第5章 特殊平行四边形单元检测基础卷（含解析）

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第5章 特殊平行四边形单元检测基础卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
1 、选择题（本大题共12小题）
矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A．14 B．16 C．17 D．18
如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）
A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　）21*cnjy*com
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A．2 B．3 C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D．2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（　　）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C．12 D．24
如图，小贤同学为了体验四边形的不稳定性 ( http: / / www.21cnjy.com )，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( ). 【出处：21教育名师】
A． 四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B. BD的长度变大
C. 四边形ABCD的面积不变 D. 四边形ABCD的周长不变
下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形
②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
③对角线相等的四边形一定是矩形
④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　）21*cnjy*com
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A．3.5 B．4 C．7 D．14
如图所示，四边形OABC为正方形，边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为，P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（　　）
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　 A． 2 ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． 4 D． 6
在△ABC中，点D是边BC上的点（与B， ( http: / / www.21cnjy.com )C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）
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A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
若四边形的对角线互相垂直且相等，则它一定是（　　）
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）
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A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
1 、填空题（本大题共6小题）
在四边形ABCD中，已知 ( http: / / www.21cnjy.com / )，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是 ．www.21-cn-jy.com
如图， ABCD的顶点B ( http: / / www.21cnjy.com )在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为　 　．21教育名师原创作品
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如图，在菱形ABCD中，AC=2，∠ABC=60°，则BD=　 　．
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如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是　　　　　　．
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如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为　 　．
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如图，边长为4的正方形ABCD，点P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC=1，则PC+PE的最小值是　 　．
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1 、解答题（本大题共8小题）
如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE。求证：四边形BECD是矩形
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如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
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如图，在正方形 ( http: / / www.21cnjy.com / )中， ( http: / / www.21cnjy.com / )是边 ( http: / / www.21cnjy.com / )的中点， ( http: / / www.21cnjy.com / )是边 ( http: / / www.21cnjy.com / )的中点，连结 ( http: / / www.21cnjy.com / )、 ( http: / / www.21cnjy.com / ).
求证: ( http: / / www.21cnjy.com / ).
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如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，请只用无刻度的直尺作图
（1）如图1，在BC上找点F，使点F是BC的中点；
（2）如图2，在AC上取两点P，Q，使P，Q是AC的三等分点．
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已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．
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正方形的边长为2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，0），并写出另外三个顶点的坐标．
如图，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．求证：四边形DECF为菱形．
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如图，在△和△中，AB=DC，AC=DB QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) 与DB交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求证：△≌△；
（2）过点作∥，过点作∥，与交于点 ，试判断线段与的数量关系，并证明你的结论．
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第5章 特殊平行四边形单元检测基础卷答案解析
1 、选择题
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 即可推出答案．
解：A．对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故 A 选项错误；
B．对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故 B 选项错误；
C．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故 C 选项正确；
D．对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故 D 选项错误； 故选：C．
【考点】三角形中位线定理、矩形的性质、直角三角形斜边上的中线
【分析】根据题意可知PE是△ADC的中 ( http: / / www.21cnjy.com )位线，所以PE的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BP的长，进而求出四边形ABPE的周长．
解：∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，
∴PE= ( http: / / www.21cnjy.com / )CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB=3，
∵AB=6，AD=8，
∴AC=10，
∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BP= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC=5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AE+BP+PE=6+4+5+3=18，
故选D
解：折痕的最小值为矩形的宽，最大为矩形的对角线，则折痕x的长度的取值范围为5cm≤x≤ ( http: / / www.21cnjy.com / )cm，则本题中折痕的长不可能为8cm.
故选 A
【考点】菱形的性质．
【分析】首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．
解：∵四边形ABCD菱形，
∴AC⊥BD，BD=2BO，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAO=60°，
∴BO=sin60° AB=2× ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴BD=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选：D．
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【考点】菱形的性质．
【分析】设对角线相交于点O，根据菱 ( http: / / www.21cnjy.com )形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．21教育网
解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC= ( http: / / www.21cnjy.com / )×8=4，
BO= ( http: / / www.21cnjy.com / )BD= ( http: / / www.21cnjy.com / )×6=3，
由勾股定理的，AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB DH= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC BD，
即5DH= ( http: / / www.21cnjy.com / )×8×6，
解得DH= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选A．
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【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．
【考点】矩形的性质；平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形和矩形的判定和性质进行判定。
解：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，∴AD=BC，AB=DC，∴四边形变成平行四边形，故A正确；
BD的长度增加，故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，∴面积变小了，故C错误；
∵四边形的每条边的长度没变，∴周长没变，故D正确，
故选C．
【考点】中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．
【分析】根据三角形的中位线性质、平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐个判断即可．21cnjy.com
解：∵四边相等的四边形一定是矩形，∴①错误；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有1个，
故选D．
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB．
解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com / )AB= ( http: / / www.21cnjy.com / )×7=3.5．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．2·1·c·n·j·y
