的作法可得AD＝BC、CD＝AB，由此可判断四边形ABCD为平行四边形，然后加上∠ABC＝90°，则可判断四边形ABCD为矩形，由此可判断甲同学的作业正确；利用乙同学的作法，根据对角线互相平分判断四边形ABCD为平行四边形，然后加上∠ABC＝90°，则可判断四边形ABCD为矩形，由此可判断乙同学的作业正确．
所以甲乙两人的作业都对，
故选A．
点睛：本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．
5．C
【解析】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；
B．有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
C．对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形，错误；
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确．
故选C．
6．B
【解析】
过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG DM=3 2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中,
EM====.
故选B.
点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．
7．A
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．
故选A.
点睛：本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等、对边平行是解题关键．
8．B
【解析】A.连接AE，CD，则四边形ADCE是平行四边形，因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE是矩形，所以AC=DE，则A成立；B.因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CA=CB，不能得到AB=AC，则B不一定成立；C.因为四边形ADCE是矩形，所以AD=CE，OA=OE，则C，D成立，故选B.
9．B
【解析】
由题意得，AM=2t.OM=4-2t,OQ=t,BQ=2-t.
, , , .
由勾股定理得
.
， ， .
， ，， , ∴四边形OMNQ是平行四边形. ∵∠AOB=90°,∴四边形OMNQ是矩形.
故选B.
10．C
【解析】试题分析：根据题意设小长方形的长为x，宽为y，则可知2（2x+3y）=700，且2y+x=2x，解得y=50，x=100，所以小长方形的周长为300米.
故选：C.
11．（1）、（2）、（4）
【解析】（1）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.
12．∠A=90°．
【解析】添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°．
【方法点睛】根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．
13．∠DAB=90°
【解析】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．
14．
【解析】在菱形ABCD中，OC=AC，AC⊥BD，
∴DE=OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD=AB=AC=2，OA=AC=1，
在矩形OCED中，由勾股定理得：CE=OD===，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE===；
故答案是：．
15．4.8
【解析】试题解析：∵AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP=，
∴EF的最小值为．
故答案为4.8．
点睛：此题考查了矩形的判定与性质：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
16．证明见解析
【解析】整体分析：
用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ADCE是平行四边形，再证明AC=DE即可.
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，AB=DE.
∵D为BC中点，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AB=AC，
∴AC=DE.
∴四边形ADCE是矩形
17．见解析
【解析】整体分析：
先证明∠DAB=90°，再用对角线互相平分证明四边形ABCD是平行四边形即可求证.
证明：∵AF是∠MAC角平分线，AE是∠NAC的角平分线，
∴∠CAF=∠CAM，∠CAB=∠CAN，
∴∠CAF+∠CAB=（∠CAM+∠CAN）=90°，即∠DAB=90°
∵OD=OB，OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
18．（1）详见解析；（2）20.
【解析】试题分析:(1)根据有一个角是90度的平行四边形是矩形可判定,
(2)首先证明AD=DF,求出AD即可解决问题.
试题解析: （1）∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,即BE∥DF,
∵CF=AE,
∴DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形.
(2)因为AB∥CD ,所以∠BAF=∠AFD,因为AF平分∠BAD,所以∠DAF=∠AFD,所以AD=DF,在直角三角形ADE中,因为AE=3,DE=4,所以AD=5,所以矩形的面积为20.
19．（1）是；（2）t=2或16﹣2=14
【解析】整体分析：
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；（2）根据EF=BD=12，分两种情况列出关于t的方程求解.
解：（1）是．
理由：在平行四边形ABCD中，则OD=OB，OA=OC，
∵E、F两点移动的速度相同，即AE=CF，
∴OE=OF，
又∵OD=OB
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）因为矩形对角线相等，所以当EF=12时，其为矩形，
即16-2t=12，或2t-16=12，
解得t=2或t=14.
所以当t=2或14时，四边形DEBF是矩形．
20．证明见解析
【解析】试题分析：（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，则可求得OE=OC=OF；
（2）利用（1）的结论，结合条件可证得四边形DECF为平行四边形，再利用角平分线的定义可求得∠ECF为直角，则可证得四边形DECF为矩形．
试题解析：解：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF．
∵EF∥BC，∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，∴OE=OC，OF=OC，∴OE=OF；
（2）∵点O为CD的中点，∴OD=OC．又∵OE=OF，∴四边形DECF是平行四边形．
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，∴∠DCE=∠BCD，∠DCF=∠DCG，∴∠DCE+∠DCF=（∠BCD+∠DCG）=90°，即∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形．
点睛：本题主要考查平行线的性质及矩形的判定，证得OE=OF，得出四边形DECF是平行四边形是解题的关键，注意角平分线的应用．
21．见解析
【解析】整体分析：
（1）用ASA证明△BOE≌△DOF；（2）连接DE、BF，用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；（3）四边形DEBF是平行四边形，且对角线相等.
（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEO，
在△BOE和△DOF中，
∠DFE=∠BEO，OF=OE，∠DOF=∠EOB，
∴△BOE≌△DOF．
（2）证明：连接DE、BF．
∵△BOE≌△DOF，
∴OD=OB，∵OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（3）若OD=OE=OF，则四边形DEBF是矩形．
理由：∵OD=OE=OF=OB，
∴BD=EF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是矩形．
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