浙教新版八下第四章反证法专题训练（含答案）

浙教新版八下第四章反证法专题训练
一．选择题（共15小题）（每小题2分，共30分）
1．用反证法证明“a＞b”时，应假设（　　）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b
2．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设（　　）
A．a2＜b2 B．a2=b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
3．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°
4．用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（　　）
A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF
C．假设CD和EF不平行 D．假设AB和EF不平行
5．用反证法证明“a＜b”，应先假设（　　）
A．a≠b B．a＞b C．a=b D．a≥b
6．用反证法证明命题“四边形四个内角中至少有一个角大于等于90°”，我们应该假设（　　）
A．四个角都小于90°
B．最多有一个角大于或等于90°
C．有两个角小于90°
D．四个角都大于或等于90°
7．用反证法证明“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，第一步应假设为（　　）
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数
8．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
9．用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角大于或等于90°，应先假设（　　）
A．四边形中每一个内角都小于90°
B．四边形中最多有一个内角不小于90°
C．四边形中每一个内角都大于90°
D．四边形中有一个内角大于90°
10．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）
A．5 B．12 C．14 D．16
11．用反证法证明“若a∥c，b∥c，则a∥b”，第一步应假设（　　）
A．a∥b B．a与b垂直
C．a与b相交 D．a与b不一定平行
12．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
13．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设（　　）
A．a不垂直于c B．b不垂直于c C．c不平行于b D．a不平行于b
14．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（　　）21cnjy.com
A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A＞45°，∠B＞45°
15．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　）
A．5 B．2 C．4 D．8
　
二．填空题（共10小题）（每小题2分，共20分）
16．用反证法证明“若a＞b＞0，则a2＞b2”，应假设　 　．
17．用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步　 　．21·cn·jy·com
18．已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假设　 　．
19．要用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，首先应假设　 　．
20．用反证法证明：一个三角形中，最大的内角不小于60°，首先假设　 　．
21．用反证法证明命题：四边形中至少有一个角是钝角或直角，则应假设：　 　．
22．用反证法证明：“三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设这个三角形中　 　．
23．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设　 　．www.21-cn-jy.com
24．用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”，证明过程大致分　 　步，第一步是假设　 　．2·1·c·n·j·y
25．用反证法证明：在同一个三角形中，如果两条边不等，那么他们所对的角也不想等．第一步假设　 　．【来源：21·世纪·教育·网】
　
三．解答题（共10小题）（每小题5分，共50分）
26．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．
用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）21教育网
29．用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角．
30．阅读以下证明过程：
已知：在△ABC中，∠C≠90°，设AB=c，AC=b，BC=a．求证：a2+b2≠c2．
证明：假设a2+b2=c2，则由勾股定理逆定理可知∠C=90°，这与已知中的∠C≠90°矛盾，故假设不成立，所以a2+b2≠c2．21·世纪*教育网
请用类似的方法证明以下问题：
已知：a，b是正整数，若关于x的一元二次方程x2+2a（1﹣bx）+2b=0有两个实根x1和x2，求证：x1≠x2．www-2-1-cnjy-com
31．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．
32．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即　 　；2-1-c-n-j-y
（2）写出命题“一次函数y=kx+b，若k＞0，b＞0，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明．21*cnjy*com
33．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
34．用反证法证明：在△ABC中，如果M、N分别是边AB、AC上的点，那么BN、CM不能互相平分．
35．用反证法证明“一个三角形中不可能有两个角是钝角”
已知：△ABC
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角
证明：假设．
　

浙教新版八下第四章反证法专题训练答案
　
一．选择题
1.B．2．C．3．A．4．C．5．D．6．A．7．B．8．A．
9．A．10．C．11．C．12．D．13．D．14．D．15．B．
二．填空题（共10小题）
16．a2≤b2，17．这个三角形是等腰三角形．18．∠B≥90°．
19．两个锐角都大于45°．20．最大的内角小于60°．
21．四边形中四个角都小于90度．22．至少有两个角是钝角．
23．这五个数都小于．24．3，在一个三角形中，没有一个内角小于或等于60°．
25．它们的对边相等．
三．解答题（共10小题）
26．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，
∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．
　
27．证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；21世纪教育网版权所有
所以一个三角形中不能有两个直角．
　
28．证明：假设PB≥PC．
把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，
∵PB≥PC，PB=CD，
∴CD≥PC，
∴∠CPD≥∠CDP，
又∵AP=AP，
∴∠APD=∠ADP，
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，
又∵∠APB=∠ADC，
∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB≥PC不成立，
综上所述，得：PB＜PC．
　
29．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，
而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，
而∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．
综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．
故等腰三角形两底角必为锐角
　
30．证明：假设x1=x2，
则方程x2﹣2abx+2a+2b=0有两个相等的实数根，
∴△=4a2b2﹣8a﹣8b=4a2b2﹣4（2a+2b）=0，
则a2b2=2a+2b，a2b2=2（a+b）．
∵a、b是正整数，
∴2（a+b）是偶数，
∴a2b2也是偶数，
又∵a、b为正整数，
∴a、b中必有一个是2的倍数，不妨设a是偶数，即a是2的倍数，则a2是4的倍数．
∴a2b2是4的倍数．
∴a+b是2的倍数．
∵a是2的倍数，a2b2=2（a+b），
∴=a+b，=，
=+．
∵a、b是偶数，
∴位正偶数，
∴+为正整数．
又∵a、b位偶数，
∴a=b=2，
此时，a2b2=16，而2（a+b）=8，
a2b2≠2（a+b）与事实不符．
∴△≠0，即x1≠x2．
　
31．证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．
　
32．解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．
先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于60°；
故答案为：三角形内角中全都小于60°；
（2）逆命题：“一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则k＞0，b＞0，”
逆命题为假命题，反例：当b=0时，一次函数图象也不过第二象限 （不唯一）．
　
33．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1=∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，
∴∠A+∠B=180°﹣∠2，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=180°﹣∠2，
∴∠1=∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1=∠A+∠B．
　
34．已知在△ABC中，M、N分别是边AB、AC上的点，
求证：BN、CM不能互相平分．
证明：假设BN、CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，
则BM∥CN，即：AB∥AC，这与在△ABC中，AB、AC交于A点相矛盾，
所以BN、CM能互相平分结论不成立，
故BN、CM不能互相平分，
　
35．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，不妨设∠A、∠B为钝角，
∴∠A+∠B＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．