第5章 特殊平行四边形单元检测提高卷（含解析）

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第5章 特殊平行四边形单元检测提高卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题（本大题共12小题）
如图是一张矩形纸片， ，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（　　）21cnjy.com
A． B． C． D．
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菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )，BD=2，则菱形ABCD的面积为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．6 ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．8 ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所 ( http: / / www.21cnjy.com )在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）
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A．2 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．1
如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4，则点P到BC的距离等于（　　）【版权所有：21教育】
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A．4 B．6 C．8 D．10
把两块形状大小完全相同的含有角的三角板的一边拼在一起，则所得到的图形不可能有（ ）
A．正方形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D、平行四边形（非矩形、菱形、正方形）　
如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（　　）
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A．5 B．4 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形
如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )
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A．4 B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．5
下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，矩形EFGH四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ( http: / / www.21cnjy.com / )时，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )为（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B．2 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．4
如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com )摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）
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A．n B． n﹣1 C．（）n﹣1 D． n
如图，对正方形纸片ABCD进行如下操作：
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（1）过点D任作一条直线与BC边相交于点E1（如图①），记∠CDE1=a1；
（2）作∠ADE1的平分线交AB边于点E2（如图②），记∠ADE2=a2；
（3）作∠CDE2的平分线交BC边于点E3（如图③），记∠CDE3=a3；
按此作法从操作（2）起重复以上步骤，得到a1，a2，…，an，…，现有如下结论：
①当a1=10°时，a2=40°；
②2a4+a3=90°；
③当a5=30°时，△CDE9≌△ADE10；
④当a1=45°时，BE2= ( http: / / www.21cnjy.com / )AE2．
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题）
菱形的一个内角为120°，平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为　　　　　　．
如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=　 　．21·cn·jy·com
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如图，矩形ABCD中，对角线AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B’处，则AB= ；
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如图，在矩形ABCD中，AB=16，BC=12，顺次连结各边中点，得菱形;再顺次连结菱形的各边中点，得矩形；再顺次连结矩形的各边中点，得菱形，……这样继续下去.则图中的四边形的周长等于 ，图中的四边形的面积等于 .
菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，顶点B(2，0)，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，﹣1)，当EP+BP最短时，点P的坐标为 _____________
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已知正方形ABCD中，AC、BD交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，连AE，将△ADE沿AD翻折，得△ADE′，点F是AE的中点，连CF、DF、E′F．若DE=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则四边形CDE′F的面积是　　．
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三、解答题（本大题共8小题）
已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．
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如图，在矩形ABCD中，BF=CE.求证：AE=DF.
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在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．
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如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；
（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
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如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．
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在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
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如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．21*cnjy*com
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．
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定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．
②若AC⊥BD，求证：AD=CD，
（2）如图2，在矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．
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第5章 特殊平行四边形单元检测提高卷卷答案解析
一 、选择题
A 解析：由折叠知，四边形为正方形，∴ .
【分析】根据中位线定理可得对角线AC的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案．
解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AC=2EF=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
又∵BD=2，
∴菱形ABCD的面积S= ( http: / / www.21cnjy.com / )×AC×BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )×2 ( http: / / www.21cnjy.com / )×2=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选：B．
【分析】利用菱形的性质，得BD平分∠ABC，利用角平分线的性质，得结果．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥AB，PE=4，
∴点P到BC的距离等于4，
故选A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质和角平分线的性质，运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
【考点】正方形、等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形（非矩形、菱形、正方形）的定义
【分析】根据常识可知，含有45°角的三 ( http: / / www.21cnjy.com )角板为等腰直角三角形，故可知，当斜边拼在一起可得正方形，将一条直角边拼在一起可得等腰直角三角形和平行四边形，即只有B选项不符题意．2·1·c·n·j·y
解：将两块三角板的斜边拼在一起可得正方形，
将一条直角边拼在一起可得等腰直角三角形和平行四边形．
故选B．
点评：本题主要考查了学生对几何图形的认识和判定，利用学过的知识来探索和发现新的问题．
【考点】矩形的性质．
【分析】已知OM是△ADC的中位线 ( http: / / www.21cnjy.com )，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∴OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴BO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选D．
【考点】中点四边形
【分析】根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形
解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，
求证：四边形EFGH是菱形．
证明：连接AC、BD．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=AC．
同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
故选C．
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【考点】菱形的性质．
【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC BD可得答案．
解：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，
∴AC⊥BD，AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC，BD=2BO，
∴∠AOB=90°，
∵AC=6，
∴AO=3，
∴B0= ( http: / / www.21cnjy.com / )=4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com / )×AC DB= ( http: / / www.21cnjy.com / )×6×8=24，
∴BC AE=24，
AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故选：C．
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【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．
②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．
③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．
⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．
正确的只有③，
故选A．
【考点】菱形的性质，翻折变换（折叠问题）
【分析】依题可得阴影部分是菱形.设 ( http: / / www.21cnjy.com )S菱形ABCD=16,BE=x.从而得出AB=4，阴影部分边长为4-2x.根据（4-2x）2=1求出x,从而得出答案. 【来源：21·世纪·教育·网】
解：依题可得阴影部分是菱形.