【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理．
【分析】 要求PD+PA和的最小值，PD，PA不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PD，PA的值，从而找出其最小值求解．
解：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+PA和的最小值．
∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，
∴CD= ( http: / / www.21cnjy.com / )=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴PD+PA=PD+PC=CD=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
∴PD+PA和的最小值是2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故选A．
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【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
【考点】多边形．
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺．
解：对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；所以无法确定其形状．【来源：21cnj*y.co*m】
故选D．
【考点】 菱形的判定．
【分析】当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．
解：当BE平分∠ABE时，四边形DBFE是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵∠EBC=∠EBD，
∴∠EBD=∠DEB，
∴BD=DE，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵BD=DE，
∴四边形DBEF是菱形．
其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，
故选D．
1 、填空题
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【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据平行四边形的性质求出A ( http: / / www.21cnjy.com )D=BC，DC=AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求出AC×AE=6，即可求出阴影部分的面积．21·cn·jy·com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，DC=AB，
∵在△ADC和△CBA中
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∴△ADC≌△CBA，
∵△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积是3，
即 ( http: / / www.21cnjy.com / )AC×AE=3，
AC×AE=6，
∴阴影部分的面积是6﹣3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用面积公式进行计算的能力，题型较好，难度适中．
【考点】 菱形的性质．
【分析】 由题可知，在直角三角形BOA中，∠ABO=30°，AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC=1，根据勾股定理可求BO，BD=2BO．21·世纪*教育网
解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点．
∴AC⊥BD，
∵AC=2，
∴AO=2．
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°．
由勾股定理可知：BO= ( http: / / www.21cnjy.com / )．
则BD=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
故答案为：2 ( http: / / www.21cnjy.com / )．
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点评： 本题考查了菱形的性质，同时还考查了直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的边角关系及勾股定理的灵活运用，熟悉菱形对角线互相垂直平分和对角线平分一组对角是解决问题的关键．
【考点】中点四边形；矩形的性质．
【分析】先根据E，F，G， ( http: / / www.21cnjy.com )H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH即可得出结论．
解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，
∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3．
在△AEH与△DGH中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△AEH≌△DGH（SAS）．
同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，
∴S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4× ( http: / / www.21cnjy.com / )×3×4=48﹣24=24．
故答案为：24．
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形ABCD， ( http: / / www.21cnjy.com )得到邻边相等，且对角线互相平分，再由一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得到三角形ABD为等边三角形，求出BD的长，再由菱形的对角线垂直求出AC的长，即可求出菱形的面积．2-1-c-n-j-y
解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
则S菱形ABCD= ( http: / / www.21cnjy.com / )AC BD=2 ( http: / / www.21cnjy.com / )，
故答案为：2 ( http: / / www.21cnjy.com / )
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．
【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A．C关于直线BD对称，则AE的长即为PC+PE的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．
解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A．C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PC+PE的最小值，
∵CD=4，CE=1，
∴DE=3，
在Rt△ADE中，
∵AE= ( http: / / www.21cnjy.com / )= ( http: / / www.21cnjy.com / )=5，
∴PC+PE的最小值为5．
故答案为：5．
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1 、解答题
【考点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【分析】根据已知条件易推知四边形BEC ( http: / / www.21cnjy.com )D是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到 BECD是矩形【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∵在△ABD和△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD是公共边，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，
又∵四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE且AD=BE，AB=DE，
∵AD=CD，∴CD∥BE且CD=BE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵AB=BC，∴BC=DE，∴四边形BECD是矩形。
【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AO=OB，
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
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【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型． www-2-1-cnjy-com
解： ( http: / / www.21cnjy.com / )是正方形， ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )， ( http: / / www.21cnjy.com / ).
又 ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )、 ( http: / / www.21cnjy.com / )分别是 ( http: / / www.21cnjy.com / )、 ( http: / / www.21cnjy.com / )的中点，
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )，
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【考点】 作图—应用与设计作图．
【分析】 （1）根据矩形的对角线相等且互相平分作出图形即可；
（2）根据矩形的性质和三角形中位线定理作出图形即可．
解：（1）如图1，连接AC、BD交于点O，
延长EO交BC于F，
则点F即为所求；
（2）如图2，BD交AC于O，延长EO交BC于F，
连接EB交AC于P，连接DF交AC于Q，
则P、Q即为所求．
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点评： 本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．【版权所有：21教育】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，
∴AD=2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，
在△ADE和△CDF中， ( http: / / www.21cnjy.com / )，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
【考点】 正方形的性质；坐标与图形性质．
专题： 计算题．
【分析】 先找到A（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，0），根据正方形的对称性，可知A点的对称点C的坐标，同样可得出B和D的坐标．
解：建立坐标轴，使正方形的对称中心为原点，
则A（ ( http: / / www.21cnjy.com / )，0），C（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )，0），
那么B的坐标是（0， ( http: / / www.21cnjy.com / )），
其对称点D的坐标是（0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com / )）．
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点评： 本题利用了正方形既是轴对称图形又是中心对称图形的性质．
【考点】菱形的判定
【分析】（1）由AD、BD分别是∠A． ( http: / / www.21cnjy.com )∠B的平分线，可知点D是△ABC的内心；
（2）连接CD，根据平行线的性质，角平分线的性质证明 DECF为菱形．
证法一：连结CD
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∵ DE∥AC，DF∥BC，
∴ 四边形DECF为平行四边形，
∵∠CAB、∠ABC的平分线交于点D
∴点D是△ABC的内心，
∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD，
∵DF∥BC
∴∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC
∴ FC＝FD，
∴ 平行四边形DECF为菱形． 6分
证法二：过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．
∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC，
∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴S□DECF=CE·DH =CF·DI，
∴CE=CF．
∴平行四边形DECF为菱形．
（1）证明：在△和△中，，，
∴ △≌△．
（2）解．证明如下：
∵ ∥，∥，∴ 四边形是平行四边形．
由（1）知，∠=∠，∴ ，
∴ 四边形是菱形．∴ .
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