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新浙教版八下数学《第5章 特殊平行四边形》
单元测试卷
温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟.
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）21教育网
A．6 B．5 C．2 D．3
2．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）2·1·c·n·j·y
A．5 B．2 C． D．
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．AD=BC，AB∥CD D．∠BAD=∠ADC
4．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）2-1-c-n-j-y
A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD
5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）21·世纪*教育网
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
7．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）21*cnjy*com
A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC
C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°
8．已知正方形ABCD，点E在边AB上，以CE为边作正方形CEFG，如图所示，连接DG．求证：△BCE≌△DCG．甲、乙两位同学的证明过程如下，则下列说法正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
甲：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形
∴CB=CD CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD
∴∠BCE=∠GCD
∴△BCE≌△DCG（SAS）
乙：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形
∴CB=CD CE=CG
且∠B=∠CDG=90°
∴△BCE≌△DCG（HL）
A．甲同学的证明过程正确 B．乙同学的证明过程正确
C．两人的证明过程都正确 D．两人的证明过程都不正确
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）【出处：21教育名师】
A．（﹣2，0） B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，10）
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，∠OAD=65°．则∠ODC= ．【来源：21·世纪·教育·网】
12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 ．【版权所有：21教育】
13．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．21教育名师原创作品
14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD=6，AC=8，则四边形周长为 ，面积为 ．
15．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE= 21*cnjy*com
16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OG=AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形ODGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，AF=ED．
求证：四边形AEDF是菱形．
18．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当BC=2AB，求∠BEC的大小．
19．（8分）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．21世纪教育网版权所有
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= ．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面积．
21．（8分）如图，在 ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4，求∠C的大小．
22．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF．21cnjy.com
（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；
（2）直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
23．（10分）将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，21·cn·jy·com
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
24．（10分）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
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新浙教版八下数学《第5章 特殊平行四边形》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．5 C．2 D．3
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，
∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵AE⊥BD，AE=3，
∴AB==2，
故选：C．
2．如图，已知菱形ABCD对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．5 B．2 C． D．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，
∴AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，∠BOC=90°，
∴BC==5（cm），
∴AE×BC=BO×AC
故5AE=24，
解得：AE=．
故选：C．
3．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）21*cnjy*com
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．AD=BC，AB∥CD D．∠BAD=∠ADC
解：A、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B、根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C、不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D、由平行四边形ABCD中AB∥CD，可得∠BAD+∠ADC=180°，又∠BAD=∠ADC，得出∠BAD=∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；www-2-1-cnjy-com
故选：C．
4．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）21教育名师原创作品
A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD
解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
∴EF=GH=AB，EH=FG=CD，
∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：D．
5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；21世纪教育网版权所有
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项错误；
C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项错误；2-1-c-n-j-y
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项正确；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）21*cnjy*com
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：×4×3=×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选：C．
7．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC
C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°
解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×AE=CD×AF，
∴BC=CD，即AB=BC．故B正确；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；
AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故选：D．
8．已知正方形ABCD，点E在边AB上，以CE为边作正方形CEFG，如图所示，连接DG．求证：△BCE≌△DCG．甲、乙两位同学的证明过程如下，则下列说法正确的是（ ）21·世纪*教育网
甲：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形