∴设S菱形ABCD=16,BE=x.
∴AB=4.
∴阴影部分边长为4-2x.
∴（4-2x）2=1.
∴4-2x=1或4-2x=-1.
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com / )或x= ( http: / / www.21cnjy.com / )（舍去）.
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / ).
故答案为A．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．
解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．
故选：B．
点评： 此题考查了正方形的性质，解决本 ( http: / / www.21cnjy.com )题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
【分析】①根据角平分线的定义计算即可；
②根据题意、结合图形计算；
③根据全等三角形的判定定理证明；
④作E2F⊥BD于F，根据等腰直角三角形的性质得到BE2= ( http: / / www.21cnjy.com / )FE2，根据角平分线的性质得到AE2=FE2，等量代换即可．21世纪教育网版权所有
解：①当a1=10°时，a2= ( http: / / www.21cnjy.com / )=40°，①正确；
②由图③可知，2a4+a3=90°，②正确；
③当a5=30°时，a9=30°，a10=30°，
在△CDE9和△ADE10中，
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△CDE9≌△ADE10，③正确；
④当a1=45°时，点E1与点B重合，
作E2F⊥BD于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴BE2= ( http: / / www.21cnjy.com / )FE2，
∵DE2平分∠ADB，E2F⊥BD，∠A=90°，
∴AE2=FE2，
∴BE2= ( http: / / www.21cnjy.com / )AE2，④正确，
故选：D．
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【点评】本题考查的是正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等、全等三角形的判定定理是解题的关键．
二 、填空题
【考点】 菱形的性质．
【分析】 首先根据题意画出图形，然后由菱形的一个内角为120°，可得△ABC是等边三角形，继而求得边长，则可求得答案．21教育网
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=11厘米，
∴菱形的周长为：44厘米．
故答案为：44厘米．
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点评： 此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【分析】由菱形的性质可 ( http: / / www.21cnjy.com )知O为BD中点，所以OE为直角三角形BED斜边上的中线，由此可得OE=OB，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠OED的度数．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=OB，
∵DE⊥BC于E，
∴OE为直角三角形BED斜边上的中线，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD，
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠ABC=140°，
∴∠OBE=70°，
∴∠OED=90°﹣70°=20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到OE为直角三角形BED斜边上的中线是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
解：由折叠知，三角形ABE与三角形A ( http: / / www.21cnjy.com / )E全等，所以，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com / )，BE＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )E，
∠A ( http: / / www.21cnjy.com / )E＝∠ABE＝90°
又BC＝3BE，有EC＝2BE，所以，EC＝2 ( http: / / www.21cnjy.com / )E，所以，∠ACE＝30°，∠BAC＝60°，
又由折叠知：∠ ( http: / / www.21cnjy.com / )AE＝∠BAE＝30°，所以，∠EAC＝∠ECA＝30°，
所以，EA＝EC，又∠A ( http: / / www.21cnjy.com / )E＝90°，由等腰三角形性质，知 ( http: / / www.21cnjy.com / )为AC中点，
所以，AB＝A ( http: / / www.21cnjy.com / )＝ ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：在矩形ABCD中，AB=16，BC=12，根据题意可得：菱形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的两条对角线的长分别等于矩形ABCD的两边长16，12，所以菱形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的面积= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )矩形ABCD的面积；矩形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的两边长分别等于矩形ABCD的两边长的 ( http: / / www.21cnjy.com / )，所以矩形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的周长=矩形ABCD的周长的 ( http: / / www.21cnjy.com / )=28，，以此类推可得菱形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的面积=矩形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的面积的 ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，矩形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的的周长=矩形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的周长的 ( http: / / www.21cnjy.com / )=矩形ABCD的周长的 ( http: / / www.21cnjy.com / )=14，．．．．．
所以四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的周长= ( http: / / www.21cnjy.com / )，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com / )的面积= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题
【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可
解：如图，连接DE交OC于点P，即点P满足EP+BP最短.
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如图，延长CD交y轴于点F，则CF⊥y轴，
∵四边形OBCD是菱形，
∵OD=CD=OB=2，
∵∠DOB=60°，则∠DOF=30°，
∴DF=1，OF= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴D(1, ( http: / / www.21cnjy.com / ))，C(3， ( http: / / www.21cnjy.com / ))，
设直线DE的解析式为 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
设直线OC的解析为 ( http: / / www.21cnjy.com / )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com / )，则 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
由 ( http: / / www.21cnjy.com / )，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴点P的坐标为 ( http: / / www.21cnjy.com / ).