∴CB=CD CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD﹣∠ECD=∠ECG﹣∠ECD
∴∠BCE=∠GCD
∴△BCE≌△DCG（SAS）
乙：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形
∴CB=CD CE=CG
且∠B=∠CDG=90°
∴△BCE≌△DCG（HL）
A．甲同学的证明过程正确 B．乙同学的证明过程正确
C．两人的证明过程都正确 D．两人的证明过程都不正确
解：甲同学的证明过程正确；而乙同学的证明过程错误；
因为从已知不能确定A、D、G三点共线，
即不能推出∠GDC=90°，
故选：A．
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）【出处：21教育名师】
A．（﹣2，0） B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，10）
解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB=BC=5，BD=5﹣3=2；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故选：C．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①③④
解：根据已知条件不能推出OA=OD，∴①错误；
∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，∴②正确；
∵∠BAC=90°，∠AED=∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEDF是正方形，∴③正确；
∵AE=AF，DE=DF，
∴AE2+DF2=AF2+DE2，∴④正确；
∴②③④正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．如图平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB，∠OAD=65°．则∠ODC= 25° ．www.21-cn-jy.com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ODA=∠OAD=65°，
∴∠ODC=∠ADC﹣∠ODA=25°．
故答案为：25°．
12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 3 ．【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP==3．
故答案为：3．
13．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 4 s后，四边形ABPQ成为矩形．【版权所有：21教育】
解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP=AQ得
3x=20﹣2x．
解得x=4，
故答案为：4．
14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC与BD互相垂直且平分，BD=6，AC=8，则四边形周长为 20 ，面积为 24 ．
解：∵AC与BD互相垂直且平分，
∴AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵BD=6，AC=8，
∴OA=AC=4，OB=BD=3，
∴AB==5，
∴四边形周长为：20，面积为：×6×8=24．
故答案为：20，24．
15．如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE= 3
解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3，
故答案为：3
16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ①④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OG=AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形ODGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=CD=AB，①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，AF=ED．
求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵AD是△ABC的角平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE∥AC，ED=AF
∴四边形AEDF是平行四边形
∴∠EAD=∠ADF
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF
∴四边形AEDF是菱形．
18．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD的中点，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当BC=2AB，求∠BEC的大小．
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE．
∴△ABE≌DCE．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠A=90°．
∵BC=2AB，
∴AD=2AB，
∵AD=2AE，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
同理可得∠DEC=45°，
∴∠BEC=180°﹣∠AEB﹣∠DEC=180°﹣45°﹣45°，
∴∠BEC=90°．
19．（8分）探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．21教育网
求证：∠ANC=∠ABE．
应用：Q是线段BC的中点，若BC=6，则PQ= 3 ．
证明：∵四边形ANMB和ACDE是正方形，
∴AN=AB，AC=AE，∠NAB=∠CAE=90°，
∵∠NAC=∠NAB+∠BAC，∠BAE=∠BAC+∠CAE，
∴∠NAC=∠BAE，
在△ANC和△ABE中
∴△ANC≌△ABE（SAS），
∴∠ANC=∠ABE．
解：∵四边形NABM是正方形，
∴∠NAB=90°，
∴∠ANC+∠AON=90°，
∵∠BOP=∠AON，∠ANC=∠ABE，
∴∠ABP+∠BOP=90°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BOP=90°，
∵Q为BC中点，BC=6，
∴PQ=BC=3，
故答案为：3．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，求△OEC的面积．
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=CD=1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，
∴∠EDC=45°，
在Rt△EDC中，EC=CD=2，
∴△OEC的面积= EC OF=1．
21．（8分）如图，在 ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．
（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若菱形ABEF的周长为16，AE=4，求∠C的大小．
解：（1）在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图，连结BF，交AE于G．
∵菱形ABEF的周长为16，AE=4，
∴AB=BE=EF=AF=4，AG=AE=2，∠BAF=2∠BAE，AE⊥BF．
在直角△ABG中，∵∠AGB=90°，
∴cos∠BAG===，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAE=60°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAF=60°．
22．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB和AC于点E、F，垂足为O，连接DE、DF．21cnjy.com
（1）判断四边形AEDF的形状，并证明；
（2）直接写出△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：（1）四边形AEDF是菱形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
∵，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；
（2）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．
23．（10分）将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，21·cn·jy·com
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
解：（1）四边形DHBG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，
∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．
在△DAB和△DEB中，，
∴△DAB≌△DEB（SAS），
∴∠ABD=∠EBD．
∵AB∥CD，DF∥BE，
∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB=∠EBD，
∴∠HDB=∠HBD，
∴DH=BH，
∴ DHBG是菱形．
（2）由（1），设DH=BH=x，则AH=8﹣x，
在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2，即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，即BH=5，
∴菱形DHBG的面积为HB AD=5×4=20．
24．（10分）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°
综上所述，∠EFC=120°或30°．
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