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线、中线和高；等腰直角三角形；正方形的性质．
【分析】先连接EC、EE′，设EE′交 ( http: / / www.21cnjy.com )AD于N，根据正方形的性质以及折叠的性质，求出NE、ND的长，以及正方形ABCD的对角线长和边长，再根据CF是△ACE的中线，求出△ACF的面积，根据E′F是△AE′E的中线，求出△AE′F的面积，最后根据四边形CDE′F的面积=S梯形ACDE′﹣S△ACF﹣S△AE′F进行计算，即可解决问题．
解：连接EE′，交AD于N，连接CE，
在正方形ABCD中，∠EDN=45°，
由折叠得，AD垂直平分EE′，且∠EDN=∠E′DN=45°，DE=DE′，
∴△DEE′、△DEN、△DE′N均为等腰直角三角形，
∵DE=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com / )，DN=EN=E′N=2，DO=3 ( http: / / www.21cnjy.com / )，DE′=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AC=6 ( http: / / www.21cnjy.com / )，AD=6，
∵EO⊥AC，
∴S△ACE= ( http: / / www.21cnjy.com / )×6 ( http: / / www.21cnjy.com / )× ( http: / / www.21cnjy.com / )=6，
又∵点F是AE的中点，
∴S△ACF= ( http: / / www.21cnjy.com / )×S△ACE=3，
∵AN⊥EE′，AN=AD﹣DN=6﹣2=4，
∴S△AE′E= ( http: / / www.21cnjy.com / )×4×4=8，
又∵点F是AE的中点，
∴S△AE′F= ( http: / / www.21cnjy.com / )×S△AE′E=4，
∵∠E′DO=∠AOD=90°，
∴DE′∥AC，
∴S梯形ACDE′= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=24，
∴四边形CDE′F的面积=S梯形ACDE′﹣S△ACF﹣S△AE′F=24﹣3﹣4=17．
故答案为：17
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三 、解答题
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．
【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．2-1-c-n-j-y
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，
∴AD=2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，
在△ADE和△CDF中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21·世纪*教育网
【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】根据矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出BE=CF，根据SAS推出△ABE≌△DCF即可；21*cnjy*com
解： ∵四边形ABCD是矩形.
∴AB=CD ∠ABC=∠DCB
∵BF=CE
∴BC-BF=BC-CE
即BE=FC
∴△ABE≌△DCF（SAS）
∴AE=DF
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．
（2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD的值是多少；然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周长是多少【出处：21教育名师】
解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AO=CO． ∴∠MAO=∠NCO．
在△AOM与△CON中， ( http: / / www.21cnjy.com / )∴△AOM≌△CON．∴OM=ON．
（2）依题意，DE∥AC，又AC⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BD，AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，DE⊥BD．∴CE=AD=AB=BC=6，DE=AC=8．21教育名师原创作品
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，得 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
∴△BDE的周长为BD＋BE＋DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )＋20．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【分析】（1）由图示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
（2）根据SAS证明△DAE与△ABF全等，利用全等三角形的性质即可证明．
解：（1）与∠AED相等的角有 ( http: / / www.21cnjy.com / ).
（2）选择 ( http: / / www.21cnjy.com / )：
正方形ABCD中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
又∵AF=DE，∴ ( http: / / www.21cnjy.com / ).∴ ( http: / / www.21cnjy.com / ).
或选择∠DAG=∠AED，证明如下：
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，
∵AF=DE，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，
∴∠DAG=∠AED．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．.
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=C ( http: / / www.21cnjy.com )B，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可；www.21-cn-jy.com
（2）由△ABG≌△CBE，得出对应 ( http: / / www.21cnjy.com )角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．
（1）证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；
（2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BCE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAG+∠AMB=90°，
∵∠AMB=∠CMN，
∴∠BCE+∠CMN=90°，
∴∠CNM=90°，
∴AG⊥CE．
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点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行线得出∠CED=∠BFD，根据AAS推出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出DE=DF，根据BD=DC推出四边形是平行四边形，求出∠BEC=90°，根据矩形的判定推出即可．
（1）证明：∵CE∥BF，
∴∠CED=∠BFD，
∵D是BC边的中点，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDE中
( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△BDF≌△CDE（AAS）；
（2）四边形BFCE是矩形，
证明：∵△BDF≌△CDE，
∴DE=DF，
∵BD=DC，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵BD=CD，DE= ( http: / / www.21cnjy.com / )BC，
∴BD=DC=DE，
∴∠BEC=90°，
∴平行四边形BFCE是矩形．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，平行四边形的判定的应用，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B=∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．
（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形．
证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
∴△BED≌△CFD．
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
∵∠A=90°，
∴四边形DFAE为矩形．
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF．
∴四边形DFAE为正方形．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质以及矩形、正方形的判定．解答此题的关键是利用等腰三角形的两个底角相等，从而证明Rt△BED和Rt△CFD中的两个锐角对应相等．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；
②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；
（2）若EF⊥BC，则AE≠E ( http: / / www.21cnjy.com )F，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；
解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，
∴S四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BD=AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
（2）如图1中，连接AC、BD．
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴AD=CD．
（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，
∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．
若EF与BC不垂直，
①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，
∴AE=AB=5．
②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，
∴BF=AB=5，
∵DE∥BF，
∴DE：BF=PD：PB=1：2，
∴DE=2.5，
∴AE=9﹣2.5=6.5，
综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．
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